数学分析开场白与预备知识市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第1页 今年教师节，我收到了很多已经毕业学生打来电话今年教师节，我收到了很多已经毕业学生打来电话或发来短信，基本上都是祝福和问候，令我感动不已。或发来短信，基本上都是祝福和问候，令我感动不已。但有一条短信时常萦绕在我脑海里，挥之不去：但有一条短信时常萦绕在我脑海里，挥之不去：毕业了毕业了,回头看自己所谓大学生活，我想哭，不是回头看自己所谓大学生活，我想哭，不是因为离别，也不是因为还没找到工作，而是因为何都没因为离别，也不是因为还没找到工作，而是因为何都没学，因而也什么都没学到！学，因而也什么都没学到！我不知道，简历该怎么写，也不知道今后同学聚会时我不知道，简历该怎么写，也不知道今后同学聚会时我将怎样面对，更不知道今后面对我后代，我会怎样向我将怎样面对，更不知道今后面对我后代，我会怎样向他们讲述我他们讲述我“大课时代大课时代”？！一、做为父辈几点忠言一、做为父辈几点忠言第2页 大学是人生中最为关键阶段。大学是人生中最为关键阶段。从入学从入学第一天起，你就应该对大学四年有一个正确认第一天起，你就应该对大学四年有一个正确认识和规划。为了在学习中享受到最大高兴，为识和规划。为了在学习中享受到最大高兴，为了在毕业时找到自己最喜爱工作，每一个刚进了在毕业时找到自己最喜爱工作，每一个刚进入大学校园人都应该掌握七项学习：入大学校园人都应该掌握七项学习：自修之道、自修之道、基础知识、实践贯通、培养兴趣、主动主基础知识、实践贯通、培养兴趣、主动主动、掌控时间、为人处事动、掌控时间、为人处事。第3页 大学是人生关键阶段大学是人生关键阶段。这是因为，进入。这是因为，进入大学是你一生中大学是你一生中第一次第一次放下高考重担，开始追放下高考重担，开始追逐自己理想、兴趣。这是你逐自己理想、兴趣。这是你第一次第一次离开家庭生离开家庭生活，独立参加团体和社会生活。这是你活，独立参加团体和社会生活。这是你第一次第一次不再单纯地学习或背诵书本上理论知识，而是不再单纯地学习或背诵书本上理论知识，而是有机会在学习理论同时亲身实践。这是你有机会在学习理论同时亲身实践。这是你第一第一次次不再由父母安排生活和学习中一切，而是有不再由父母安排生活和学习中一切，而是有足够自由处置生活和学习中碰到各类问题，支足够自由处置生活和学习中碰到各类问题，支配全部属于自己时间。配全部属于自己时间。第4页大学是人生关键阶段大学是人生关键阶段。这是因为，这。这是因为，这是你一生中是你一生中最终一次最终一次有机会系统性地接收教有机会系统性地接收教育。这是你育。这是你最终一次最终一次能够全心建立你知识基能够全心建立你知识基础。这可能是你础。这可能是你最终一次最终一次能够将大段时间用能够将大段时间用于学习人生阶段，也可能是于学习人生阶段，也可能是最终一次最终一次能够拥能够拥有较高可塑性、能够不停修正自我成长历程。有较高可塑性、能够不停修正自我成长历程。这可能是你这可能是你最终一次最终一次能在相对宽容，能够置能在相对宽容，能够置身其中学习为人处世之道理想环境。身其中学习为人处世之道理想环境。第5页 大学是人生关键阶段。大学是人生关键阶段。在这个阶段里，在这个阶段里，全部大学生都应该认真全部大学生都应该认真把握每一个把握每一个“第一次第一次”，让它们成为未来人生道路基石；在这个让它们成为未来人生道路基石；在这个阶段里，全部大学生也要阶段里，全部大学生也要珍惜每一个珍惜每一个“最终最终一次一次”，不要让自己在不远未来追悔莫及。不要让自己在不远未来追悔莫及。在大学四年里，大家应该努力编织自己梦想，在大学四年里，大家应该努力编织自己梦想，明确自己方向，奠定自己人生基础。明确自己方向，奠定自己人生基础。第6页大学是一生中学习能力转变最关键大学是一生中学习能力转变最关键时候，时候，是把是把“基础学习基础学习”和和“进入社会进入社会”这两个阶段衔接起来主要时期。所以，在这两个阶段衔接起来主要时期。所以，在大学四年中，要努力培养自己学习能力，提大学四年中，要努力培养自己学习能力，提升自己学习境界，让自己成为一个擅长终生升自己学习境界，让自己成为一个擅长终生学习人。学习人。大课时代每个人最多只有一次，大学四大课时代每个人最多只有一次，大学四年应该这么度过年应该这么度过 第7页、自尊自爱自律自强、自尊自爱自律自强4、健康是金平安是福、健康是金平安是福2、诚信之心处事、诚信之心处事 感恩之心待人感恩之心待人3、机遇是付给汗水利息、机遇是付给汗水利息 成功是对于拼搏嘉奖成功是对于拼搏嘉奖第8页二、做为教师几点提议二、做为教师几点提议-怎样学好数学分析怎样学好数学分析 数学分析是高等院校数学系各专业最主要基数学分析是高等院校数学系各专业最主要基础课程之一。该课程教学跨时最长（三个学期，有础课程之一。该课程教学跨时最长（三个学期，有院校为四个学期），教课时数最多（院校为四个学期），教课时数最多（300多课时），多课时），学分数量最大（学分数量最大（12学分），从来受到学校、院系及学分），从来受到学校、院系及教师、学生高度重视它基本内容主要包含函数、教师、学生高度重视。它基本内容主要包含函数、极限与连续、微分学、积分学、无穷级数、多元函极限与连续、微分学、积分学、无穷级数、多元函数、多元函数极限、多元微分学，重积分以及曲线数、多元函数极限、多元微分学，重积分以及曲线曲面积分等。曲面积分等。第9页数学分析能够成为分析数学系列课程中心课数学分析能够成为分析数学系列课程中心课程，是因为数学专业许多后续课程，如实变函数、程，是因为数学专业许多后续课程，如实变函数、复变函数、概率论与数理统计、拓扑学、泛函分析、复变函数、概率论与数理统计、拓扑学、泛函分析、微分方程等，都以数学分析为基础，有甚至是微分方程等，都以数学分析为基础，有甚至是数学分析直接延伸，分析学思想更是在很多课数学分析直接延伸，分析学思想更是在很多课程中广泛渗透。数学分析教学进程对计算机、程中广泛渗透。数学分析教学进程对计算机、物理、化学、生物、地理、电教、电子、经济学等物理、化学、生物、地理、电教、电子、经济学等文理学科高等数学课程教学产生直接、主要影文理学科高等数学课程教学产生直接、主要影响。响。第10页数学分析不但在内容上为后继课程学数学分析不但在内容上为后继课程学习提供了必要基础知识，而且它所表达分析习提供了必要基础知识，而且它所表达分析数学思想、逻辑推理方法、处理问题技巧，数学思想、逻辑推理方法、处理问题技巧，在整个数学学习和科学研究中，起着奠基作在整个数学学习和科学研究中，起着奠基作用。正因为如此，数学分析一直是基础用。正因为如此，数学分析一直是基础数学、应用数学乃至其它相关学科硕士硕士数学、应用数学乃至其它相关学科硕士硕士入学必考科目之一。入学必考科目之一。第11页(一一)、数学分析内容特点、数学分析内容特点数学分析内容有以下五个特点：数学分析内容有以下五个特点：1、改变观点、改变观点这是贯通在全部讨论中一个基本观点，即这是贯通在全部讨论中一个基本观点，即用改变观点去考查问题，从改变当中去认识事用改变观点去考查问题，从改变当中去认识事物。用改变观点审阅和处理问题，是学好数学物。用改变观点审阅和处理问题，是学好数学分析关键。分析关键。第12页2、准确化、准确化数学从诞生之日起，以严密、简练、准确数学从诞生之日起，以严密、简练、准确而著称，而数学分析更是集中表达了这一格调，而著称，而数学分析更是集中表达了这一格调，全部内容都建立在极限语言（全部内容都建立在极限语言（语言）语言）之上，这两种语言准确性，经历了一百多年锤之上，这两种语言准确性，经历了一百多年锤炼，能够说是字字千金，滴水不漏。炼，能够说是字字千金，滴水不漏。第13页 3、抽象性、抽象性数学分析中一些概念含有高度抽象性，其主要数学分析中一些概念含有高度抽象性，其主要表现是：定义了一系列新概念。概念普通从实际事表现是：定义了一系列新概念。概念普通从实际事物中经过抽象而得到，但它较原实际问题包含更丰物中经过抽象而得到，但它较原实际问题包含更丰富内涵。富内涵。能够这么说，数学分析学习成败，一个主要方能够这么说，数学分析学习成败，一个主要方面，就是对概念了解与掌握，概念是基础，概念是面，就是对概念了解与掌握，概念是基础，概念是前提。学习抽象概念，要抓住以下三个步骤：前提。学习抽象概念，要抓住以下三个步骤：第14页要记住引入概念要记住引入概念1-2个实际例子，以掌握概念个实际例子，以掌握概念原始模型；原始模型；要记住与概念相悖两个反例，以加深对概念要记住与概念相悖两个反例，以加深对概念了解；了解；要搞清新概念和已经有概念联络（例子、定要搞清新概念和已经有概念联络（例子、定理、公式）。理、公式）。4、丰富技巧、丰富技巧数学分析中技巧丰富多彩，要注意积累。这方面数学分析中技巧丰富多彩，要注意积累。这方面能力，需要用数学方法去进行训练。能力，需要用数学方法去进行训练。第15页5、深刻数学思想方法、深刻数学思想方法转化思想、数形结合、类比喻法、演绎转化思想、数形结合、类比喻法、演绎归纳、分析综合等数学思想方法在数学分析归纳、分析综合等数学思想方法在数学分析中几乎无处不现。学习这些思想方法，对我中几乎无处不现。学习这些思想方法，对我们逻辑思维能力、分析问题和处理问题能力们逻辑思维能力、分析问题和处理问题能力等培养是非常主要。等培养是非常主要。第16页(二二)、怎样听课、怎样听课大学课程课堂教学课时普通比较少，一节课知大学课程课堂教学课时普通比较少，一节课知识容量较大，讲课节奏也较快，怎样有效地掌握课堂识容量较大，讲课节奏也较快，怎样有效地掌握课堂教学内容，提几点提议：教学内容，提几点提议：1、课前预习。适当预习，可使听课有放矢、重、课前预习。适当预习，可使听课有放矢、重点、难点明确，从而提升听课效率。预习目标不是看点、难点明确，从而提升听课效率。预习目标不是看懂全部内容（当然，能看懂决不放过），主要是要对懂全部内容（当然，能看懂决不放过），主要是要对教材内容有一个大约了解，要了解预习内容需要已学教材内容有一个大约了解，要了解预习内容需要已学过那些知识，是否掌握，那些内容能看懂，那些看不过那些知识，是否掌握，那些内容能看懂，那些看不懂，并对各种情况用不一样标识标出，方便在听课时懂，并对各种情况用不一样标识标出，方便在听课时分别弄懂。分别弄懂。第17页2、听懂概念是重点，要了解概念来龙去脉，搞、听懂概念是重点，要了解概念来龙去脉，搞清各概念间关系，尤其是教师强调地方，要引发注意，清各概念间关系，尤其是教师强调地方，要引发注意，这往往是轻易犯错地方。这往往是轻易犯错地方。3、听定理证实讲授时，要听其证实思绪和方法，、听定理证实讲授时，要听其证实思绪和方法，注意教师分析，而不要过于拘泥证实过程中每一个细注意教师分析，而不要过于拘泥证实过程中每一个细小步骤，但对主要步骤要听懂，下课之后再自行补充，小步骤，但对主要步骤要听懂，下课之后再自行补充，更不要在某一地方卡住之后，中止听课。更不要在某一地方卡住之后，中止听课。4、要学会合理安排听课精力和体力。整堂课上、要学会合理安排听课精力和体力。整堂课上精力集中做不到，提议同学们把主要精力放在概念讲精力集中做不到，提议同学们把主要精力放在概念讲述，定理证实方法，易犯错地方介绍等。述，定理证实方法，易犯错地方介绍等。第18页 5、要养成听课记笔记习惯。在听课同时做好笔、要养成听课记笔记习惯。在听课同时做好笔记，这对集中注意力听好课以及复习巩固听课内容、记，这对集中注意力听好课以及复习巩固听课内容、掌握知识关键点，培养独立思索深入钻研良好学风，掌握知识关键点，培养独立思索深入钻研良好学风，都有一定作用。都有一定作用。(三三)、怎样看书、怎样看书大学学习主要靠自学，而看书是自学主要步骤，大学学习主要靠自学，而看书是自学主要步骤，若仅把书上那些简练不能再简练文字、符号，由此及若仅把书上那些简练不能再简练文字、符号，由此及彼看懂了，是起不到看书作用，达不到看书目标，学彼看懂了，是起不到看书作用，达不到看书目标，学不好数学。对此，尽管是老生常谈，但强调几点：不好数学。对此，尽管是老生常谈，但强调几点：第19页 1、多则惑，少则得多则惑，少则得。提议在读书中一直抓住每。提议在读书中一直抓住每一节、每一章几个主要概念、定理，尝试着用它们派一节、每一章几个主要概念、定理，尝试着用它们派生其它概念与结论，这即为常说把书读生其它概念与结论，这即为常说把书读“薄薄”，将知，将知识分类、浓缩。识分类、浓缩。2、加进去，写出来加进去，写出来。书读薄后，应尝试把它变。书读薄后，应尝试把它变“厚厚”，这就是说，把你体会，从别书上学来例子、，这就是说，把你体会，从别书上学来例子、新证实方法加进去，使之丰富起来，使书变成像你新证实方法加进去，使之丰富起来，使书变成像你“写出来写出来”一样。这一过程是读书高级阶段，经常要去一样。这一过程是读书高级阶段，经常要去猜测、去探索，是真正学习数学方法，掌握数学技巧猜测、去探索，是真正学习数学方法，掌握数学技巧主要起源。主要起源。第20页推荐参考书：推荐参考书：3、合理选择参考书合理选择参考书。提议同学们，要适当阅读。提议同学们，要适当阅读参考书，选定一本你认适合自己数学分析辅助读物作参考书，选定一本你认适合自己数学分析辅助读物作为重点参考书，对提升学习效果不无益处。为重点参考书，对提升学习效果不无益处。1裴礼文裴礼文.数学分析中经典问题及方法数学分析中经典问题及方法.高等教育出高等教育出版社，版社，1993.5 2菲赫金哥尔茨著菲赫金哥尔茨著.微积分学教程微积分学教程.高等教育出版社高等教育出版社3.华东师范大学华东师范大学.数学分析数学分析.高等教育出版社高等教育出版社4.费定晖等费定晖等.吉米多维奇数学分析习题集题解吉米多维奇数学分析习题集题解.山山东科学技术出版社东科学技术出版社 第21页(四四)、关于做题、关于做题要学好数学分析，最好方法莫过于经常动手去要学好数学分析，最好方法莫过于经常动手去做题。解题能力培养在数学分析学习中占有很主要地做题。解题能力培养在数学分析学习中占有很主要地位，这一点要尤其提醒大家，有同学做题时眼高手低，位，这一点要尤其提醒大家，有同学做题时眼高手低，根源在此。根源在此。1、对概念题练习应该受到重视，提议多花点时、对概念题练习应该受到重视，提议多花点时间；间；2、对基本运算题应多练习，并注意准确性与速对基本运算题应多练习，并注意准确性与速度，少看书后参考答案，有时参考答案也不是度，少看书后参考答案，有时参考答案也不是第22页 3、对做错题，不要轻易放过，找出原因，引认、对做错题，不要轻易放过，找出原因，引认为戒；为戒；4、切记眼高手低，数学分析证实题多，详细写、切记眼高手低，数学分析证实题多，详细写出解答过程，这么能够训练语言组织和表示能力；出解答过程，这么能够训练语言组织和表示能力；百分之百正确，靠答案辅助提醒做题轻易在考试时百分之百正确，靠答案辅助提醒做题轻易在考试时栽根斗；栽根斗；第23页 5、当你做完一道题之后，请思索以下几个问题：、当你做完一道题之后，请思索以下几个问题：该题主要检测那方面概念和知识；该题主要检测那方面概念和知识；部分地改变题目标条件，能得出什么新结论；部分地改变题目标条件，能得出什么新结论；该题解答方法是否含有普遍性，是否能成为一该题解答方法是否含有普遍性，是否能成为一个程序化解题方法；个程序化解题方法；解题中所用技巧是怎样想出来。解题中所用技巧是怎样想出来。第24页 学习是一个复杂脑力劳动，要想在学习上学习是一个复杂脑力劳动，要想在学习上取得进步，理想、勤奋、毅力、方法缺一不可。取得进步，理想、勤奋、毅力、方法缺一不可。理想是力量源泉，勤奋是取得成功前提，毅力理想是力量源泉，勤奋是取得成功前提，毅力是克服困难关键，方法选择正确，事半功倍，是克服困难关键，方法选择正确，事半功倍，方法不妥事倍功半。我们说，对学习目标明确，方法不妥事倍功半。我们说，对学习目标明确，学习态度端正同学，要想少走弯路，提升学习学习态度端正同学，要想少走弯路，提升学习效果，关键是考究学习方法。效果，关键是考究学习方法。第25页三、初等数学与高等数学区分三、初等数学与高等数学区分 17世纪以前数学称为初等数学，研究是常世纪以前数学称为初等数学，研究是常量间代数运算和孤立、不变几何形体内部及相量间代数运算和孤立、不变几何形体内部及相互间关系。互间关系。1637年笛卡儿引入了坐标系，沟通了数与年笛卡儿引入了坐标系，沟通了数与形之间关系，这时数学研究是变量和不规则几形之间关系，这时数学研究是变量和不规则几何形体。微积分创建，使数学发展出现了一日何形体。微积分创建，使数学发展出现了一日千里之势，形成了内容丰富数学分析、高等代千里之势，形成了内容丰富数学分析、高等代数、高等几何三大分支。相对于初等数学，它数、高等几何三大分支。相对于初等数学，它们称为高等数学。们称为高等数学。第26页初等数学主要采取形式逻辑法，静止地、孤立初等数学主要采取形式逻辑法，静止地、孤立地、一个一个地地、一个一个地进行研究；高等数学则是以运动、进行研究；高等数学则是以运动、改变观点去研究问题。改变观点去研究问题。数学分析是一门非常主要基础理论课，它对后数学分析是一门非常主要基础理论课，它对后续课程有直接影响，关系到整个专业基础课学习成续课程有直接影响，关系到整个专业基础课学习成败、关系到同学们素质培养，对同学未来从事专业败、关系到同学们素质培养，对同学未来从事专业科学研究起着非凡作用，其关键内容是微积分。科学研究起着非凡作用，其关键内容是微积分。第27页 著名数学家柯朗说：著名数学家柯朗说：著名数学家柯朗说：著名数学家柯朗说：“微积微积微积微积分学，或者数学分析，是人类思分学，或者数学分析，是人类思分学，或者数学分析，是人类思分学，或者数学分析，是人类思维伟大结果之一。它处于自然科维伟大结果之一。它处于自然科维伟大结果之一。它处于自然科维伟大结果之一。它处于自然科学和人文科学之间地位，使它成学和人文科学之间地位，使它成学和人文科学之间地位，使它成学和人文科学之间地位，使它成为高等教育一个尤其有效工具，为高等教育一个尤其有效工具，为高等教育一个尤其有效工具，为高等教育一个尤其有效工具，这门学科乃是一个憾人心灵这门学科乃是一个憾人心灵这门学科乃是一个憾人心灵这门学科乃是一个憾人心灵智力奋斗结晶；智力奋斗结晶；智力奋斗结晶；智力奋斗结晶；这种奋斗已经经历了两千五百多年之久，它深深扎根这种奋斗已经经历了两千五百多年之久，它深深扎根这种奋斗已经经历了两千五百多年之久，它深深扎根这种奋斗已经经历了两千五百多年之久，它深深扎根于人类活动许多领域，而且，只要人们认识自己和认于人类活动许多领域，而且，只要人们认识自己和认于人类活动许多领域，而且，只要人们认识自己和认于人类活动许多领域，而且，只要人们认识自己和认识自然努力一日不止，这种奋斗就将继续不已。识自然努力一日不止，这种奋斗就将继续不已。识自然努力一日不止，这种奋斗就将继续不已。识自然努力一日不止，这种奋斗就将继续不已。”第28页 恩格斯指出：恩格斯指出：恩格斯指出：恩格斯指出：“在一切理在一切理在一切理在一切理 论成就中，未必再有什么象论成就中，未必再有什么象论成就中，未必再有什么象论成就中，未必再有什么象 17 17世纪下半叶微积分学发世纪下半叶微积分学发世纪下半叶微积分学发世纪下半叶微积分学发 明那样被看作人类精神最明那样被看作人类精神最明那样被看作人类精神最明那样被看作人类精神最 高胜利了。高胜利了。高胜利了。高胜利了。”他还说：他还说：他还说：他还说：“只只只只有微积分学才能使自然科学有可能用数学来有微积分学才能使自然科学有可能用数学来有微积分学才能使自然科学有可能用数学来有微积分学才能使自然科学有可能用数学来不但仅表明状态，而且也表明过程、运动。不但仅表明状态，而且也表明过程、运动。不但仅表明状态，而且也表明过程、运动。不但仅表明状态，而且也表明过程、运动。”第29页 微积分对科学技术主要性就象望远镜之微积分对科学技术主要性就象望远镜之于天文学，显微镜之于生物学。于天文学，显微镜之于生物学。微积分创建，与其说是数学史上，不如微积分创建，与其说是数学史上，不如说是科学史上一个创举。说是科学史上一个创举。微积分是学好其它理工课程基础，也是微积分是学好其它理工课程基础，也是学好专业课工具，不掌握好微积分，在科学学好专业课工具，不掌握好微积分，在科学技术征途中将困难重重。技术征途中将困难重重。第30页四、本课程基本要求四、本课程基本要求1、上课时不迟到、不聊天、不玩游戏。、上课时不迟到、不聊天、不玩游戏。2、累计旷课超出、累计旷课超出5次者平时成绩按次者平时成绩按0分计。分计。3、按时完成作业，禁止剽窃。作业缺交超出、按时完成作业，禁止剽窃。作业缺交超出三分之一者不许参加期末考试三分之一者不许参加期末考试(学校要求学校要求)。第31页作为数学教授大学校长：作为数学教授大学校长：丁石孙丁石孙北京大学北京大学苏步青苏步青复旦大学复旦大学谷超豪谷超豪中国科大中国科大潘承洞潘承洞山东大学山东大学齐民友齐民友武汉大学武汉大学伍卓群伍卓群吉林大学吉林大学侯自新侯自新南开大学南开大学李岳生李岳生中山大学中山大学曹策问曹策问郑州大学郑州大学杨思明杨思明湘潭大学湘潭大学展展涛涛山东大学山东大学黄达人黄达人中山大学中山大学吴传喜吴传喜湖北大学湖北大学周明儒周明儒徐州师大徐州师大王梓坤王梓坤北师大北师大陆善镇陆善镇北师大北师大王建磐王建磐华东师大华东师大史宁中史宁中东北师大东北师大路路钢钢华中师大华中师大邱玉辉邱玉辉西南师大西南师大王国俊王国俊陕西师大陕西师大第32页预备知识预备知识-实数系统实数系统一家人数系扩数系扩充概述充概述连续统连续统假设假设有理数有理数集集实数集实数集第33页德国著名数学家大卫德国著名数学家大卫希尔伯特曾经讲过希尔伯特曾经讲过一个精彩故事。在那里，希尔伯特成为一个一个精彩故事。在那里，希尔伯特成为一个旅馆老板，这个旅馆不一样于我们现实生活旅馆老板，这个旅馆不一样于我们现实生活中任何旅馆，它设有没有穷多个房间。中任何旅馆，它设有没有穷多个房间。一天，该旅馆全部客房已满。这时，又一天，该旅馆全部客房已满。这时，又来了一位客人坚持要住下来。来了一位客人坚持要住下来。Hilbert 旅馆故事旅馆故事一、数系扩充概述一、数系扩充概述第34页1.实数系扩充历史实数系扩充历史自自然然数数是“数”出来，其历史最早能够追溯到五万年前。第35页分分数数（有有理理数数）是“分”出来，早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚认识，而且他们认为有理数就是全部数。第36页无理数无理数是“推”出来，公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发觉了“无理数”。毕达哥拉斯毕达哥拉斯(约公元前约公元前560480年）年）“无理数”认可（公元前4世纪）是数学发展史上一个里程碑。第37页负负数数是“欠”出来，它是因为借贷关系中量不一样意义而产生。我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数定义、记法和加减运算法则。刘徽刘徽（公元（公元250年前后）年前后）第38页正数与负数，有理数与无理数，都是含有“实际意义量”，称之为“实数”，组成实数系统。实数系统是一个没有缝隙连续系统，任何一条线段长度都是一个实数。第39页复数（二元数）系是保持四则运算基本性质最大数系2.复数与超复数复数与超复数第40页1843年爱尔兰数学家哈密尔顿 发觉有序四元实数组完全能够组成一个数系叫“四元数”，这是一个乘法不满足交换律数系。哈密尔顿（Hamilton,William Rowan,18051865）第41页1847年，英国数学家凯莱深入发觉了八元数。这个数系乘法不满足交换律，也不满足结合律。凯莱(Cayley,Arthur.1821-1895)第42页自然数自然数N 整数整数Z有理数有理数Q 实数实数R复数（二元）复数（二元）C四元数（乘法不可交换）四元数（乘法不可交换）八元数（超复数）八元数（超复数）（乘法不可交换，也不能结合）（乘法不可交换，也不能结合）第43页3.数系扩充科学道理数系扩充科学道理逆运算在数系扩充中饰演着极为主要角色：逆运算运算法则起源于正运算，所以比正运算困难，以致可能出现无法进行现象，从而必须引进新东西，使数系得以扩展。第44页自然数中减法产生0和负数，整数系统；整数中除法产生分数，有理数系统；自然数中开方产生无理数，实数系统；负数中开方产生虚数，复数系统。第45页数系每一次扩充，基本都是运算需要第46页4.实数结构实数中正、负数、有理数都是轻易被认识，而无理数则是神秘、复杂、难以被认识；实数中，整系数代数多项式根叫代数数，比如，1，1/2，31/2，其中有理数是整系数一次多项式根；实数中不是代数数数叫超越数，比如，e。第47页实实数数有有理理数数无无理理数数代代数数数数超超越越数数实实数数第48页5.数集地位按照恩格斯所说，按照恩格斯所说，各种数集各种数集是数学两大基本柱石之一。整是数学两大基本柱石之一。整个数学都是由此提炼、演变与个数学都是由此提炼、演变与发展起来。发展起来。第49页按照按照20世纪世纪结构数学观点，结构数学观点，数数学是研究模式与秩序科学。学是研究模式与秩序科学。数学研究基本对象是数学研究基本对象是各种各样集合各种各样集合以及在它们上面赋予各种结构以及在它们上面赋予各种结构.第50页数学之比喻数学之比喻 数学像游戏，离不开数学像游戏，离不开道具和规则。道具和规则。数学中，各种集合是数学中，各种集合是道具，而在各种集合上赋道具，而在各种集合上赋予各种结构是规则。予各种结构是规则。第51页数学之比喻数学之比喻 数学像演戏，离不开数学像演戏，离不开演员和剧本。演员和剧本。数学中，各种集合是数学中，各种集合是演员，演员被分配了角色演员，演员被分配了角色才能演戏。才能演戏。第52页在这里：在这里：数集数集就是数学一个道具，就是数学一个道具，要在其上赋予要在其上赋予代数结构、序结构代数结构、序结构、拓扑结构，拓扑结构，才能展开数学理论。才能展开数学理论。第53页1.有理数代数属性p有理数集是最小数域 有理数集在四则运算下是封闭，而且加法、乘法满足结合律与交换律，而且满足乘法对加法分配律，含有这种性质数集叫做数域。二、有理数集二、有理数集第54页p有理数在数轴上是稠密、友好。有理数在数轴上是稠密、友好。稠稠密密性性：任意两个有理数之间，必定存在第三个有理数，而不论这两个有理数有多么靠近。友友好好性性：有理数之间相处得亲密无间，对任意一个给定有理数，永远找不到一个与之最靠近有理数。第55页2.有理数几何属性011x这里这里有有有有理数理数这两位这两位之间有之间有有理数有理数第56页3.有理数集合特点p有理数是可数有理数是可数与自然数一样多与自然数一样多 比较两个有限数量东西孰多孰少基本思想是直接或间接一一对应。1874年起，德国数学家康托开始研究这类问题，他将一一对应思想应用于比较无穷集元素多少问题。第57页康托（康托（Georg Cantor;18451918）1845年出生于圣彼得堡，犹太人后代。11 岁时进入德国，1867 年获柏林大学博士学位，1872 年升为教授。1874 年开始研究比较无穷集元素多少问题。第58页先数数偶数先数数偶数这个这个世界上，正偶数多一些，还是正整数世界上，正偶数多一些，还是正整数多一些呢？多一些呢？12345678246810121416 知道了知道了：全部正整数和全部正偶数都一样多全部正整数和全部正偶数都一样多！第59页再数数平方数这个这个世界上，平方数多一些，还是正整数多世界上，平方数多一些，还是正整数多一些呢？一些呢？123456781222324252627282 知道了知道了：全部平方数和全部正整数都一样多全部平方数和全部正整数都一样多！第60页可数集可数集像像自自然然数数这这么么能能够够排排成成一一列列或或者者能能够够一一个个一一个个数数下下去去（与与自自然然数数一一一一对对应）无限集叫做应）无限集叫做可数集可数集。所以偶数数集、平方数集都是可数集。所以偶数数集、平方数集都是可数集。第61页5432112345xy1(1,1)2 (2,1)3 (1,2)4 (3,1)5 (2,2)6 (1,3)结论：结论：格点数量格点数量=整数数量整数数量看看格点与整数比较第62页整数、格点与有理数比较整数、格点与有理数比较123456(1,1)(2,1)(1,2)(3,1)(2,2)(1,3)结论结论：整数数量=格点数量=分数数量第63页有理数集是可数集第64页4.有理数长度为0有理数在数轴上所占长度为有理数在数轴上所占长度为0 0假如我们采取某种伎俩将全体有理数在数轴上挤压在一起，使其彼此之间没有重合、也没有缝隙，它们能占用多大长度？第65页有理数们，排出来！有理数们，排出来！每每“人人”发一顶帽子戴一戴！发一顶帽子戴一戴！第66页量一量有理数帽子总宽度！So small!有理数长度为0!第67页5.有理点不能覆盖数轴例例1 1：证实证实不是有理数不是有理数.证法一：略证法一：略证法二：略证法二：略仅有理数是不够！第68页6.阿基米德(Archimedes)Archimedes)公理阿基米德公理是一个简单几何事实：阿基米德公理是一个简单几何事实：设设分别以分别以表示两线段表示两线段长度，则必长度，则必即：即：第69页总结一下从代数上看，从代数上看，有理数在四则运算下是封闭，有理数在四则运算下是封闭，组成一个数域；组成一个数域；从几何上看，有理数在数轴上是稠密，从几何上看，有理数在数轴上是稠密，所以，要去度量任何一件实际事物，所以，要去度量任何一件实际事物，不论要求多高精度，不论要求多高精度，只要有理数就够了；只要有理数就够了；从测度上看，有理数很从测度上看，有理数很“轻巧轻巧”，它们是可数，它们是可数，在数轴上所占用长度为在数轴上所占用长度为0 看看看看有理数有理数优优 点点第70页说说有理数缺点说说有理数缺点从代数上看，有理数在从代数上看，有理数在开方运算下不封闭；开方运算下不封闭；从几何上看，有理数在从几何上看，有理数在数轴上还有许多缝隙；数轴上还有许多缝隙；从分析上看，有理数对从分析上看，有理数对极限运算不封闭。极限运算不封闭。第71页1.1.实数理论建立实数理论建立因因为为有有理理数数有有许许多多不不完完备备地地方方，假假如如不不对对有有理理数数进进行行扩扩充充，关关于于极极限限运运算算就就无无法法进进行行，从从而而也也就就不会有微积分。不会有微积分。有理数扩充直接结果是实数集。有理数扩充直接结果是实数集。关关于于实实数数，长长久久以以来来，人人们们只只是是直直觉觉地地去去认认识识：有有理理数数是是有有限限小小数数或或无无限限循循环环小小数数，无无理理数数是是无无限不循环小数，有理数与无理数统称为限不循环小数，有理数与无理数统称为实数实数。三、实数集三、实数集第72页19世纪，德国数学家世纪，德国数学家康托康托（G.Cantor,1845-1918）、）、戴德金戴德金(J.W.R.Dedekind,18311916)、魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯（K.W.T.Weierstrass,18151897）经经过过对对无无理理数数本本质质进进行行深深入入研研究究，奠奠定定了了实实数数结结构理论。构理论。第73页魏尔斯特拉斯K.W.T.,WeierstrasspK.T.W Weierstrass(18151897)p德国数学家p先修财务、管理、法律，后学数学p1854年，哥尼斯堡大学声誉博士；1856年，柏林科学院院士p数论、几何、复分析第74页戴德金戴德金R.(Dedekind,Richard _1916)戴德金R.(Dedekind,Richard)1831年10月 6日生于德国不伦瑞克；1916 年2月12 日卒于不伦瑞克。数学家。第75页1.1 1.1 无理数导入无理数导入定义定义：设：设称称为为一个分划，一个分划，分别称为分别称为分划下组和上组分划下组和上组.例例1 1：第76页，显然：显然：无最大数，无最大数，有最小数有最小数1.1.有最大数有最大数1 1，无最小数无最小数.无最大数，无最大数，无最小数（在无最小数（在中）中）.实际上：设实际上：设则必有：则必有：即：即：由：由：第77页只要：只要：由由ArchimedesArchimedes公理知结论成立公理知结论成立.显然，分划显然，分划唯一确定了一个唯一确定了一个有理数，称为这个分划有理数，称为这个分划界数界数.反之反之,任何一个有理数，都能够作为一个分任何一个有理数，都能够作为一个分划界数划界数.不过分划不过分划不能确定一个有理数，称为不能确定一个有理数，称为无理数无理数.第78页1.2 实数集确界定义定义1 1 ：设设 A A 是一个是一个 有上界无限集，即：有上界无限集，即：则称则称MM是是A A一个上界一个上界.显然显然:若若A A有上界有上界,则必不唯一则必不唯一.定理定理1 1 ：若若A A有上界有上界,则必有最小上界则必有最小上界(上确界上确界)证实证实 考虑二种情形考虑二种情形:(1)(1)若若A A中有最大数中有最大数即为即为A A上确界上确界.第79页若数集若数集A A不是有界集不是有界集,则称则称A A为无界集为无界集.若数集若数集A A现有上界又有下界现有上界又有下界,则称则称A A为有界集为有界集.(2)(2)若若A A中无最大数中无最大数,令令为为A A全部上界全部上界之集之集,显然：显然：为为R R一个分划，会产生唯一一一个分划，会产生唯一一界数，设为界数，设为显然显然是是A A一个上界一个上界且且是是最小元，即上确界最小元，即上确界.第80页说明说明:(1):(1)符号符号supsupA A.(2)sup(2)supA A准确表示：准确表示：(3)3)集合集合A A有界有界描述性定义，只强调描述性定义，只强调MM存在性，不计较真值存在性，不计较真值.(4)(4)集合集合A A无界无界应注意到概念否定应注意到概念否定“对偶标准对偶标准”及无界集及无界集第81页诗情画意诗情画意“一枝红杏出墙来一枝红杏出墙来”推论：推论：若对若对都成立都成立第82页 定理定理1 1是数学分析中基本定理之一，称为是数学分析中基本定理之一，称为确确界原理界原理，处理了非空有上，处理了非空有上(下下)界集合上界集合上(下下)确界确界存在性问题存在性问题.若全序集中任一非空有上界子集合必有上若全序集中任一非空有上界子集合必有上确界，我们称该全序集是完备确界，我们称该全序集是完备(连续连续)。定理定理1 1刻划了实数集是完备。刻划了实数集是完备。这一性质是实这一性质是实数集和有理数集本质区分。数集和有理数集本质区分。第83页2.实数集代数属性实数集是数域实数集是数域 实数集在四则运算下是封闭，而且加法、乘法满足结合律与交换律，而且满足乘法对加法分配律。要严格地证实这一点是困难，它需要考虑实数有序性、四则运算详细定义等。第84页3.实数集几何属性实数在数轴上是连续、无缝。实数在数轴上是连续、无缝。（1）数学分析中有六个等价命题单调有界数列收敛原理；致密性定理；Cauchy收敛准则;确界定理；聚点原理；闭区间套定理；有限覆盖定理.第85页（2）能能够够进进行行极极限限运运算算这这是是微微积积分分建立基础建立基础第86页4.实数集集合特点实实数数集集是是不不可可数数与自然数不能建立1-1对应。第87页假如实数可数，先把(0,1)内编号吧！证一证第88页假如可将0与1之间实数编号：矛盾！结构一个（结构一个（0，1）区间数）区间数第89页实数集是不可数集！第90页第91页