吉林省长春市高考数学三模试卷理科Word版含解析.doc

2017年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1已知复数z=1+2i，则=（）A5B5+4iC3D34i2已知集合A=x|x22x30，则AB=（）Ax|1x3Bx|1x3Cx|1x0或0x3Dx|1x0或1x33若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A2BCD4某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作ai（i=1，2，24），若成绩小于6.8s为达标，则如图所示的程序框图的功能是（）A求24名男生的达标率B求24名男生的不达标率C求24名男生的达标人数D求24名男生的不达标人数5等比数列an中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（）A9B15C18D306在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A4B4C2D27某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）ABCD8将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）A4B5C6D79若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）ABCD10设nN*，则=（）ABCD11已知向量，（m0，n0），若m+n1，2，则的取值范围是（）ABCD12对函数f（x）=，若a，b，cR，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）ABCD二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13九章算术是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chu），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤问金杖重多少？”则答案是14函数f（x）=exsinx在点（0，f（0）处的切线方程是15直线kx3y+3=0与圆（x1）2+（y3）2=10相交所得弦长的最小值为16过双曲线=1（ab0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17（12分）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求ABC的周长的最大值18（12分）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：女性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频数2040805010男性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点（1）求证：PD平面ABE；（2）若F为AB中点，试确定的值，使二面角PFMB的余弦值为20（12分）已知F1，F2分别是长轴长为的椭圆C：的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线C（2，2，0）交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与B（2，0，0）轴交于点N，点N横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围21（12分）已知函数（1）求f（x）的极值；（2）当0xe时，求证：f（e+x）f（ex）；（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f（x2），中点横坐标为x0，证明：f（x0）0请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程选讲（共1小题，满分10分）22（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线C1的极坐标方程为=4cos，直线l：（为参数）（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（为参数），曲线P（x0，y0）上点P的极坐标为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）23已知a0，b0，函数f（x）=|x+a|+|2xb|的最小值为1（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2btab恒成立，求实数t的最大值2017年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1已知复数z=1+2i，则=（）A5B5+4iC3D34i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由已知直接利用求解【解答】解：z=1+2i， =|z|2=故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2已知集合A=x|x22x30，则AB=（）Ax|1x3Bx|1x3Cx|1x0或0x3Dx|1x0或1x3【考点】集合的表示法【分析】先化简A，B，再求出其交集即可【解答】解：由A=x|1x3，B=x|x0，或x1，故AB=x|1x0，或1x3故选D【点评】本题考查了集合的交集的运算，属于基础题3若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A2BCD【考点】抛物线的简单性质【分析】根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案【解答】解：根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，其准线方程为：y=，分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|的最小值为，故选：D【点评】本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程4某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作ai（i=1，2，24），若成绩小于6.8s为达标，则如图所示的程序框图的功能是（）A求24名男生的达标率B求24名男生的不达标率C求24名男生的达标人数D求24名男生的不达标人数【考点】程序框图【分析】由题意，从成绩中搜索出大于6.8s的成绩，计算24名中不达标率【解答】解：由题意可知，k记录的是时间超过6.8s的人数，而i记录是的参与测试的人数，因此表示不达标率；故选B【点评】本题考查程序框图的理解以及算法功能的描述5等比数列an中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（）A9B15C18D30【考点】等比数列的前n项和【分析】设等比数列an的公比为q0，由2S3=8a1+3a2，可得2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2q2q6=0，解得q，进而得出【解答】解：设等比数列an的公比为q0，2S3=8a1+3a2，2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2a3=6a1+a2，可得=6a1+a1q，化为：2q2q6=0，解得q=2又a4=16，可得a123=16，解得a1=2则S4=30故选：D【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A4B4C2D2【考点】简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可【解答】解：不等式组所表示的平面区域位于直线x+y3=0的下方区域和直线xy+1=0的上方区域，根据目标函数的几何意义，可知目标函数经过A时，z取得最大值由可得A（1，2），所以目标函数z的最大值为4故选B【点评】本题主要考查线性规划问题画出可行域判断目标函数的几何意义是解题的关键7某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，四棱锥的表面积为故选D【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的表面积的求法，考查计算能力，空间想象能力8将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）A4B5C6D7【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【分析】由题意，1，即可求出n的最小值【解答】解：由题意，1，n4，n的最小值为4，故选A【点评】本题考查概率的计算，考查对立事件概率公式的运用，比较基础9若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）ABCD【考点】正弦函数的对称性【分析】由题意可得2x+，根据题意可得=，由此求得x1+x2 值【解答】解：x0，2x+，方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，=，则x1+x2=，故选：C【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题10设nN*，则=（）ABCD【考点】归纳推理【分析】利用数列知识，即可求解【解答】解： =故选A【点评】本题主要考查推理证明的相关知识，比较基础11已知向量，（m0，n0），若m+n1，2，则的取值范围是（）ABCD【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n1，2的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案【解答】解：根据题意，向量，=（3m+n，m3n），则=，令t=，则=t，而m+n1，2，即1m+n2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：t2，又由=t，故2；故选：D【点评】本题考查简单线性规划问题，涉及向量的模的计算，关键是求出的表达式12对函数f（x）=，若a，b，cR，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）ABCD【考点】函数的值【分析】当m=2时，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长；当m2时，只要即可，当m2时，只要即可，由此能求出结果【解答】解：当m=2时，f（x）=1，此时f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长，成立；当m2时，只要即可，解得2m5；当m2时，只要即可，解得，综上故选：C【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13九章算术是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chu），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤问金杖重多少？”则答案是15斤【考点】等差数列的通项公式【分析】由题意可知等差数列的首项和第5项，由等差数列的前n项和得答案【解答】解：由题意可知等差数列中a1=4，a5=2，则S5=，金杖重15斤故答案为：15斤【点评】本题考查等差数列的前n项和，是基础的计算题14函数f（x）=exsinx在点（0，f（0）处的切线方程是y=x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先求出f（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：f（x）=exsinx，f（x）=ex（sinx+cosx），（2分）f（0）=1，f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为y0=1（x0），即y=x（4分）故答案为：y=x【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题15直线kx3y+3=0与圆（x1）2+（y3）2=10相交所得弦长的最小值为2【考点】直线与圆的位置关系【分析】由条件可求得直线kx3y+3=0恒过圆内定点（0，1），则圆心（1，3）到定点的距离为，因此最短弦长为【解答】解：由条件可求得直线kx3y+3=0恒过圆内定点（0，1），则圆心（1，3）到定点（0，1）的距离为，当圆心到直线kx3y+3=0的距离最大时（即等于圆心（1，3）到定点（0，1）的距离）所得弦长的最小，因此最短弦长为2=故答案为：2【点评】题考查直线和圆的位置关系，以及最短弦问题，属于中档题16过双曲线=1（ab0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得RtOAB中，AOB=，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到；方法二、设过左焦点F作的垂线方程为，联立渐近线方程，求得交点A，B的纵坐标，由条件可得A为BF的中点，进而得到a，b的关系，可得离心率【解答】解法一：由，可知A为BF的中点，由条件可得，则RtOAB中，AOB=，渐近线OB的斜率k=tan=，即离心率e=解法二：设过左焦点F作的垂线方程为联立，解得，联立，解得，又，yB=2yA3b2=a2，所以离心率故答案为：【点评】本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17（12分）（2017长春三模）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求ABC的周长的最大值【考点】平面向量数量积的运算；基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解最值（2）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值【解答】解：（1），当时，f（x）取得最小值2（2）f（A）=4，又BC=3，9=（b+c）2bc，当且仅当b=c取等号，三角形周长最大值为【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的最值，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力18（12分）（2017长春三模）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：女性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频数2040805010男性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（I）根据已知可得频率，进而得出矩形的高=，即可得出图形（II）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于9（0分）的人数为X，则X取值为1，2，3，利用超几何分布列的计算公式即可得出【解答】解：（）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户更稳定（4分）（）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于9（0分）的人数为X，则X取值为1，2，3，；P（X=2）=；所以X的分布列为X123P（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的概率与数学期望计算公式、分层抽样，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）（2017长春三模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点（1）求证：PD平面ABE；（2）若F为AB中点，试确定的值，使二面角PFMB的余弦值为【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（I）证明AB平面PAD，推出ABPD，AEPD，AEAB=A，即可证明PD平面ABE（II） 以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系ABDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可【解答】解：（I）证明：PA底面ABCD，AB底面ABCD，PAAB，又底面ABCD为矩形，ABAD，PAAD=A，PA平面PAD，AD平面PAD，AB平面PAD，又PD平面PAD，ABPD，AD=AP，E为PD中点，AEPD，AEAB=A，AE平面ABE，AB平面ABE，PD平面ABE（II） 以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系ABDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），M（2，2，22）设平面PFM的法向量，即，设平面BFM的法向量，即， ，解得【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力20（12分）（2017长春三模）已知F1，F2分别是长轴长为的椭圆C：的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线C（2，2，0）交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与B（2，0，0）轴交于点N，点N横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）由已知2a=2，解得a=，记点P（x0，y0），kOM=，可得kOM=利用斜率计算公式及其点P（x0，y0）在椭圆上，即可得出（2）设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程得（2k2+1）x2+4k2x+2k22=0，记A（x1，y1），B（x2，y2）利用根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式即可得出【解答】解：（1）由已知2a=2，解得a=，记点P（x0，y0），kOM=，kOM=，又点P（x0，y0）在椭圆上，故+=1，kOM=，b2=1，椭圆的方程为（4分）（2）设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程，得（2k2+1）x2+4k2x+2k22=0，记A（x1，y1），B（x2，y2）由韦达定理可得，可得，故AB中点，QN直线方程：，已知条件得： ，02k21，（12分）【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（12分）（2017长春三模）已知函数（1）求f（x）的极值；（2）当0xe时，求证：f（e+x）f（ex）；（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f（x2），中点横坐标为x0，证明：f（x0）0【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可；（2）问题转化为证明（ex）ln（e+x）（e+x）ln（ex），设F（x）=（ex）ln（e+x）（e+x）ln（ex），根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）f（x）=，f（x）的定义域是（0，+），x（0，e）时，f（x）0，f（x）单调递增；x（e，+）时，f（x）0，f（x）单调递减当x=e时，f（x）取极大值为，无极小值（2）要证f（e+x）f（ex），即证：，只需证明：（ex）ln（e+x）（e+x）ln（ex）设F（x）=（ex）ln（e+x）（e+x）ln（ex），F（x）F（0）=0，故（ex）ln（e+x）（e+x）ln（ex），即f（e+x）f（ex），（3）证明：不妨设x1x2，由（1）知0x1ex2，0ex1e，由（2）得fe+（ex1）fe（ex1）=f（x1）=f（x2），又2ex1e，x2e，且f（x）在（e，+）上单调递减，2ex1x2，即x1+x22e，f（x0）0【点评】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程选讲（共1小题，满分10分）22（10分）（2017长春三模）已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线C1的极坐标方程为=4cos，直线l：（为参数）（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（为参数），曲线P（x0，y0）上点P的极坐标为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2），直角坐标为（2，2），利用点到直线l的距离公式能求出点M到直线l的最大距离【解答】解：（1）由曲线C1的极坐标方程为=4cos，得直角坐标方程，直线l：，消去参数，可得普通方程l：x+2y3=0（2），直角坐标为（2，2），M到l的距离d=，从而最大值为（10分）【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，参数方程的运用选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）23（2017长春三模）已知a0，b0，函数f（x）=|x+a|+|2xb|的最小值为1（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2btab恒成立，求实数t的最大值【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2xb|=|x+a|+|x|+|x|，|x+a|+|x|（x+a）（x）|=a+且|x|0，f（x）a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，a+=1，2a+b=2；法二：a，f（x）=|x+a|+|2xb|=，显然f（x）在（，上单调递减，f（x）在，+）上单调递增，f（x）的最小值为f（）=a+，a+=1，2a+b=2（2）方法一：a+2btab恒成立，t恒成立，=+=（+）（2a+b ）=（1+4+），当a=b=时，取得最小值，t，即实数t的最大值为；方法二：a+2btab恒成立，t恒成立，t=+恒成立，+=+=，t，即实数t的最大值为；方法三：a+2btab恒成立，a+2（2a）ta（2a）恒成立，2ta2（3+2t）a+40恒成立，（3+2t）23260，t，实数t的最大值为【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题