2018高考数学一轮复习文科训练题周周测-5-有答案和解释.docx

周周测5　三角函数综合测试 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知P(sin40°，－cos140°)为锐角α终边上的点，则α＝(　　) A．40°　B．50° C．70° D．80° 答案：B 解析：∵P(sin40°，－cos140°)为角α终边上的点，因而tanα＝－cos140°sin40°＝－cos(90°＋50)sin(90°－50°)＝sin50°cos50°＝tan50°，又α为锐角，则α＝50°，故选B. 2．若角θ与角φ的终边关于直线y＝x对称，且θ＝－π3，则sinφ＝(　　) A．－32 B.32 C．－12 D.12 答案：D 解析：∵角θ与角φ的终边关于直线y＝x对称，因而θ＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，则φ＝2kπ＋5π6，k∈Z，因而sinφ＝12. 3．(2018•湖北黄石调研)已知向量a＝(1,3)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，则tanα＝(　　) A．3 B．－3 C.13 D．－13 答案：C 解析：∵a∥b，∴3sinα＝cosα，则tanα＝13.故选C. 4．(2018•四川遂宁)已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1相交于点P12，y，则sinπ2＋α＝(　　) A．1 B.12 C．－32 D．－12 答案：B 解析：∵点P12，y在单位圆上，∴y＝±32，∴α＝π3＋2kπ，k∈Z或－π3＋2kπ，k∈Z. ∴sinπ2＋α＝cosα＝cos±π3＋2kπ＝cosπ3＝12.故选B. 5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f(1)的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D.3 答案：B 解析：根据题中所给图象可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×23＋13＝2，A＝2，ω＝2πT＝π，f23＝2sinπ×23＋φ＝－2，又0<φ<π，所以φ＝5π6，所以f(x)＝2sinπx＋56π，所以f(1)＝2sinπ＋5π6＝－1，故选B. 6．(2018•洛阳一模)将函数f(x)＝2sinωx＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位长度后得到g(x)的图象，若函数g(x)在区间－π6，π3上为增函数，则ω的最大值为(　　) A．3 B．2 C.32 D.54 答案：C 解析：由题意知，g(x)＝2sinωx－π4ω＋π4＝2sinωx，由对称性，得π3－－π3≤12×2πω，即ω≤32，则ω的最大值为32. 7．(2018•陕西西安一模)已知α∈R，sinα＋2cosα＝102，则tan2α＝(　　) A.43 B.34 C．－34 D．－43 答案：C 解析：∵sinα＋2cosα＝102，∴sin2α＋4sinα•cosα＋4cos2α＝52.用降幂公式化简得4sin2α＝－3cos2α，∴tan2α＝sin2αcos2α＝－34.故选C. 8．(2017•新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是(　　) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2 答案：D 解析：本题考查三角函数的诱导公式及图象变换． 首先利用诱导公式化异名为同名． y＝sin2x＋2π3＝cos2x＋2π3－π2＝cos2x＋π6＝cos2x＋π12， 由y＝cosx的图象得到y＝cos2x的图象，需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变；由y＝cos2x的图象得到y＝cos2x＋π12的图象，需将y＝cos2x的图象上的各点向左平移π12个单位长度，故选D. 9．设α∈(0，π)，sinα＋cosα＝13，则cos2α的值是(　　) A.179 B．－223 C．－179 D.179或－179 答案：C 解析：∵sinα＋cosα＝13，∴1＋2sinαcosα＝19， 即2sinαcosα＝－89. ∵α∈(0，π)，∴sinα>0，cosα<0， ∴(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝179， ∴cosα－sinα＝－173， ∴cos2α＝(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝－179. 10．(2018•河北衡水中学三调)若α∈π2，π，且3cos2α＝sinπ4－α，则sin2α的值为(　　) A．－118 B.118 C．－1718 D.1718 答案：C 解析：由3cos2α＝sinπ4－α，得3(cos2α－sin2α)＝22(cosα－sinα)．又∵α∈π2，π，∴cosα－sinα≠0，∴(cosα＋sinα)＝26. 两边平方，得1＋2sinαcosα＝118，∴sin2α＝－1718.故选C. 11．(2018•湖北部分重点中学联考)4sin80°－cos10°sin10°＝(　　) A.3 B．－3 C.2 D．22－3 答案：B 解析：4sin80°－cos10°sin10°＝4sin80°sin10°－cos10°sin10°＝2sin20°－cos10°sin10°＝2sin(30°－10°)－cos10°sin10°＝－3.故选B. 12．(2018•云南民族中学一模)已知tanα＝2，则2sin2α＋1cos2α－π4的值是(　　) A.53 B．－134 C.135 D.134 答案：D 解析：∵tanα＝2，∴2sin2α＋1cos2α－π4＝2sin2α＋sin2α＋cos2αcos2α－π2＝3sin2α＋cos2αsin2α＝3sin2α＋cos2α2sinαcosα＝3tan2α＋12tanα＝3×22＋12×2＝134. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．若2弧度的圆心角所对的弧长是4 cm，则这个圆心角所在的扇形面积是________． 答案：4 cm2 解析：lr＝|α|⇒4r＝2⇒r＝2，∴S＝12lr＝4. 14．已知A为三角形的内角，sinA＝45，则5cosA＋23tanA－2＝________. 答案：52或16 解析：由A为三角形的内角，sinA＝45，得cosA＝35，tanA＝43或cosA＝－35，tanA＝－43，因而5cosA＋23tanA－2＝3＋24－2＝52或5cosA＋23tanA－2＝－3＋2－4－2＝16. 15．(2018•洛阳一模)已知sinα－π3＝14，则cosπ3＋2α＝________. 答案：－78 解析：cosπ3＋2α＝cosπ－2π3＋2α ＝－cos2π3－α＝2sin2π3－α－1＝－78. 16．(2017•新课标全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是__． 答案：1 解析：本题主要考查三角函数的最值． 由题意可得f(x)＝－cos2x＋3cosx＋14＝－cosx－322＋1. ∵x∈0，π2，∴cosx∈[0,1]． ∴当cosx＝32时，f(x)max＝1. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) (2018•湖北百所重点校联考)设α∈0，π3，满足6sinα＋2cosα＝3. (1)求cosα＋π6的值； (2)求cos2α＋π12的值． 解：(1)∵6sinα＋2cosα＝3，∴sinα＋π6＝64. ∵α∈0，π3，∴α＋π6∈π6，π2， ∴cosα＋π6＝104. (2)由(1)可得 cos2α＋π3＝2cos2α＋π6－1＝2×1042－1＝14. ∵α∈0，π3，∴2α＋π3∈π3，π， ∴sin2α＋π3＝154. ∴cos2α＋π12＝cos2α＋π3－π4＝cos2α＋π3cosπ4＋sin2α＋π3sinπ4＝30＋28. 18．(本小题满分12分) (2017•江苏卷)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]． (1)若a∥b，求x的值； (2)记f(x)＝a•b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值． 解析：(1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，a∥b，所以－3cosx＝3sinx. 若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0. 于是tanx＝－33. 又x∈[0，π]，所以x＝5π6. (2)f(x)＝a•b＝(cosx，sinx)•(3，－3) ＝3cosx－3sinx＝23cosx＋π6. 因为x∈[0，π]，所以x＋π6∈π6，7π6，从而－1≤cosx＋π6≤32. 于是，当x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)取到最大值3； 当x＋π6＝π，即x＝5π6时，f(x)取到最小值－23.
19．(本小题满分12分) (2018•安徽合肥检测)已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程； (2)讨论函数f(x)在0，π2上的单调性． 解析：(1)∵f(x)＝sinωx－cosωx＝2sinωx－π4，且T＝π， ∴ω＝2.于是f(x)＝2sin2x－π4，令2x－π4＝kπ＋π2，得x＝kπ2＋3π8(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝kπ2＋3π8(k∈Z)． (2)令2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为kπ－π8，kπ＋3π8(k∈Z)． 注意到x∈0，π2，令k＝0，得函数f(x)在0，3π8上的单调递增；同理，f(x)在3π8，π2上单调递减． 20．(本小题满分12分) (2018•北京怀柔区模拟)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x－1. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)在区间－π4，π4上的最大值和最小值． 解：(1)∵f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x－1 ＝2sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x ＝2sin2x＋π4， ∴函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π. (2)由(1)可知，f(x)＝2sin2x＋π4. ∵x∈－π4，π4，∴2x＋π4∈－π4，3π4， ∴sin2x＋π4∈－22，1.故函数f(x)在区间－π4，π4上的最大值和最小值分别为2，－1. 21．(本小题满分12分) (2018•山东潍坊期中联考)设函数f(x)＝sinωx•cosωx－3cos2ωx＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4. (1)求ω的值； (2)若函数y＝f(x＋φ)0<φ<π2是奇函数，求函数g(x)＝cos(2x－φ)在[0,2π]上的单调递减区间． 解：(1)f(x)＝sinωx•cosωx－3cos2ωx＋32＝12sin2ωx－3(1＋cos2ωx)2＋32＝12sin2ωx－32cos2ωx＝sin2ωx－π3. 设T为f(x)的最小正周期，由f(x)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得T22＋[2f(x)max]2＝π2＋4. ∵fx)max＝1，∴T22＋4＝π2＋4，整理得T＝2π. 又∵ω>0，T＝2π2ω＝2π，∴ω＝12. (2)由(1)可知f(x)＝sinx－π3，∴f(x＋φ)＝sinx＋φ－π3. ∵y＝f(x＋φ)是奇函数，∴sinφ－π3＝0. 又∵0<φ<π2， ∴φ＝π3，∴g(x)＝cos(2x－φ)＝cos2x－π3. 令2kπ≤2x－π3≤2kπ＋π，k∈Z，则kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k∈Z， ∴函数g(x)的单调递减区间是kπ＋π6，kπ＋2π3，k∈Z. 又∵x∈[0,2π]，∴当k＝0时，g(x)的单调递减区间为π6，2π3； 当k＝1时，g(x)的单调递减区间为7π6，5π3 ∴函数g(x)在[0,2π]上的单调递减区间是π6，2π3，7π6，5π3. 22．(本小题满分12分) (2018•黑龙江哈尔滨六中月考)已知函数f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4sinx＋π4. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)将y＝f(x)的图象向左平移π3个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)的图象．若函数y＝g(x)在区间π2，13π4上的图象与直线y＝a有三个交点，求实数a的取值范围． 解：(1)f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4sinx＋π4 ＝12cos2x＋32sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx) ＝12cos2x＋32sin2x＋sin2x－cos2x ＝12cos2x＋32sin2x－cos2x ＝sin2x－π6. 令－π2＋2kπ≤2x－π6≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π6≤x≤kπ＋π3，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递增区间是kπ－π6，kπ＋π3，k∈Z. (2)将f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得g1(x)＝sin2x＋π3－π6＝sin2x＋π2＝cos2x的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g(x)＝cosx的图象．作函数g(x)＝cosx在区间π2，13π4上的图象，作直线y＝a.根据图象知，实数a的取值范围是－22，0.

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