松江区高考数学二模试卷含答案.doc

2017年松江区高考数学二模试卷含答案
一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．已知，则 ▲ ．
2．已知集合则 ▲ ．
3．若复数（是虚数单位），且为纯虚数,则实数= ▲ ．
4．直线（为参数）对应的普通方程是 ▲ ．
5．若，且，则的值为 ▲ ．
6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是 ▲ ．
7．若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 ▲ ．
8．在约束条件下，目标函数的最大值为 ▲ ．
9．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ▲ ．
俯视图
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，记．若此椭圆上存在点，使到直线的距离是与的等差中项，则的最大值为 ▲ ．
11．如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点在大圆上，与小圆相切于点，为小圆上的点，则的取值范围是 ▲ ．
12．已知递增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和 ▲ ．

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．设分别是两条异面直线的方向向量，向量夹角的取值范围为，所成角的取值范围为，则“”是“”的
(A) 充要条件
(B) 充分不必要条件
(C) 必要不充分条件
(D) 既不充分也不必要条件
14． 将函数图像上的点向左平移个单位，得到点，若位于函数的图像上，则
(A) ，的最小值为 (B) ，的最小值为
(C) ，的最小值为 (D) ，的最小值为
15．某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则

(A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）
(B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）
(C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）
(D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）
16．设函数的定义域是，对于以下四个命题：
(1) 若是奇函数，则也是奇函数；
(2) 若是周期函数，则也是周期函数；
(3) 若是单调递减函数，则也是单调递减函数；
(4) 若函数存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点．
其中正确的命题共有
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个

三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）
直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是侧棱上一点，设．
(1) 若，求的值；
(2) 若，求直线与平面所成的角．

18．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）
设函数，函数的图像与函数的图像关于轴对称．
(1)若，求的值；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．

19．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）
如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．
(1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？
(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？

20．（本题满分16分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
设直线与抛物线相交于不同两点、，与圆
相切于点，且为线段中点．
(1) 若是正三角形（是坐标原点），求此三角形的边长；
(2) 若，求直线的方程；
(3) 试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（直接写出结论）．

21．（本题满分18分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
对于数列，定义，．
(1) 若，是否存在，使得？请说明理由；
(2) 若，，求数列的通项公式；
(3) 令，求证：“为等差数列”的充要条件是“的前4项为等差数列，且为等差数列”．

松江区二模考试数学试卷题（印刷稿）
（参考答案）2017.4

一．填空题（本大题共54分）第1～6题每个空格填对得4分，第7～5题每个空格填对得5分
1． 2． 3． 4． 5． 6．
7． 8． 9． 10． 11 ． 12．

二、选择题 （每小题5分，共20分）
13． C 14．A 15. B 16．B

三．解答题（共78分）
17．（1）以为坐标原点，以射线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则,，， ……………………2分
， ……………………4分
由得，即
解得． ……………………6分
(2) 解法一：此时
……………8分
设平面的一个法向量为
由得
所以 ……………………10分
设直线与平面所成的角为
则 ……………12分
所以直线与平面所成的角为 ………………14分
解法二：联结，则，
，平面 …………………8分
平面
所以是直线与平面所成的角； ……………………10分
在中，
所以 ……………………12分
所以
所以直线与平面所成的角为 ………………14分

18．（1）由得 ……………………2分

所以（舍）或， ……………………4分
所以 ……………………6分
（2）由得 ……………………8分
……………………10分
而，当且仅当时取等号…12分
所以，所以．………………………………14分

19．（1）设长为米，长为米，依题意得，
即， ………………………………2分
…………………………4分
=
当且仅当，即时等号成立，
所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米……6分
（2）在(1)的条件下，因为．
由 …………………………8分
得
…………………………10分

， …………………………12分
元
所以，建水上通道还需要万元． …………………………14分
解法二：在中，
………8分
在中，
…………………………10分
在中，
= …………12分
元
所以，建水上通道还需要万元． …………………………14分
解法三：以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则，
,即，设 ………8分
由，求得， 所以 …………10分
所以，……………………12分
元
所以，建水上通道还需要万元． …………………………14分
20． (1)设的边长为，则的坐标为………2分
所以所以
此三角形的边长为． ……………………………4分
(2)设直线
当时，符合题意 ……………………………6分
当时， …………………8分

，舍去
综上所述，直线的方程为： ……………………………10分
(3)时，共2条；……………………………12分
时，共4条； ……………………………14分
时，共1条． ……………………………16分

21．：（1）由，可知数列为递增数列，……………………………2分
计算得，，
所以不存在，使得； ………………………4分
（2）由，可以得到当时，
， ……………………6分
又因为，
所以， 进而得到，
两式相除得，
所以数列，均为公比为6的等比数列， ……………………8分
由，得，
所以； ………… …………10分
（3）证明：由题意，
当时，，
因此，对任意，都有． …………12分
必要性()：若为等差数列，不妨设，其中为常数，
显然，
由于=，
所以对于，为常数，
故为等差数列； …………14分
充分性()：由于的前4项为等差数列，不妨设公差为
当时，有成立。…………15分
假设时为等差数列，
即 …………16分
当时，由为等差数列，得，
即：，
所以 …………17分

，
因此，
综上所述：数列为等差数列． …………18分