约束层阻尼梁动力学特性研究-毕设论文.doc

广西工学院本科生毕业设计(论文)
约束层阻尼梁动力学特性研究
目 录
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第1章 绪 论 1
1.1课题研究的背景和意义 1
1.2目前国内外的研究现状 2
1.3本文的研究思路及内容 4
第2章 数值方法和基本理论 5
2.1 精细积分算法 5
2.1.1引 言 5
2.1.2 精细积分法的基本原理 5
2.1.3指数矩阵的精细算法 8
2.1.4精细积分法的研究现状 9
2.2 传递矩阵法 10
第3章 被动约束层阻尼梁的控制方程 11
3.1 PCLD梁的控制方程 11
3.2 粘弹阻尼层的剪切应变 13
3.3 粘弹阻尼层的法向平衡方程 13
3.4 基梁和约束层的中面作用力 14
3.5 PCLD梁的整合一阶常微分矩阵方程 15
第4章 被动约束层阻尼梁的动力学特性分析 20
4.1 精细积分法求解 20
4.2方法验证 21
4.3阻尼层厚度和约束层厚度对动力学响应的影响 21
结 论 24
参考文献 25
致 谢 29
附 录 30

约束层阻尼梁动力学特性研究
摘 要
1、 根据基梁或约束梁的基本方程（平衡方程、内力-位移关系），推导出其一阶常微分矩阵形式的控制方程，并进行验证。
2、 对黏弹层采用复常量剪切模型，考虑层与层之间的相互作用力，建立其一阶常微分矩阵形式的控制方程，并进行验证。
3、 采用齐次扩容精细积分算法，对PCLD梁的控制方程进行求解，并了解约束层和黏弹层的几何参数对其阻尼特性和动力学响应的影响。

由梁的基本方程出发，考虑粘弹性层与基板、约束层间的法向和切向相互作用力的影响，导出部分带状覆盖被动约束层阻尼(Passive Constrained Layer Damping，PCLD)梁在两端简支情况下的一阶常微分矩阵方程．方程的状态向量由4个独立的位移变量和内力变量组成，可方便地应用于位移和应力边界条件。同时，利用精细积分法和传递矩阵原理求解特征方程计算了多种情况下PCLD板的固有频率和损耗因子。通过与参考文献结果相比，验证了本文方法的正确性。最后，分析了覆盖位置和覆盖率对结构减振特性的影响。
关键词：PCLD板；精细积分法；传递矩阵法；固有频率；损耗因子

Abstract： Based on the thin plate theory， considering the effect of the normal and tangential interaction between the viscoelastic layer and host plate，constrained layer，the integrated first order differential matrix equation of the sandwich rectangular plate with partially passive constrained layer damping treatment(PCLD) is obtained for the simply supported boundary condition in two opposite edges．The statement vector of the proposed equation is composed of four displacement and internal force components，which can be applied to either displacement or stress boundary condition．At the same time，the eigen valve equation was solved by virtue of the precision integration approach and transfer matrix principle，and the nature frequencies and loss factors of the PCLD plate were also calculated under various conditions． The comparison with the document has verified the correctness of the proposed method．Lastly，the influence of the covering placement and covering percentage on the vibration suppression characteristic were analyzed．
Key Words：PCLD plate；precision integration approach；transfer matrix method；nature frequency；loss factor

1 课题研究的背景和意义
1-1-1振动的危害性
在工程中大多数机械和结构，如工程机械、桥梁、大楼、大坝、电视发射塔、海洋工程结构、机床、坦克装甲车、汽车、火车、航天航空器、仪器设备等，都会承受变化的动荷载，因而不可避免地要出现振动。剧烈的振动将会导致零件和构建裂纹的产生与扩展，最后使零件和构件强度降低和疲劳破坏；振动还将导致轴承等摩擦副的磨损、齿轮等机构的传动失效、武器命中率降低、紧固件松脱及机械零件加工精度降低，并使交通运载工具舒适性大大降低；振动还消耗能量、降低效率；振动还将伴随各种噪声将人们的工作和生活坏境恶化。所以就非常有必要对各种不必要得振动进行振动控制。

1-1-2振动控制的方法
振动控制实际上就是振动抑制，也就是设法把振动的危害限制到最小限度或减少到容许的程度。振动控制可分为被动式和主动式（还有半主动式）的，前者属于事先一次性设计的振动控制，后者利用反馈控制，自动进行振动控制。但由于主动和半主动减振技术的成本太高，因此其大量应用十分缓慢。相比之下，被动式应用更简单有效，以下我们所谈的就是前一种被动式振动控制。被动式的振动控制技术包括阻尼消振、运动隔振、力隔振与动力吸振技术。

1-1-3被动式阻尼消振
在系统振动过程中，阻尼具有消耗振动能量、使瞬态振动迅速衰减、并降低强迫振动的振幅、避免自激振动的产生及减少结构传递振动的能力。因此，阻尼是控制振动的重要手段。当然，不合适的阻尼不仅不能控制振动，而且还会降低机器的效率，加速零件的摩擦，并增加设备的热变形等。
在系统中增加阻尼，可以通过多种方法来实现：
（1） 在振动系统中安装阻尼减震器，如在汽车及军用车辆中，在悬挂上安装各种类型的阻尼减振器；
（2） 使用高内阻的材料制造零件，如纤维增强的复合材料；
（3） 加贴黏弹性阻尼材料：工程上大多用你粘贴自由阻尼或约束阻尼层的办法来控制结构的振动，前者利用拉压变形，后者利用剪切变形来消耗能量。约束阻尼层往往更为有效，特别是多层约束阻尼层；
（4 增加运动件的相对摩擦（如干摩擦）。
本文所研究的就是基于第（3）中方法。

1-1-4约束层阻尼减振
对结构进行阻尼处理是工程上用来控制结构振动的一种有效方法。最简单的阻尼形式是在原基体结构表面粘黏弹性材料或喷涂一层大阻尼的材料而构成自由阻尼层。当结构发生振动时，阻尼层因发生应变而将振动的能量转化为应变能并以热的形式进行耗散，构成的阻尼层结构具有减振和防噪声的效果。现已被广泛用于航天航空、航海、交通运输和土木建筑等领域，研究阻尼层结构的震振动效果具有重要的现实意义。从六十年代初期，被动阻尼技术应用一直在非商业的航空领域占有统治地位，随着仿真分析和实验技术的快捷有效的发展，在材料和结构动力学特性方面的分析计算也越来越精确，这带动了被动阻尼技术更广阔的领域中应用。
根据实际需要的不同，结构粘弹阻尼的敷设可有如下几种形式：
(1)自由阻尼层敷设(如图A(a)所示)：直接将粘弹性材料粘贴或喷涂在需要减振的结构元传的表面上。
(2)约束阻尼层敷设(如图A(b）所示)：在阻尼层外再加上一层约束层（弹性层）。
(3)多阻尼层敷设(如图A(c)所示)：结构中有多层阻尼。
(4)不连续阻尼(局部阻尼)敷设(如图A(d)所示)：图中所示的是不连续的自由阻尼层敷设，当然也可以是不连续的约束阻尼层敷设。

a b

c d

粘弹性材料 弹性层
图 A结构粘弹阻尼敷设方式

约束层阻尼是减振降噪的一种有效方法。覆盖在阻尼材料上的约束层(多为金属板)使得当结构承受循环弯曲时阻尼材料发生剪切变形，剪切应力的作用是使振动能量消耗的主要原因之一，约束层阻尼结构中，阻尼层所消耗的能量取决于模量，约束层厚度、阻尼层厚度以及阻尼材料的性质等因素。约束阻尼材料由于振动时发生剪切变形而具有更大的结构损耗，因而在振动与噪声控制工程中得到了更广泛的应用。在约束层的设计和选择中，通常要选择约束层材料的刚度尽可能大，但不要超过体系的刚度。约束层阻尼结构由于其使用方便，节省空间，无需改变原有设计并且在很宽的温度和频率范围内提供高阻尼等特点，被越来越广泛地应用于飞机、列车、硬盘、建筑等领域作为减振降噪的手段。
约束阻尼结构的研究从约束阻尼粱的动力学理论扩展到板、壳等复杂结构，并建立了考虑多种变形因素和惯性因素的复杂模型，国内外学者提出了大量理论。虽然对约束阻结构的运动方程和边界条件研究己经较为深入，但由于涉及到在复数域内求解高阶非线性方程组，对它们求解还存在很大的计算上的困难。目前，考虑多种变形因素和惯性因素的梁、板和壳结构模型只有在模态振型为实数的边界条件下(如简支)才可求解。而随着计算技术的发展和计算机的广泛应用，数值计算己成为当前结构分析的强有力工具。而在本课题中，利用线弹性究弹性-粘弹性复合结构的振动特性。讨论和分析了结构边界条件、结构几何尺寸对结构动力学特性的影响。

1.2目前国内外的研究现状
关于机械结构的减振问题，约束阻尼层(Constrained Layer Damping，CLD)是一种常用且有效的方式。早期理论可见于1959年Kerwin[3]将阻尼层放在两平板中成为三层系统，考虑梁的横向位移以正弦函数表示，且同时以复数的方式去表示梁的弯曲刚度，研究阻尼层在三层结构所形成的阻尼减振效应。1965年DiTaranto[4]推导了在有限长度下含弹性层和粘弹性层梁所受到弯曲变形所产生的振动分析理论。1969年Mead和Markus[5]分析具有粘弹性夹层简支梁受载荷弯曲振动的模态。
约 束 层 阻 尼 （CLD）分 为 主 动 约 束 层 阻 尼 （ACLD，约 束 层 采 用 压 电 材 料 ）和 被 动 约 束 层 阻 尼 （PCLD，约 束 层 采 用 普 通 弹 性 材 料 ）两 种 ，而约束阻尼层中粘弹性材料的粘弹特性来吸收损耗振动能量，达到有效抑制结构振动和噪音，被称为被动式约束阻尼层(Passive Constrained layer Damping，PCLD)结构。许多学者进而修正或推广上述理论于其他应用上。例1972年Yah和Dowell[6]在板与粱结构上的研究。1978年Douglas与Yang[7]建立横向压缩阻尼的数学理论模型且应用于粘弹性夹层梁，以实验解析相互验证粘弹性层阻尼效应：这种复数模型亦被Van Nostrand和lnman[8]所采用。同年，Rao[9]使用能量法推导出夹层粱的运动方程，Rao更考虑了夹层梁的剪切应变能与所受弯矩、拉伸产生的能量，利用哈密顿原理(Hamilton's principle)得到一个六阶微分方程，并获得在不同边界条件下的微分方程解。1988年Lall[10]等人用Marlms方法和Rayleigh-Ritz方法和经典欧拉梁法探讨了部分覆盖夹层梁对固有频率与损耗因子的影响。1991年Mead和Yaman[11]研究了三层方板结构的谐响应分析。1993年Rao与He将其理论推广至多层阻尼梁结构[12]。
对于复合结构的动力分析，Trompette等[13] 研究了局部敷设粘弹性约束阻尼层梁的振动和阻尼，并对阻尼进行了优化。Johnson等[14]用复特征值法和模态应变能法研究了夹层梁，用模态应变能法研究了夹层环和夹层板，在附录中对两种方法进行了理论对比。Roy等[14]对约束阻尼层圆形板进行了振动和阻尼分析。Ravi等[15]研究了两端固定的局部或全部敷设自由阻尼层和约束阻尼层梁的动态响应，应用的是模态叠加法。Babe等[16]研究了简谐激励下的粘弹性夹层梁。Shin等研究了约束阻尼层板在简谐激励下的振动响应，分别用模态应变能法和直接频率响应分析法进行了计算，并进行了实验研究。Wang等[17]对对称和非对称粘弹性夹层环形板复合结构的振动和阻尼性能进行了分析。Yang等[18]用用有限元方法对运动中的夹层粱作了振动和动态稳定性分析，并研究了其损耗因。Mead[19]研究了评价约束阻尼和自由阻尼梁和板的损耗因子计算的精确方法。
到90年代，主动约束层阻尼（ACLD开始得到更多的关注。ACLD结构使用主动元件（通常是压电层）来代替或添加在被动约束层上，以提高阻尼能量耗散。于此，提出了一些ACLD的解析公式。其中，Baz 和Shen 建立的数学模型是应用最广泛的。Baz[20]导出了全敷设和部分敷设ACLD Euler-Bernoulli梁在弯曲振动时的六阶常微分控制方程，而Shen[21]的数学模型则描述了敷设有ACLD的Euler-Bernoulli梁在弯曲和轴向运动时的耦合特性。最近，Huang[22]等与后来的Gao 和Shen[23]使用假设模态法和闭环速度反馈控制律，得出了通过部分敷设自适应ACLD块控制悬臂梁振动的运动方程。基于这些模型进行了各种解析和数值分析，ACLD的可行性和性能也由试验得到确定。
而在振动结构的主动和被动约束层阻尼的敷设方式的优化设计方面，学者们也进行了大量的工作研究。这些努力旨在于，通过确定最佳的材料和几何参数来获得最大限度的模态阻尼系数和模态应变能量，或通过选择最优的长度和位置，使得敷设重量尽可能小。例如，Baz和Ro[24]用单变量的搜索方法，分别优化了采用比例微分控制器时的全敷设ACLD梁的敷设性能，以此选择粘弹层的最优的厚度和剪切模量，以及控制增益。Marcelin等[25]用遗传算法和梁的有限元法，以最大限度地增加局部梁的阻尼系数,设计变量为敷设块的尺寸和位置。
数学上，CLD块的布局优化可定义为一个非线性优化问题为：找设计变量，也就是，敷设块的长度和位置，经过一个CLD允许附加重量的不等式约束，使得一个目标函数，敷设CLD结构的振动响应，最小。有很多优化算式、研究方法可以用来解决这个问题。大多数现存的优化算法被设用来找到一个局部最优。其中一个例子就是序列二次规划算法，它已被证明对多数最优化问题，是稳定的和有效的。
在国内，许多学者也对阻尼层做了大量的研究，陈前[26]提出了复合结构的“对偶保守结构”概念，取“对偶保守结构”的固有频率作为复合结构共振频率初值，并将“对偶保守结构”的模态向量用于模态应变能法来计算损耗因子初值，由此得到复特征值初值，进入局部线性化逆跌代过程。李军强[27]利用扩阶状态变量，提出了一种弹性．粘弹性复合结构动力响应的分析方法。高淑华等[28]利用通用的FEM程序探讨了粘弹性结构动力学分析的等效粘性阻尼算法。刘天雄[29]等对约东阻尼层板的有限元建模进行了研究，并与经典GHM方法和实验方法进行了对比，计算结果准确。邓年春[30]等基手虚功原理，提出了一种新的建立约束阻尼板结构动力学有限元模型的方法。钱振东[31]等分析了简支矩形板的固有振动，讨论其振动特点。曾海泉等[32]介绍了几种典型的复合阻尼结构，并用振动控制理论对其中的一些结构进行了分析。冉志等[33]提出了一种新的计算弹性-粘弹性复合结构随机响应的各阶谱矩的计算方法，分析了粘弹性对备阶谱矩的影响。陈国平等[34]研究附加约束阻尼后梁的振动分析。在引入的位移模式中考虑了附加部分对原结构运动的相对特性和阻尼层的横向剪切效应，据此推导了附加阻尼层后梁的运动方程和边界条件。通过对简支梁的固有振动分析，讨论了其振动特点。李 恩 奇 、唐 金 国 等[35] 基 于Hamilton原 理 提 出 了一 种 分 析 PCLD 梁 动 力 学 问 题 的 传 递 函 数 法 ，建 立 了 以 位 移 及 其 高 阶 导 数 为 状 态 向 量 的一 阶 常 微 分 矩 阵 方 程 ，这 对 拓 展 传 递 矩 阵 法 或 传 递 函 数 法 的 应 用 范 围 起 到 了积 极 的作 用 。
近年来，随着国外各类大型结构动力分析计算程序的研发应用，有限元分析技术开始被引入到粘弹性阻尼结构的动特性分析中。结 构 的 建 模 和 分 析 方 法 方 面 ，从 目 前 已 发 表 的 文 献 来 看 ，主 要 以 有 限 元 法 居 多。运用有限元分析的方法研究、计算粘弹性阻尼结构的动特牲，可以很方便的处理各种结构形式和边界条件，并利用计算机迅速地得到满足工程精度要求的数值解，因此在应用上有明显的实用意义。但 有 限元 法 却 存 在 离 散 变 量 和 自 由 度 过 多 而 导 致 太 费 机 时 ，且 由 于 采 用 低 阶 形 函 数 离 散 插 ，高 频 响应 精 度 差 ，故 仅 适 用 于 中、低 频 范 围 。
1.3本文的研究思路及内容
本文从梁的基本方程出发，考虑粘弹层剪力耗能的影响和层间相互作用，导出了PCLD梁在最一般的情况下得整合一阶微分矩阵方程，方程中的8个状态变量包活了全部独立的位移变量和内力变量，可以方便地直接用于几乎所有的边界支承条件和任意间断布置PCLD覆盖层的问题。该模型的建立，为后面采用精细积分法求解PCLD 梁的动力学问题奠定了基础，主要内容有：
1、第1章主要是介绍本文的研究背景及其意义，通过查阅资料，大概总结了国内外学者在PCLD和CLD梁问题及解决问题的数学方法的研究成果。
2、第2章主要介绍了本文本文所用到的方法和理论。
3、第3章基于线弹性理论，通过对梁的一般模型进行分析研究，得出梁的微分平衡方程，通过对其状态向量无量纲化处理，得到梁的一阶状态向量常微分矩阵方程。
4、第4章根据齐次扩容精细积分算法，对PCLD梁的控制方程进行求解，并了解约束层和黏弹层的几何参数对其阻尼特性和动力学响应的影响。
5、最后对全文进行总结。

传递矩阵法
目前，解析法和有限元法是对约束阻尼层合板的研究常用主要的两种方法。解析法虽然精度高，物理意义明确，但应用范围有限。而有限元法虽适用范围广，但由于引入耗散自由度，计算效率较低，所以我们采用一种基于传递矩阵的半数值半解析方法。
传递矩阵法是一种结构分析的方法。它依据结构控制微分方程精确解答，并借助于计算机，利用矩阵的简单相乘对结构进行静态、动态及稳定性分析，只是在运用计算枧进行数值计算时,如果矩阵连乘次数过多可能造成求解结果精度的下降，为此我们还需要对各参量进行无量纲化处理。该方法和有限元法相比，不存在需存储占用空间很大的总刚度矩阵及解一个大型的现线性方程组问题，因而数据输入工作量少，编程方便简洁，且所获得的结果精确度十分之高；该方法与加权余量法相比，不存在需要选择合适的试函数问题，也无需论证解的收敛性。正因为该方法具有精确度高、力学概念清晰、逻辑性强，建模灵活、计算效率高，无需建立系统的总动力学方程、占用计算机内存少及简便易行的优点，因此特别适合于结构的静力学分析、动力特性分析（模态分析、稳定性分析）等领域的工程技术人员在计算机上加以应用。

第3章 被动约束层阻尼梁的控制方程

3.1 PCLD梁的控制方程

如下图1所示PCLD梁（其截面为矩形）剖面图，PCLD梁由弹性基层、粘弹层、约束层三层组成，其厚度分别为、、，横面积分别为、、，截面惯性矩分别为、、，基梁长度为L。基层，粘弹层和约束层的材料密度分别为、、，杨氏模量分别为、、。

约束层（3）
粘弹层（2）
基 梁（1）

L

y

z

b=1
图1 层合梁示意图

为了简化，做如下假设：（a）不计PCLD梁厚度方向的挤压线性应变，三层材料沿径向的位移相同；（b）各层之间粘结完好没有滑移，层间位移连续；（c）粘弹阻尼层只考虑主要的横向剪切变形，略去其拉压和弯曲刚度；（d）在粘弹阻尼层中只考虑横（径）向振动惯量，面内惯性忽略不计。

（1） 基梁的控制方程
y

图2 基梁横向振动受力分析图

图3基梁纵向振动受力分析图
取其基梁为研究对象，在纵向方向其无力方程为：
（其中为纵向惯性力）
整理得
根据牛顿第二定律，基梁的横向运动满足：

（其中为横向惯性力）
整理得

在基梁中取一段微元放大如下图4，设直杆的原长度为，横截面积为。在轴向拉力下，长度由变成。杆件在轴线方向的伸长为

图4
将除以得杆件轴线方向的线应变

此外，在杆件横截面上的应力为

另外，有胡克定律

整理上面的公式可得

因此有

y

O x

图5
如图5，弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度，称为截面转角。根据平面假设，弯曲变形前垂直于轴线（x轴）的横截面，变形后仍垂直于绕曲线。所以，截面转角就是y轴与绕曲线法线的夹角。它应等于绕曲线的倾角，即等于x轴与绕曲线切线的夹角。故有

由于很小，所以有
由材料力学可知（其中）
代入可得
如图3，又因为，整理为形式
则可求得
则谐激励下（各物理量均可表示为幅值和谐激励因子的乘积的形式，下面方程中有上标~的各物理量均为真实物理量的幅值），其纵向振动方程和横向振动方程化成如下形式：

对于各向同性量，其内力位移关系为：

为了处理方便，引入无量纲变量
，，，，，
对基梁的平衡方程和内力-位移关系式进行处理，可得基梁的一阶状态向量微分控制方程组如下：

写成矩阵的形式如下：

其中，

，

。
（2） 约束梁的控制方程如下：
同理可得约束梁的控制方程如下：

写成矩阵的形式如下：

其中,
.

（3） 层间相互作用力
如图4、图5所示，考虑基层与黏弹层，黏弹层和约束层之间的相互作用力幅值，，与及分别作用在基层或约束层上的外激励力幅值，，
由切应力互等定理可得
与
再由类似克希霍夫，可得

同理可得

整理之后，则式，，，中的，，，可以写成：
，
，

约束层（3）

粘弹芯（2）

基壳层（1）

图4 层合梁之间的法向相互作用力

Z
X

图5 粘弹芯中得剪切力

考虑黏弹层的横向振动，写出运动方程如下：
（为横向惯性力）
简化后得：
（其中复数）
继续简化，最后得：

（4） 黏弹层的剪切力
取基梁为例分析，基梁、约束梁和黏弹层的位移变形包括纵向变形、、（如图6）和横向偏转位移、、（如图7）组成。

基梁变形前位置 中面层

基梁变形后位置
图6各梁的纵向位移

基梁变形前位置

基梁变形前位置

图7各梁的横向位移
则可得：

则

中面层

图6 层合梁变形协调关系

由图6可见，黏弹层的剪应变为：
结合式可得：
黏由于弹层仅计其剪切变形，故其剪切应力可表示为

式中，为谐激励下的剪应变幅值,为粘弹层的复剪切模量。
将其中的各位移量幅值用无量纲化幅值替代可得：

同时可知

（5） PCLD控制方程的整合
对比基梁和约束梁的控制方程，可知式与式完全相同，仅需保留一式。而式与 式左边完全相同，由此可知：

将 式代入和，将 式代入和可得：

式和中含有未知作用力和，可利用式消去如下：

此时方程中出现了新的整合状态变量，需将基梁和约束梁控制方程中出现的式和出现的式进行整合，以匹配出整合状态向量。将式两边同乘，以式相加，并将式代入整理得：

此时，层合梁的控制方程由、、、、、、、组成，将、代入相关方程，最终整理可得

其中，为层合梁的整合状态变量，，G为系数矩阵，其中的非零元素为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
。

（6）验证基层控制方程是否正确

0 1
图7 简支梁
边界条件分别如下：

以如图7的简支梁为例进行验证，由于，故，则式可以化简成如下的齐次方程：

（其中为传递矩阵）

令，。
则式可以写成

将式和式代入有：

取式的2、4、6列，简化得：

最后可以求出。

指数矩阵的精细算法
在结构动力、优化控制等问题中，通过变换都可以将运动（控制）微分方程写成状态向量形式
(2-20)
式中，为阶状态向量；是阶常数矩阵；为阶载荷向量（或控制微量）。
当时，一阶线性常系数齐次微分方程组的解可写成
（2-21）
当积分步长时，指数矩阵（或传递矩阵）为