王晓东《算法设计和分析》市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

中国计算机学会中国计算机学会“二十一世纪大学本科计算机专业系列二十一世纪大学本科计算机专业系列教材教材”算法设计与分析算法设计与分析王晓东王晓东编著编著1第1页主要内容介绍主要内容介绍第1章算法引论第2章递归与分治策略第3章动态规划第4章贪心算法第5章回溯法第6章分支限界法2第2页主要内容介绍（续）主要内容介绍（续）第7章概率算法第8章NP完全性理论第9章近似算法第10章 算法优化策略3第3页第第1 1章章 算法引论算法引论1.1 算法与程序1.2 表示算法抽象机制1.3 描述算法1.4 算法复杂性分析本章主要知识点：4第4页1.1 算法与程序算法与程序输 入：有零个或多个外部量作为算法输入。输 出：算法产生最少一个量作为输出。确定性：组成算法每条指令清楚、无歧义。有限性：算法中每条指令执行次数有限，执行每条指令时间也有限。是算法用某种程序设计语言详细实现。程序能够不满足算法性质(4)即有限性。是满足下述性质指令序列。算法：程序：5第5页1.从机器语言到高级语言抽象1.2 表示算法抽象机制表示算法抽象机制高级程序设计语言主要好处是：（4）把繁杂琐碎事务交给编译程序，所以自动化程度高，开发周期短，程序员能够集中时间和精力从事更主要创造性劳动，提升程序质量。（1）高级语言更靠近算法语言，易学、易掌握，普通工程技术人员只需 要几周时间培训就能够胜任程序员工作；（2）高级语言为程序员提供了结构化程序设计环境和工具，使得设计出来程序可读性好，可维护性强，可靠性高；（3）高级语言不依赖于机器语言，与详细计算机硬件关系不大，因而所写出来程序可植性好、重用率高；6第6页2.抽象数据类型1.2 表示算法抽象机制表示算法抽象机制 抽象数据类型是算法一个数据模型连同定义在该模型上并作为算法构件一组运算。抽象数据类型带给算法设计好处有：（1）算法顶层设计与底层实现分离；（2）算法设计与数据结构设计隔开，允许数据结构自由选择；（3）数据模型和该模型上运算统一在ADT中，便于空间和时间花费折衷；（4）用抽象数据类型表述算法含有很好可维护性；（5）算法自然展现模块化；（6）为自顶向下逐步求精和模块化提供有效路径和工具；（7）算法结构清楚，层次分明，便于算法正确性证实和复杂性分析。7第7页在本书中，采取Java语言描述算法。1.1.JavaJava程序结构程序结构 1.3 描述算法描述算法以下，对JavaJava语言若干主要特征作简明概述。（1）Java程序两种类型：应用程序和appletapplet区分：应用程序主方法为main，其可在命令行中用命令语句 java 应用程序名 来执行；applet主方法为init，其必须嵌入HTML文件，由Web浏览器或applet阅读器来执行。（2）包：java程序和类能够包(packages)形式组织管理。（3）import语句：在java程序中可用import语句加载所需包。比如，import java.io.*;语句加载java.io包。8第8页1.3 描述算法描述算法2.2.JavaJava数据类型数据类型数据类型 基本数据类型：详见下页表1-1 非基本数据类型：如 Byte,Integer,Boolean,String等。Java对两种数据类型不一样处理方式：对基本数据类型：在申明一个含有基本数据类型变量时，自动建立该数据类型对象（或称实例）。如:int k;对非基本数据类型：语句 String s;并不建立含有数据类型String对象，而是建立一个类型String引用对象，数据类型为String对象可用下面new语句建立。s=new StringString(“Welcome”);StringString s=new StringString(“Welcome”);9第9页1.3 描述算法描述算法表格表格1-1 1-1 JavaJava基本数据类型基本数据类型类型缺省值分配空间（bits）取值范围booleanfalse1true,falsebyte08-128,127charu000016u0000,uFFFFdouble0.0644.9*10-324 1.8*10308float0.0321.4*10-45 3.4*1038int032-2147483648,2147483647long0649.2*1017short016-32768,3276710第10页1.3 描述算法描述算法3.3.方法方法在Java中，执行特定任务函数或过程统称为方法(methods)。比如，javaMathMath类类给出常见数学计算方法以下表所表示：方法方法功效方法方法功效abs(x)x绝对值max(x,y)x和y中较大者ceil(x)大于x最小整数min(x,y)x和y中较小者cos(x)x余弦pow(x,y)xyexp(x)exsin(x)x正弦floor(x)小于x最大整数sqrt(x)x平方根log(x)x自然对数tan(x)x正切11第11页1.3 描述算法描述算法3.3.方法方法 计算表示式 值自定义方法ab描述以下：public static int ab(int a,int b)return(a+b+Math.abs(a-b)/2;（1）方法参数：Java中全部方法参数均为值参数。上述方法ab中，a和b是形式参数，在调用方法时经过实际参数赋值。（2）方法重载：Java允许方法重载，即允许定义有不一样署名同名方法。上述方法ab可重载为：public static double ab(double a,double b)return(a+b+Math.abs(a-b)/2.0;12第12页1.3 描述算法描述算法4.4.异常异常 Java异常提供了一个处理错误方法。当程序发觉一个错误，就引发一个异常，方便在适当地方捕捉异常并进行处理。通惯用trytry块来定义异常处理。每个异常处理由一个catchcatch语句组成。public static void main(String args)try f();catch(exception1)异常处理;catch(exception2)异常处理;finally finally块;13第13页1.3 描述算法描述算法5.5.JavaJava类类(4)访问修饰访问修饰公有(public)私有(private)保护(protected)Java类普通由4个部分组成：(1)类名类名(2)数据组员数据组员(3)方法方法14第14页1.3 描述算法描述算法6.6.通用方法通用方法 下面方法swapswap用于交换一维整型数组a位置i和位置j处值。public static void swap(int a,int i,int j)int temp=ai;ai=aj;aj=temp;public static void swap(object a,int i,int j)object temp=ai;ai=aj;aj=temp;该方法只适合用于该方法只适合用于整型数组整型数组该方法含有通用性，适合该方法含有通用性，适合用于用于ObjectObject类型及其全部类型及其全部子类子类 以上方法修改以下：以上方法修改以下：15第15页1.3描述算法描述算法6.6.通用方法通用方法（1 1）ComputableComputable界面界面 public static Computable sum(Computable a,int n)if(a.length=0)return null;Computable sum=(Computable)a0.zero();for(int i=0;i n;i+)sum.increment(ai);return sum;利用此界面使利用此界面使方法方法sumsum通用化通用化 16第16页1.3 描述算法描述算法6.6.通用方法通用方法（2 2）java.lang.Comparable java.lang.Comparable 界面界面 JavaComparable 界面中惟一方法头compareTo用于比较2个元素大小。比如java.lang.CpareTo(y)返回x-y符号，当xy时返回正数。（3 3）OperableOperable 界面界面 有些通用方法同时需要Computable界面和Comparable 界面支持。为此可定义Operable界面以下:public interface Operable extends Computable,Comparable（4 4）自定义包装类）自定义包装类 因为Java包装类如Integer等已定义为final型，所以无法定义其子类，作深入扩充。为了需要可自定义包装类。17第17页1.3 描述算法描述算法7.7.垃圾搜集垃圾搜集8.8.递归递归Javanewnew运算用于分配所需内存空间。比如，int a=new int500000;分配000字节空间给整型数组a。频繁用new分配空间可能会耗尽内存。Java垃垃圾搜集器圾搜集器会适时扫描内存，回收不用空间（垃圾）给new重新分配。Java允许方法调用其本身。这类方法称为递归方法。public static int sum(int a,int n)if(n=0)return 0;else return an-1+sum(a,n-1);计算一维整型数组前计算一维整型数组前n n个个元素之和递归方法元素之和递归方法 18第18页1.4 算法复杂性分析算法复杂性分析 算法复杂性是算法运行所需要计算机资源量，需要时间资源量称为时间复杂性时间复杂性，需要空间资源量称为空间复杂性空间复杂性。这个量应该只依赖于算法要解问题规模、算法输入和算法本身函数。假如分别用N、I和A表示算法要解问题规模、算法输入和算法本身，而且用C表示复杂性，那么，应该有C=F(N,I,A)。普通把时间复杂性和空间复杂性分开，并分别用T和S来表示，则有：T=T(N,I)和S=S(N,I)。（通常，让A隐含在复杂性函数名当中）19第19页1.4 算法复杂性分析算法复杂性分析最坏情况下时间复杂性：最好情况下时间复杂性：平均情况下时间复杂性：其中DN是规模为N正当输入集合；I*是DN中使T(N,I*)到达Tmax(N)正当输入；是中使T(N,)到达Tmin(N)正当输入；而P(I)是在算法应用中出现输入I概率。20第20页1.4 算法复杂性分析算法复杂性分析算法复杂性在渐近意义下阶：渐近意义下记号：O、o 设f(N)和g(N)是定义在正数集上正函数。O O定义定义：假如存在正常数C和自然数N0，使得当NN0时有f(N)Cg(N)，则称函数f(N)当N充分大时上有界，且g(N)是它一个上界，记为f(N)=O(g(N)。即f(N)阶不高于g(N)阶。依据O定义，轻易证实它有以下运算规则：(1)O(f)+O(g)=O(max(f,g)；(2)O(f)+O(g)=O(f+g)；(3)O(f)O(g)=O(fg)；(4)假如g(N)=O(f(N)，则O(f)+O(g)=O(f)；(5)O(Cf(N)=O(f(N)，其中C是一个正常数；(6)f=O(f)。21第21页1.4 算法复杂性分析算法复杂性分析 定义定义：假如存在正常数C和自然数N0，使得当NN0时有f(N)Cg(N)，则称函数f(N)当N充分大时下有界，且g(N)是它一个下界，记为f(N)=(g(N)。即f(N)阶不低于g(N)阶。定义定义：定义f(N)=(g(N)当且仅当f(N)=O(g(N)且f(N)=(g(N)。此时称f(N)与g(N)同阶。o o定义定义：对于任意给定0，都存在正整数N0，使得当NN0时有f(N)/Cg(N),则称函数f(N)当N充分大时阶比g(N)低，记为f(N)=o(g(N)。比如，4NlogN+7=o(3N2+4NlogN+7)。22第22页第第2 2章章 递归与分治策略递归与分治策略23第23页将要求解较大规模问题分割成k个更小规模子问题。算法总体思想算法总体思想nT(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n)=对这k个子问题分别求解。假如子问题规模依然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归进行下去，直到问题规模足够小，很轻易求出其解为止。24第24页算法总体思想算法总体思想对这k个子问题分别求解。假如子问题规模依然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归进行下去，直到问题规模足够小，很轻易求出其解为止。nT(n)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)将求出小规模问题解合并为一个更大规模问题解，自底向上逐步求出原来问题解。25第25页算法总体思想算法总体思想将求出小规模问题解合并为一个更大规模问题解，自底向上逐步求出原来问题解。nT(n)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)26第26页算法总体思想算法总体思想将求出小规模问题解合并为一个更大规模问题解，自底向上逐步求出原来问题解。nT(n)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)分治法设计思想是，将一个难以直接处理大问题，分治法设计思想是，将一个难以直接处理大问题，分割成一些规模较小相同问题，方便各个击破，分割成一些规模较小相同问题，方便各个击破，分而治之。分而治之。凡治众如治寡，分数是也。凡治众如治寡，分数是也。-孙子兵法孙子兵法27第27页2.1 2.1 递归概念递归概念直接或间接地调用本身算法称为递归算法递归算法。用函数本身给出定义函数称为递归函数递归函数。由分治法产生子问题往往是原问题较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，重复应用分治伎俩，能够使子问题与原问题类型一致而其规模却不停缩小，最终使子问题缩小到很轻易直接求出其解。这自然造成递归过程产生。分治与递归像一对孪生弟兄，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。下面来看几个实例。28第28页2.1 2.1 递归概念递归概念例例1 1 阶乘函数阶乘函数阶乘函数可递归地定义为：边界条件边界条件递归方程递归方程边界条件与递归方程是递归函数二个要素，递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果。29第29页2.1 2.1 递归概念递归概念例例2 Fibonacci2 Fibonacci数列数列无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，被称为Fibonacci数列。它能够递归地定义为：边界条件边界条件递归方程递归方程第n个Fibonacci数可递归地计算以下：public static int fibonacci(int n)if(n 1时，perm(R)由(r1)perm(R1)，(r2)perm(R2)，(rn)perm(Rn)组成。36第36页2.1 2.1 递归概念递归概念例例5 5 整数划分问题整数划分问题将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+nk，其中n1n2nk1，k1。正整数n这种表示称为正整数n划分。求正整数n不同划分个数。比如正整数6有以下11种不一样划分：6；5+1；4+2，4+1+1；3+3，3+2+1，3+1+1+1；2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；1+1+1+1+1+1。37第37页(2)q(n,m)=q(n,n),mn;最大加数n1实际上不能大于n。所以，q(1,m)=1。(1)q(n,1)=1,n1;当最大加数n1小于1时，任何正整数n只有一个划分形式，即 (4)q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),nm1;正整数n最大加数n1小于m划分由n1=m划分和n1n-1 划分组成。(3)q(n,n)=1+q(n,n-1);正整数n划分由n1=n划分和n1n-1划分组成。2.1 2.1 递归概念递归概念例例5 5 整数划分问题整数划分问题前面几个例子中，问题本身都含有比较显著递归关系，因而轻易用递归函数直接求解。在本例中，假如设p(n)为正整数n划分数，则难以找到递归关系，所以考虑增加一个自变量：将最大加数n1小于m划分个数记作q(n,m)。能够建立q(n,m)以下递归关系。38第38页2.1 2.1 递归概念递归概念例例5 5 整数划分问题整数划分问题前面几个例子中，问题本身都含有比较显著递归关系，因而轻易用递归函数直接求解。在本例中，假如设p(n)为正整数n划分数，则难以找到递归关系，所以考虑增加一个自变量：将最大加数n1小于m划分个数记作q(n,m)。能够建立q(n,m)以下递归关系。正整数n划分数p(n)=q(n,n)。39第39页40第40页2.1 2.1 递归概念递归概念例例6 Hanoi6 Hanoi塔问题塔问题设a,b,c是3个塔座。开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号为1,2,n,现要求将塔座a上这一叠圆盘移到塔座b上，并仍按一样次序叠置。在移动圆盘时应恪守以下移动规则：规则1：每次只能移动1个圆盘；规则2：任何时刻都不允许将较大圆盘压在较小圆盘之上；规则3：在满足移动规则1和2前提下，可将圆盘移至a,b,c中任一塔座上。41第41页在问题规模较大时，较难找到普通方法，所以我们尝试用递归技术来处理这个问题。当n=1时，问题比较简单。此时，只要将编号为1圆盘从塔座a直接移至塔座b上即可。当n1时，需要利用塔座c作为辅助塔座。此时若能设法将n-1个较小圆盘依照移动规则从塔座a移至塔座c，然后，将剩下最大圆盘从塔座a移至塔座b，最终，再设法将n-1个较小圆盘依照移动规则从塔座c移至塔座b。由此可见，n个圆盘移动问题可分为2次n-1个圆盘移动问题，这又能够递归地用上述方法来做。由此能够设计出解Hanoi塔问题递归算法以下。2.1 2.1 递归概念递归概念例例6 Hanoi6 Hanoi塔问题塔问题 public static void hanoi(int n,int a,int b,int c)if(n 0)hanoi(n-1,a,c,b);move(a,b);hanoi(n-1,c,b,a);思索题：假如塔个数变为思索题：假如塔个数变为思索题：假如塔个数变为思索题：假如塔个数变为a,b,c,da,b,c,d四四四四个，现要将个，现要将个，现要将个，现要将n n个圆盘从个圆盘从个圆盘从个圆盘从a a全部移动到全部移动到全部移动到全部移动到d d，移动规则不变，求移动步数最小方，移动规则不变，求移动步数最小方，移动规则不变，求移动步数最小方，移动规则不变，求移动步数最小方案。案。案。案。42第42页递归小结递归小结优点：优点：结构清楚，可读性强，而且轻易用数学归结构清楚，可读性强，而且轻易用数学归纳法来证实算法正确性，所以它为设计算法、纳法来证实算法正确性，所以它为设计算法、调试程序带来很大方便。调试程序带来很大方便。缺点：缺点：递归算法运行效率较低，不论是花费计算递归算法运行效率较低，不论是花费计算时间还是占用存放空间都比非递归算法要多。时间还是占用存放空间都比非递归算法要多。43第43页递归小结递归小结处理方法：处理方法：在递归算法中消除递归调用，使其转在递归算法中消除递归调用，使其转化为非递归算法。化为非递归算法。1.1.采取一个用户定义栈来模拟系统递归调用工作采取一个用户定义栈来模拟系统递归调用工作栈。该方法通用性强，但本质上还是递归，只栈。该方法通用性强，但本质上还是递归，只不过人工做了原来由编译器做事情，优化效果不过人工做了原来由编译器做事情，优化效果不显著。不显著。2.2.用递推来实现递归函数。用递推来实现递归函数。3.3.经过经过CooperCooper变换、变换、反演变换能反演变换能将一些递归转化将一些递归转化为尾递归，从而迭代求出结果。为尾递归，从而迭代求出结果。后两种方法在时空复杂度上都有较大改进，后两种方法在时空复杂度上都有较大改进，但其适用范围有限。但其适用范围有限。44第44页分治法适用条件分治法适用条件分治法所能处理问题普通含有以下几个特征：分治法所能处理问题普通含有以下几个特征：分治法所能处理问题普通含有以下几个特征：分治法所能处理问题普通含有以下几个特征：该问题规模缩小到一定程度就能够轻易地处理；该问题规模缩小到一定程度就能够轻易地处理；该问题能够分解为若干个规模较小相同问题，即该问该问题能够分解为若干个规模较小相同问题，即该问题含有题含有最优子结构性质最优子结构性质利用该问题分解出子问题解能够合并为该问题解；利用该问题分解出子问题解能够合并为该问题解；该问题所分解出各个子问题是相互独立，即子问题之该问题所分解出各个子问题是相互独立，即子问题之间不包含公共子问题。间不包含公共子问题。因为问题计算复杂性普通是伴随问题规模增加而增加，所以大部分问题满足这个特征。这条特征是应用分治法前提，它也是大多数问题能够满足，此特征反应了递归思想应用能否利用分治法完全取决于问题是否含有这条特征，假如具备了前两条特征，而不具备第三条特征，则能够考虑贪心算法贪心算法或动态规划动态规划。这条特征包括到分治法效率，假如各子问题是不独立，则分治法要做许多无须要工作，重复地解公共子问题，此时即使也可用分治法，但普通用动态规动态规划划很好。45第45页分治法基本步骤分治法基本步骤divide-and-conquer(P)if(|P|=n0)adhoc(P);/处理小规模问题 divide P into smaller subinstances P1,P2,.,Pk；/分解问题 for(i=1,i=k,i+)yi=divide-and-conquer(Pi);/递归解各子问题 return merge(y1,.,yk);/将各子问题解合并为原问题解 人们从大量实践中发觉，在用分治法设计算法时，最好使子问题规模大致相同。即将一个问题分成大小相等k个子问题处理方法是行之有效。这种使子问题规模大致相等做法是出自一个平衡平衡(balancing)子问题子问题思想，它几乎总是比子问题规模不等做法要好。46第46页分治法复杂性分析分治法复杂性分析一个分治法将规模为n问题分成k个规模为nm子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1问题花费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题解合并为原问题解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n问题所需计算时间，则有：经过迭代法求得方程解：注意注意：递归方程及其解只给出n等于m方幂时T(n)值，不过假如认为T(n)足够平滑，那么由n等于m方幂时T(n)值能够预计T(n)增加速度。通常假定T(n)是单调上升，从而当minmi+1时，T(mi)T(n)T(mi+1)。47第47页二分搜索技术二分搜索技术分析：假如n=1即只有一个元素，则只要比较这个元素和x就能够确定x是否在表中。所以这个问题满足分治法第一个适用条件分析：比较x和a中间元素amid，若x=amid，则x在L中位置就是mid；假如xai，同理我们只要在amid后面查找x即可。不论是在前面还是后面查找x，其方法都和在a中查找x一样，只不过是查找规模缩小了。这就说明了此问题满足分治法第二个和第三个适用条件。分析：很显然此问题分解出子问题相互独立，即在ai前面或后面查找x是独立子问题，所以满足分治法第四个适用条件。给定已按升序排好序给定已按升序排好序n个元素个元素a0:n-1，现要在这，现要在这n个元素中找出个元素中找出一特定元素一特定元素x。分析：分析：该问题规模缩小到一定程度就能够轻易地处理；该问题规模缩小到一定程度就能够轻易地处理；该问题能够分解为若干个规模较小相同问题该问题能够分解为若干个规模较小相同问题;分解出子问题解能够合并为原问题解；分解出子问题解能够合并为原问题解；分解出各个子问题是相互独立。分解出各个子问题是相互独立。48第48页二分搜索技术二分搜索技术给定已按升序排好序给定已按升序排好序n个元素个元素a0:n-1，现要在这，现要在这n个元素中找出个元素中找出一特定元素一特定元素x。据此轻易设计出二分搜索算法二分搜索算法：public static int binarySearch(int a,int x,int n)/在 a0=a1=.=an-1 中搜索 x /找到x时返回其在数组中位置，不然返回-1 int left=0;int right=n-1;while(left amiddle)left=middle+1;else right=middle-1;return-1;/未找到x 算法复杂度分析：算法复杂度分析：每执行一次算法while循环，待搜索数组大小降低二分之一。所以，在最坏情况下，while循环被执行了O(logn)次。循环体内运算需要O(1)时间，所以整个算法在最坏情况下计算时间复杂性为O(logn)。思索题：思索题：思索题：思索题：给定给定给定给定a a，用二分法设计出求，用二分法设计出求，用二分法设计出求，用二分法设计出求a an n算法。算法。算法。算法。49第49页大整数乘法大整数乘法 请设计一个有效算法，能够进行两个请设计一个有效算法，能够进行两个n n位大整数乘法运算位大整数乘法运算u小学方法：O(n2)效率太低u分治法:abcd复杂度分析复杂度分析T(n)=O(n2)没有改进没有改进X=Y=X=a 2n/2+b Y=c 2n/2+d XY=ac 2n+(ad+bc)2n/2+bd 50第50页大整数乘法大整数乘法 请设计一个有效算法，能够进行两个请设计一个有效算法，能够进行两个n n位大整数乘法运算位大整数乘法运算u小学方法：O(n2)效率太低u分治法:XY=ac 2n+(ad+bc)2n/2+bd 为了降低时间复杂度，必须降低乘法次数。1.XY=ac 2n+(a-c)(b-d)+ac+bd)2n/2+bd2.XY=ac 2n+(a+c)(b+d)-ac-bd)2n/2+bd复杂度分析复杂度分析T(n)=O(nlog3)=O(n1.59)较大改进较大改进细节问题细节问题：两个XY复杂度都是O(nlog3)，但考虑到a+c,b+d可能得到m+1位结果，使问题规模变大，故不选择第2种方案。51第51页大整数乘法大整数乘法 请设计一个有效算法，能够进行两个请设计一个有效算法，能够进行两个n n位大整数乘法运算位大整数乘法运算u小学方法：O(n2)效率太低u分治法:O(n1.59)较大改进u更加快方法?假如将大整数分成更多段，用更复杂方式把它们组合起来，将有可能得到更优算法。最终，这个思想造成了快速傅利叶变换快速傅利叶变换(Fast Fourier Transform)产生。该方法也能够看作是一个复杂分治算法，对于大整数乘法，它能在O(nlogn)时间内处理。是否能找到线性时间算法？当前为止还没有结果。52第52页StrassenStrassen矩阵乘法矩阵乘法A和B乘积矩阵C中元素Ci,j定义为:若依此定义来计算A和B乘积矩阵C，则每计算C一个元素Cij，需要做n次乘法和n-1次加法。所以，算出矩阵C 个元素所需计算时间为O(n3)u传统方法：O(n3)53第53页StrassenStrassen矩阵乘法矩阵乘法使用与上例类似技术，将矩阵A，B和C中每一矩阵都分块成4个大小相等子矩阵。由此可将方程C=AB重写为：u传统方法：O(n3)u分治法:由此可得：复杂度分析复杂度分析T(n)=O(n3)没有改进没有改进54第54页StrassenStrassen矩阵乘法矩阵乘法u传统方法：O(n3)u分治法:为了降低时间复杂度，必须降低乘法次数。复杂度分析复杂度分析T(n)=O(nlog7)=O(n2.81)较大改进较大改进55第55页StrassenStrassen矩阵乘法矩阵乘法u传统方法：O(n3)u分治法:O(n2.81)u更加快方法?Hopcroft和Kerr已经证实(1971)，计算2个矩阵乘积，7次乘法是必要。所以，要想深入改进矩阵乘法时间复杂性，就不能再基于计算22矩阵7次乘法这么方法了。或许应该研究或矩阵更加好算法。在Strassen之后又有许多算法改进了矩阵乘法计算时间复杂性。当前最好计算时间上界是 O(n2.376)是否能找到O(n2)算法？当前为止还没有结果。56第56页棋盘覆盖棋盘覆盖在一个2k2k 个方格组成棋盘中，恰有一个方格与其它方格不一样，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中，要用图示4种不一样形态L型骨牌覆盖给定特殊棋盘上除特殊方格以外全部方格，且任何2个L型骨牌不得重合覆盖。57第57页棋盘覆盖棋盘覆盖当k0时，将2k2k棋盘分割为4个2k-12k-1 子棋盘(a)所表示。特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中，其余3个子棋盘中无特殊方格。为了将这3个无特殊方格子棋盘转化为特殊棋盘，能够用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘会合处，如(b)所表示，从而将原问题转化为4个较小规模棋盘覆盖问题。递归地使用这种分割，直至棋盘简化为棋盘11。58第58页棋盘覆盖棋盘覆盖 public void chessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size)if(size=1)return;int t=tile+,/L型骨牌号 s=size/2;/分割棋盘 /覆盖左上角子棋盘 if(dr tr+s&dc tc+s)/特殊方格在此棋盘中 chessBoard(tr,tc,dr,dc,s);else/此棋盘中无特殊方格 /用 t 号L型骨牌覆盖右下角 boardtr+s-1tc+s-1=t;/覆盖其余方格 chessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);/覆盖右上角子棋盘 if(dr=tc+s)/特殊方格在此棋盘中 chessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);else/此棋盘中无特殊方格 /用 t 号L型骨牌覆盖左下角 boardtr+s-1tc+s=t;/覆盖其余方格 chessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);/覆盖左下角子棋盘 if(dr=tr+s&dc=tr+s&dc=tc+s)/特殊方格在此棋盘中 chessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);else/用 t 号L型骨牌覆盖左上角 boardtr+stc+s=t;/覆盖其余方格 chessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);复杂度分析复杂度分析T(n)=O(4k)渐进意义下最优算法59第59页合并排序合并排序基本思想：基本思想：将待排序元素分成大小大致相同2个子集合，分别对2个子集合进行排序，最终将排好序子集合合并成为所要求排好序集合。public static void mergeSort(Comparable a,int left,int right)if(leftright)/最少有2个元素 int i=(left+right)/2;/取中点 mergeSort(a,left,i);mergeSort(a,i+1,right);merge(a,b,left,i,right);/合并到数组b copy(a,b,left,right);/复制回数组a 复杂度分析复杂度分析T(n)=O(nlogn)渐进意义下最优算法60第60页合并排序合并排序算法mergeSort递归过程能够消去。初始序列49 38 65 97 76 13 2738 49 65 97 13 76 27第一步第二步38 49 65 97 13 27 76第三步13 27 38 49 65 76 9761第61页合并排序合并排序&最坏时间复杂度：最坏时间复杂度：O(nlogn)&平均时间复杂度：平均时间复杂度：O(nlogn)&辅助空间：辅助空间：O(n)&稳定性：稳定稳定性：稳定思索题：思索题：给定给定有序表有序表A1:n，修，修改合并排序算法，求出该有序表改合并排序算法，求出该有序表逆序对数。逆序对数。62第62页快速排序快速排序在快速排序中，统计比较和交换是从两端向中间进行，关键字较大统计一次就能交换到后面单元，关键字较小统计一次就能交换到前面单元，统计每次移动距离较大，因而总比较和移动次数较少。private static void qSort(int p,int r)if(p=x元素交换到左边区域 /将=x元素交换到右边区域 while(true)while(a+pareTo(x)0);if(i=j)break;MyMath.swap(a,i,j);ap=aj;aj=x;return j;初始序列6,7,5,2,5,8j-;5,7,5,2,6,8i+;5,6,5,2,7,8j-;5,2,5,6,7,8i+;完成快速排序含有不稳定性不稳定性。6,7,5,2,5,85,2,5 6 7,864第64页private static int randomizedPartition(int p,int r)int i=random(p,r);MyMath.swap(a,i,p);return partition(p,r);快速排序快速排序 快速排序算法性能取决于划分对称性。经过修改算法partition，能够设计出采取随机选择策略快速排序算法。在快速排序算法每一步中，当数组还没有被划分时，能够在ap:r中随机选出一个元素作为划分基准，这么能够使划分基准选择是随机，从而能够期望划分是较对称。&最坏时间复杂度：最坏时间复杂度：O(n2)&平均时间复杂度：平均时间复杂度：O(nlogn)&辅助空间：辅助空间：O(n)或或O(logn)&稳定性：不稳定稳定性：不稳定65第65页线性时间选择线性时间选择给定线性序集中n个元素和一个整数k，1kn，要求找出这n个元素中第k小元素private static Comparable randomizedSelect(int p,int r,int k)if(p=r)return ap;int i=randomizedpartition(p,r),j=i-p+1;if(k=j)return randomizedSelect(p,i,k);else return randomizedSelect(i+1,r,k-j);在最坏情况下，算法randomizedSelect需要O(n2)计算时间但能够证实，算法randomizedSelect能够在O(n)平均时间内找出n个输入元素中第k小元素。66第66页线性时间选择线性时间选择假如能在线性时间内找到一个划分基准，使得按这个基准所划分出2个子数组长度都最少为原数组长度倍(01是某个正常数)，那么就能够在最坏情况下在最坏情况下用O(n)时间完成选择任务。比如，若=9/10，算法递归调用所产生子数组长度最少缩短1/10。所以，在最坏情况下，算法所需计算时间T(n)满足递归式T(n)T(9n/10)+O(n)。由此可得T(n)=O(n)。67第67页l将n个输入元素划分成n/5个组，每组5个元素，只可能有一个组不是5个元素。用任意一个排序算法，将每组中元素排好序，并取出每组中位数，共n/5个。l递归调用select来找出这n/5个元素中位数。假如n/5是偶数，就找它2个中位数中较大一个。以这个元素作为划分基准。线性时间选择线性时间选择设全部元素互不相同。在这种情况下，找出基准x最少比3(n-5)/10个元素大，因为在每一组中有2个元素小于本组中位数，而n/5个中位数中又有(n-5)/10个小于基准x。同理，基准x也最少比3(n-5)/10个元素小。而当n75时，3(n-5)/10n/4所以按此基准划分所得2个子数组长度都最少缩短1/4。68第68页private static