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高等数学基础综合练习题解答一填空题1函数的定义域为 。2函数的定义域是 。3函数的定义域是 。4设，则 。解：设，则且原式即亦即4若函数在处连续，则= 。5曲线在处的切线方程为 。曲线在点处的切线方程为解：，6. 函数的连续区间为 。初等函数在其定义区间连续。且7曲线在点处的切线方程为 。 8. 设函数可导，则 。解：9.（判断单调性、凹凸性）曲线在区间内是 单调递减且凹 。解：10设，则 。解：，11 0 。解：是奇函数；是偶函数，由于偶+偶=偶，则是偶函数，因为奇偶奇，所以是奇函数，是对称区间奇函数在对称区间上的积分为零12 。解：是奇函数（奇偶奇），故；而是偶函数，故13设，则 。解： 14已知，则 。解：15设为的原函数，那么 。分析：为的原函数，解：16设的一个原函数是, 则 。解：的一个原函数为17，那么 。解：18_。解：19设，则 。解：20= 。解：二选择题1 下列函数中（ B ）的图像关于坐标原点对称。A B C D 规律：（1）1奇偶函数定义：；（2）常见的偶函数：常见的奇函数：常见的非奇非偶函数：；（3）奇偶函数运算性质：奇奇=奇；奇偶=非；偶偶=偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶；（4）奇函数图像关于原点对称；偶函数图像关于轴对称。解：A非奇非偶； B奇偶=奇（原点）； C奇奇=偶（轴）； D非奇非偶2下列函数中（ B ）不是奇函数。A； B； C； D 解：A奇函数（定义）； B非奇非偶（定义）；C奇函数（奇偶）；D奇函数（定义）3下列函数中，其图像关于轴对称的是（ A ）。A B C D解：A偶函数（轴）； B非奇非偶（定义）；C奇函数（常见）；D非奇非偶（定义）4下列极限正确的是（ B ）。A B C. D 解：A错。，；B正确。分子分母最高次幂前的系数之比；C错。，即是无穷小，即是有界变量，；D错。第二个重要极限应为或，其类型为。5当时，（ D ）为无穷小量。A B C D 解：A ；B， 不存在；C，；D，。6. 下列等式中，成立的是（ B ）。A B C D 解：A错，正确的应为 B。 正确，即C错，正确的应为 D错，正确的应为7设在点可微，且，则下列结论成立的是（ C ）。A 是的极小值点 B 是的极大值点 ；C是的驻点； D 是的最大值点；解：驻点定义：设在点可微，且，则是的驻点。驻点为可能的极值点。8函数，则 （ D ）。A 3 ； B ； C ； D 解一：解二： 9设，则（ B ）。A ； B ； C ； D 不存在10曲线在区间内是（ A ）。A下降且凹 B上升且凹 C下降且凸 D 上升且凸解：11曲线在内是（ B ）。A 下降且凹； B上升且凹； C下降且凸； D上升且凸解：12曲线在点处的法线方程为（ B ）。A.；B.；CD.规律：曲线在x=处的法线方程为解：，故法线方程为B；13下列结论中正确的是（ C ）。A函数的驻点一定是极值点 B函数的极值点一定是驻点C函数一阶导数为的点一定是驻点 D函数的极值点处导数必为解：驻点定义：设在点可微，且，则是的驻点。驻点为可能的极值点。14设函数，则（ A ）。A； B； C； D 解：15当函数不恒为0，为常数时，下列等式不成立的是（ B ）。A. B. C. D. 解：A. 成立，为不定积分的性质；B. 不成立，常数，而常数的导数为零；C. 成立，为不定积分的性质； D. 成立，为牛顿莱布尼兹公式。16设函数的原函数为，则（ A ）。A ； B； C； D解：函数的原函数为，17下列无穷积分为收敛的是（B）。A. B. C.D.规律： 、发散 解：A.；B.，收敛； C.，发散； D. ，发散18下列无穷积分为收敛的是（C）。A. B.C. D. 解：A. 发散；B. 发散；C. 收敛；D. 发散；三计算题1、求极限 2、求极限解： 解： 原题 原题3、求极限解：，原题=4、求极限解：，原题5、求极限解：，原题6、求极限解：，原题7、设函数，求解：8、设函数，求。解：9、设函数，求。解： 10、设函数，求。 11、设函数，求。解： 12、计算不定积分 2 0 + + 13、计算不定积分 解： 1 0 四、应用题1、 要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4立方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使所用材料最省。解：设圆柱体底半径为，高为，则体积材料最省即表面积最小表面积，令0，得唯一驻点所以当底半径为米，此时高为米时表面积最小即材料最省。2、 要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10元/平方米，侧面单位面积的造价为20元/平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。解：设圆柱体底半径为，高为， 则体积 且造价函数令，得唯一驻点所以当底半径为米，此时高为米时造价最低。3、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。解：要使建造费用最省，就是在体积不变的情况下，使圆柱体的表面积最小。设圆柱体底半径为，高为，则体积则圆柱体仓库的表面积为，令0，得唯一驻点,所以当底半径为米，此时高为米时表面积最小即建造费用最省。4、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。解：设长方形的底边长为，高为，则 8 面积 令，得唯一驻点所以当底边长为米，此时高为米时面积最大。5、在半径为8的圆内内接一个长方形，为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。解：设长方形的底边长为，高为，则面积令，得唯一驻点所以当底边长为米，此时高为米时面积最大。6、求由抛物线与直线所围的面积。解：抛物线与直线的交点为，面积=7、求由抛物线与直线所围的面积。解：抛物线与直线的交点为，面积8、求由抛物线与直线所围的面积。解：抛物线与直线的交点为，面积9、求由抛物线与直线所围的面积。解：抛物线与直线的交点为,面积10、求由抛物线与直线所围的面积。解：抛物线与直线的交点为，面积-1-1