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高等数学基础综合练习题解答
一．填空题
1．函数的定义域为 。

2．函数的定义域是 。

3．函数的定义域是 。

4．设，则 。
解：设，则且原式
即＝
亦即
4．若函数在处连续，则= 。

5．曲线在处的切线方程为 。
曲线在点处的切线方程为
解：，
，
6. 函数的连续区间为 。
初等函数在其定义区间连续。
且
7．曲线在点处的切线方程为 。

8. 设函数可导，则 。
解：＝＝＝
＝＝
9.（判断单调性、凹凸性）曲线在区间内是 单调递减且凹 。
解：

10．设，则 。
解：，，
11． 0 。
解：是奇函数；是偶函数，由于偶+偶=偶，则是偶函数，
因为奇偶＝奇，所以是奇函数，是对称区间
奇函数在对称区间上的积分为零

12． 。
解：
是奇函数（奇偶＝奇），故；
而是偶函数，故
13．设，则 。
解：

14．已知，则 。
解：
15．设为的原函数，那么 。
分析：为的原函数，
解：
16．设的一个原函数是, 则 。
解：的一个原函数为＝＝＝
17．，那么 。
解：
18．_________________。

解：
19．设，则 。
解：
20．= 。
解：＝－＝
二．选择题
1． 下列函数中（ B ）的图像关于坐标原点对称。
A． B． C． D．
规律：（1）1．奇偶函数定义：
；
（2）．常见的偶函数：
常见的奇函数：
常见的非奇非偶函数：；
（3）．奇偶函数运算性质：
奇±奇=奇；奇±偶=非；偶±偶=偶；奇×奇=偶；奇×偶=奇；偶×偶=偶；
（4）．奇函数图像关于原点对称；偶函数图像关于轴对称。
解：A．非奇非偶； B．奇×偶=奇（原点）； C．奇×奇=偶（轴）； D．非奇非偶
2．下列函数中（ B ）不是奇函数。
A．； B．； C．； D．
解：A．奇函数（定义）； B．非奇非偶（定义）；C．奇函数（奇×偶）；D．奇函数（定义）
3．下列函数中，其图像关于轴对称的是（ A ）。
A． B． C． D．
解：A．偶函数（轴）； B．非奇非偶（定义）；C．奇函数（常见D．非奇非偶（定义）
4．下列极限正确的是（ B ）。
A． B．
C. D．
解：A错。∵，～∴；
B正确。分子分母最高次幂前的系数之比；
C错。∵，即是无穷小，即是有界变量，∴；
D错。第二个重要极限应为或，其类型为。
5．当时，（ D ）为无穷小量。
A． B． C． D．
解：A． ＝；
B．，，， 不存在；
C．，；
D．，。
6. 下列等式中，成立的是（ B ）。
A． B．
C． D．
解：A．错，正确的应为 B。 正确，即
C．错，正确的应为 D．错，正确的应为
7．设在点可微，且，则下列结论成立的是（ C ）。
A． 是的极小值点 B． 是的极大值点 ；
C．是的驻点； D． 是的最大值点；
解：驻点定义：设在点可微，且，则是的驻点。驻点为可能的极值点。
8．．函数，则 （ D ）。
A． 3 ； B． ； C． ； D．
解一：
解二：
9．设，则（ B ）。
A． ； B． ； C． ； D． 不存在

10．曲线在区间内是（ A
A．下降且凹 B．上升且凹 C．下降且凸 D． 上升且凸
解：

11．曲线在内是（ B ）。
A． 下降且凹； B．上升且凹； C．下降且凸； D．上升且凸
解：

12．曲线在点处的法线方程为（ B ）。
A.；B.；C．D.
规律：曲线在x=处的法线方程为
解：，，
故法线方程为B．；
13．下列结论中正确的是（ C ）。
A．函数的驻点一定是极值点 　　 B．函数的极值点一定是驻点
C．函数一阶导数为的点一定是驻点 D．函数的极值点处导数必为
解：驻点定义：设在点可微且，则是的驻点。驻点为可能的极值点。
14．设函数，则（ A ）。
A．； B．； C．； D．
解：
15．当函数不恒为0，为常数时，下列等式不成立的是（ B ）。
A. B.
C. D.
解：
A. 成立，为不定积分的性质；
B. 不成立，常数，而常数的导数为零；
C. 成立，为不定积分的性质；
D. 成立，为牛顿－莱布尼兹公式。
16．设函数的原函数为，则（ A ）。
A． ； B．； C．； D．
解：函数的原函数为，

17．下列无穷积分为收敛的是（　B　）。
A.　　　 B. 　　　C.　　D.
规律：⑴ ⑵
⑶、发散 ⑷
解：A.；B.，收敛； C.，发散； D. ，发散
18．下列无穷积分为收敛的是（　C　）。
A.　　　 B.　　　C. 　　　D.
解：A. 发散；B. 发散；C. 收敛；D. 发散；
三．计算题
1、求极限 2、求极限
解：∵ 解：∵

∴原题＝ ∴原题＝
3、求极限解：∵，～，～
∴原题＝=＝
4、求极限解：∵，～，～
∴原题＝＝
5、求极限解：∵，～，～
∴原题＝＝
6、求极限
解：∵，～～，～
∴原题＝＝
7、设函数，求
解：

8、设函数，求。
解：

9、设函数，求。
解：

10、设函数，求。

11、设函数，求。
解：

12、计算不定积分
2 0
+ — +

＝
13、计算不定积分 解： 1 0
＋ —

＝

四、应用题
1、 要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4立方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使所用材料最省。
解：设圆柱体底半径为，高为，
则体积
材料最省即表面积最小
表面积＝＝＝
＝，令＝0，得唯一驻点
所以当底半径为米，此时高为米时表面积最小即材料最省。

2、 要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10元/平方米，侧面单位面积的造价为20元/平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。
解：设圆柱体底半径为，高为，
则体积
且造价函数
令，得唯一驻点
所以当底半径为米，此时高为米时造价最低。

3、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。
解：要使建造费用最省，就是在体积不变的情况下，使圆柱体的表面积最小。
设圆柱体底半径为，高为，
则体积
则圆柱体仓库的表面积为＝＝＝
＝令＝0，得唯一驻点,
所以当底半径为米，此时高为米时表面积最小即建造费用最省。

4、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），
为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。
解：设长方形的底边长为，高为，
则 8
面积
令，得唯一驻点
所以当底边长为米，此时高为米时面积最大。

5、在半径为8的圆内内接一个长方形，为使长方形的面积最大，
该长方形的底长和高各为多少。
解：设长方形的底边长为，高为，
则
面积
令，得唯一驻点
所以当底边长为米，此时高为米时面积最大。

6、求由抛物线与直线所围的面积。
解：
抛物线与直线的交点为，
面积＝=
＝＝
7、求由抛物线与直线所围的面积。
解：
抛物线与直线的交点为，，
面积＝＝＝

8、求由抛物线与直线所围的面积。
解：
抛物线与直线的交点为，，
面积＝＝＝

9、求由抛物线与直线所围的面积。
解：
抛物线与直线的交点为,
面积＝＝

10、求由抛物线与直线所围的面积。
解：
抛物线与直线的交点为，，
面积＝＝＝-1
-1