高考江苏卷数学试题解析.doc

2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考公式：样本数据的方差，其中棱柱的体积，其中是棱柱的底面积，是高棱锥的体积，其中是棱锥的底面积，为高一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上 1. 已知集合，则 【答案】 ；【解析】 由交集的定义可得2. 复数，其中为虚数单位，则的实部是 【答案】 5；【解析】 由复数乘法可得，则则的实部是53. 在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是 【答案】 ；【解析】 ，因此焦距为4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 【答案】 ；【解析】 ，5. 函数的定义域是 【答案】 ；【解析】 ，解得，因此定义域为6. 如图是一个算法的流程图，则输出的值是 【答案】 9；【解析】 的变化如下表：159975则输出时7. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 【答案】 ；【解析】 将先后两次点数记为，则共有个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有六种，则点数之和小于10共有30种，概率为8. 已知是等差数列，是其前项和若，则的值是 【答案】 ；【解析】 设公差为，则由题意可得，解得，则9. 定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是 【答案】 7；【解析】 画出函数图象草图，共7个交点10. 如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是 【答案】 ；【解析】 由题意得，直线与椭圆方程联立可得，由可得，则，由可得，则11. 设是定义在上且周期为2的函数，在区间上 其中，若，则的值是 【答案】 ；【解析】 由题意得，由可得，则，则12. 已知实数满足 则的取值范围是 【答案】 ；【解析】 在平面直角坐标系中画出可行域如下为可行域内的点到原点距离的平方可以看出图中点距离原点最近，此时距离为原点到直线的距离，则，图中点距离原点最远，点为与交点，则，则13. 如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，则的值是 【答案】 ；【解析】 令，则，则，则，由，可得，因此，因此14. 在锐角三角形中，则的最小值是 【答案】 8；【解析】 由，可得（*），由三角形为锐角三角形，则，在（*）式两侧同时除以可得，又(#)，则，由可得，令，由为锐角可得，由(#)得，解得，由则，因此最小值为，当且仅当时取到等号，此时，解得（或互换），此时均为锐角二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. （本小题满分14分）在中， 求的长； 求的值【答案】 ； 【解析】 ，为三角形的内角，即：；又为三角形的内角16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，且，求证： 直线平面； 平面平面【答案】 见解析；【解析】 为中点，为的中位线又为棱柱，又平面，且平面； 为直棱柱，平面，又且，平面平面，又，平面又平面，又，且平面平面，又平面平面17. （本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍 若，则仓库的容积是多少； 若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，仓库的容积最大？【答案】 ；【解析】 ，则，故仓库的容积为； 设，仓库的容积为 则，当时，单调递增，当时，单调递减，因此，当时，取到最大值，即时，仓库的容积最大来源:学|科|网18. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆：及其上一点 设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程； 设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程； 设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围【答案】 或；【解析】 因为在直线上，设，因为与轴相切，则圆为，又圆与圆外切，圆：，则，解得，即圆的标准方程为； 由题意得， 设，则圆心到直线的距离,则，即，解得或，即：或； ，即，即，又,即，解得，对于任意，欲使，此时，只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于两点，此时，即，因此对于任意，均满足题意，综上19. （本小题满分14分） 已知函数 设， 求方程的根； 若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值； 若，函数有且只有1个零点，求的值【答案】 ；【解析】 ，由可得， 则，即，则，； 由题意得恒成立， 令，则由可得， 此时恒成立，即恒成立 时，当且仅当时等号成立， 因此实数的最大值为，由，可得，令，则递增，而，因此时，因此时，则；时，则；则在递减，递增，因此最小值为， 若，时，则； logb2时，则； 因此且时，因此在有零点， 且时，因此在有零点， 则至少有两个零点，与条件矛盾； 若，由函数有且只有1个零点，最小值为， 可得， 由， 因此， 因此，即，即， 因此，则20. （本小题满分14分） 记对数列（）和的子集，若，定义；若，定义例如：时，现设（）是公比为的等比数列，且当时， 求数列的通项公式； 对任意正整数（），若，求证：； 设，求证：【答案】 ；详见解析；【解析】 当时，因此，从而，； ； 设，则， ，因此原题就等价于证明由条件可知 若，则，所以 若，由可知，设中最大元素为，中最大元素为， 若，则由第小题，矛盾 因为，所以，所以， ，即综上所述，因此数学（附加题）21. 选做题本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，在中，为垂足，是中点求证：【答案】 详见解析；【解析】 由可得，由是中点可得，则，由可得，由可得，因此，又可得B选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵，矩阵的逆矩阵，求矩阵【答案】 ；【解析】 ，因此C选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，椭圆的参数方程为，设直线与椭圆相交于两点，求线段的长【答案】 ；【解析】 直线方程化为普通方程为，椭圆方程化为普通方程为，联立得，解得或，因此D选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设，求证：【答案】 详见解析；【解析】 由可得，必做题第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤22. （本小题满分10分） 如图，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线 若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程； 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和 求证：线段上的中点坐标为； 求的取值范围 【答案】 ；见解析；【解析】 ，与轴的交点坐标为即抛物线的焦点为，； 设点，则：，即，又关于直线对称，即，又中点一定在直线上线段上的中点坐标为； 中点坐标为即，即关于有两个不等根，23. （本小题满分10分） 求的值； 设，求证： 【答案】 ；详见解析；【解析】 ； 对任意的， 当时，左边，右边，等式成立， 假设时命题成立， 即， 当时， 左边= ， 右边， 而， 因此， 因此左边=右边， 因此时命题也成立，综合可得命题对任意均成立另解：因为，所以左边又由，知，所以，左边右边