中学数学教师招聘考试专业基础知识试卷五.doc

中学数学教师招聘考试专业基础知识试卷（五）
一、 选择题
( ) 1、设集合若，则的范围是 B
（A） （B） （C） （D）
（ ）2、设i为虚数单位，则展开式中的第三项为 D
（A） （B） (C) 6 (D)
（ ）3、已知点，B为椭圆+=1的左准线与轴的交点，若线段AB的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为 C
（A） （B） （C） （D）
（ ）4、已知函数，为的反函数，则函数与在同一坐标系中的图象为 A

（A） （B） （C） （D）
（ ）5、设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：
① 若 则 ②若，，则
③ 若，则 ④若，则
其中真命题的序号是 D
(A) ①④ (B) ②③ (C) ②④ (D) ①③
（ ）6、已知向量且，则锐角等于 B
(A) (B) (C) (D)
（ ）7．在等差数列中，，数列是等比数列，且，则满足 的最小正整数为 A
A．4 B．5 C．6 D．7
（ ）8．△中，，则△的周长为D
A． B．
C． D．
（ ）9、 若双曲线y2- x2=1与有唯一的公共点，则实数m的取值集合中元素的个数为
A．2 B．4 C．5 D．6

（ ）10、已知函数的定义域是，值域是，那么满足条件的整数数对共有C
（A）2个 （B）3个 （C） 5个 （D）无数个
二、填空题
11、双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 . 2
12、把函数的图象按向量平移得到的函数图象的解析式为 .
13、已知函数 那么不等式的解集为 .
14、= .
15、在的展开式中，的系数为 　　　.
16、一个底面边长为2cm，高为cm的正三棱锥，其顶点位于球心，底面三个顶点都在球面上，则该球的体积是 4π cm3．

17、观察下列式子：，则可以猜想的结论为：_____________ ___.

三、解答题
18、某城市有30﹪的家庭订阅了A报有60﹪的家庭订阅了B报，有20﹪的家庭同时订阅了A报和B报，从该城市中任取4个家庭.
（Ⅰ）求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率；
（Ⅱ）求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率；
（Ⅲ）求这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅的概率
18、解：（Ⅰ）设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报”的事件为A， 1分
5分
答：这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率为.
（Ⅱ）设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报”的事件为B， 6分
9分
答：这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率为.
（III） 设“这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅”的事件为C， 10分
因为有30﹪的家庭订阅了A报，有60﹪的家庭订阅了B报，
有20﹪的家庭同时订阅了A报和B报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪.
所以 14分
答：这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅的概率为.
注第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪，后面计算有误，给到14分.
19、如图，在四棱锥中，底面是正方形，
底面，, 点是的中点，
，且交于点 .
（I） 求证： 平面；
（II） 求二面角的大小；
（III）求证：平面⊥平面.
19、（Ⅰ）证明：连结交于，连结. 1分
是正方形，∴ 是的中点. 是的中点，∴是的中位线.
∴. 2分
又∵平面， 平面， 3分
∴平面. 4分
（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系， 5分
由故设，则
.
底面，
∴是平面的法向量，．
设平面的法向量为,
, 7分
则 即 ∴
令,则. 8分
∴,
∴二面角的大小为． 9分
（III）， ， 10分

12分
又且.
. 又平面
∴平面⊥平面. 14分
20、已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线的方程为
（I）求抛物线S的方程；
（II）若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足.试说明动直线PQ是否过一个定点.
解：(I) 设抛物线S的方程为 1分
由 可得 3分
由，有，或
设则
5分

设，由的重心为则，
6分
∵点A在抛物线S上，∴ ∴ 7分
∴抛物线S的方程为 8分
（II）当动直线的斜率存在时，
设动直线方程为，显然 9分
∵，∴
设
∴ ∴ 10分
将代入抛物线方程，得∴
从而∴
∵，∴∴动直线方程为，
此时动直线PQ过定点 12分
当PQ的斜率不存在时，显然轴，又，∴为等腰直角三角形.
由 得到，
此时直线PQ亦过点. 13分
综上所述，动直线PQ过定点. 14分
21、在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.
（1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（2）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
【精析】写一个前五项不为零的“绝对差数列”不是难事，只要我们准确理解新型数列的定义．要证明任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项，感觉没有思路，我们不妨再列举几个“绝对差数列”，看看有没有规律．
21、（1）（答案不唯一），，，．
(2)根据定义，数列{an }必在有限项后出现0项，证明如下：
假设{an }中没有0项，由于an=|an－1－an－2|，所以对于的n，都有an≥1，从而
当an－1＞an－2时，an=an－1－an－2≤an－1－1（n≥3）
当an－1＜an－2时，an=an－2－an－1≤an－2－1（n≥3）
即an的值要么比an－1至少小1，要么比an－2至少小1．
令，n=1，2，3，…，
则0＜cn≤cn－1－1(n=2,3,4,…),由于c1是确定的正整数，这样减下去，必然存在某项c1＜0，这与cn＞0(n=1，2,3,4,…)矛盾，从而{an }必有0项。
若第一次出现的0项为第n项，记an-1=A(A≠0)，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，即
．
所以“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
【精评】以提出一个新概念的方式来考查数列知识，颇具创新特色。
22、已知函数,其中.
(1)设在处取得极值,其中,求证: ;
(2)设,求证:线段的中点在曲线上;
(3)若,求证:过原点且与曲线相切的两条直线不可能垂直.
22、解:(1),∴的两根为,
令,∵,∴,
故有.
(2)设中点,则,
故有,∴,
.
∴.
代入验算可知在曲线上.
(3)过曲线上的点的切线的斜率是,
当时,切线的斜率;
当时, ,∴,
∴切线斜率.
∵,∴,∴
∴
∴,故过原点且与曲线相切的两条直线不可能垂直.