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2018高考数学（文）第一次模拟考试题（济南市有答案） 高考模拟考试 文科数学 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2.若命题“ 或 ”与命题“非 ”都是真命题，则（ ） A．命题 与命题 都是真命题 B．命题 与命题 都是假命题 C．命题 是真命题，命题 是假命题 D．命题 是假命题，命题 是真命题 3.欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当 时， 被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.下列曲线中离心率为 的是（ ） A． B． C． D． 5.若 ， ，则 的值为（ ） A． B． C． 或 D． 6.已知变量 ， 满足约束条件 ，若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7.将函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，则 （ ） A．为奇函数，在 上单调递减 B．为偶函数，在 上单调递增 C．周期为 ，图象关于点 对称 D．最大值为1，图象关于直线 对称 8.如图，在正方体 中， 为 的中点，则 在该正方体各个面上的正投影可能是（ ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 9.函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 10.执行如图所示的程序框图，当输入 时，输出的结果为（ ） A．-1008 B．1009 C．3025 D．3028 11.已知双曲线 ： 的两条渐近线是 ， ，点 是双曲线 上一点，若点 到渐近线 距离是3，则点 到渐近线 距离是（ ） A． B．1 C． D．3 12. 设 ， 分别是函数 和 的零点（其中 ），则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量 ， 满足 ， ， ，则 ． 14.如图，茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员的5次训练成绩（单位：环），则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为 ． 15.在平面四边形 中， ， ， ， ，则线段 的长度为 ． 16.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.记 为数列 的前 项和，已知 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 18.如图，在四棱锥 中，底面 为等腰梯形， ， ， ， 分别为线段 ， 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）若 平面 ， ，求四面体 的体积. 19. 2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在 内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表. 表1：设备改造后样本的频数分布表 质量指标值
频数 4 36 96 28 32 4 （1）完成下面的 列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关； 设备改造前 设备改造后 合计 合格品 不合格品 合计 （2）根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较； （3）根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损 100元，用频率估计概率，则生产1000件产品企业大约能获利多少元？ 附： 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 20.如图，在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 ： 上，直线 ： 与抛物线 交于 ， 两点，且直线 ， 的斜率之和为-1. （1）求 和 的值； （2）若 ，设直线 与 轴交于 点，延长 与抛物线 交于点 ，抛物线 在点 处的切线为 ，记直线 ， 与 轴围成的三角形面积为 ，求 的最小值. 21.设函数 ， . （1）讨论 的单调性； （2）当 时，记 的最小值为 ，证明： . （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 中，过点 的直线 的参数方程为 （ 为参数）.以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （2）若直线 与曲线 相交于 ， 两点，求 的值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围. 2018年济南市高三教学质量检测 文科数学参考答案 一、选择题 1-5: CDCDB 6-10: ADBCB 11、12：AD 二、填空题 13. 14. 2 15. 16. 三、解答题 17.解：（1）由 ，得 当 时， ； 当 时， . 所以 . （2） ， 所以 . 18.（1）证明：连接 、 ， 交 于点 ， ∵ 为线段 的中点， ， ，∴ ， ∴四边形 为平行四边形， ∴ 为 的中点，又 是 的中点， ∴ ， 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . （2）解法一：由（1）知，四边形 为平行四边形，∴ ， ∵四边形 为等腰梯形， ， ， ∴ ，∴三角形 是等边三角形，∴ ， 做 于 ，则 ， ∵ 平面 ， 平面 ，∴平面 平面 ， 又平面 平面 ， ， 平面 ， ∴ 平面 ，∴点 到平面 的距离为 ， 又∵ 为线段 的中点，∴点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离的一半，即 ，又 ， ∴ . 解法二： ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ， ∴点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离， 做 于点 ，由 ，知三角形 是等边三角形，∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ，∴平面 平面 ， 又平面 平面 ， ， 平面 ， ∴ 平面 ，∴点 到平面 的距离为 ， 又 为线段 的中点，∴ ， ∴ . 18.如图，在四棱锥 中，底面 为等腰梯形， ， ， ， 分别为线段 ， 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）若 平面 ， ，求四面体 的体积. 19.解：（1）根据图1和表1得到 列联表： 设备改造前 设备改造后 合计 合格品 172 192 364 不合格品 28 8 36 合计 200 200 400 将 列联表中的数据代入公式计算得： . ∵ ， ∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. （2）根据图1和表1可知，设备改造后产品为合格品的概率约为 ，设备改造前产品为合格品的概率约为 ；即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好. （3）用频率估计概率，1000件产品中大约有960件合格品，40件不合格品， ，所以该企业大约获利168800元. 20.解：（1）将点 代入抛物线 ： ，得 ， ，得 ， 设 ， ，则 ， ， 解法一： ， 由已知得 ，所以 ， . 解法二： ， 由已知得 . （2）在直线 的方程 中，令 得 ， ， 直线 的方程为： ，即 ， 由 ，得 ， 解得： ，或 ，所以 ， 由 ，得 ， ，切线 的斜率 ， 切线 的方程为： ，即 ， 由 ，得直线 、 交点 ，纵坐标 ， 在直线 ， 中分别令 ，得到与 轴的交点 ， ， 所以 ， ， ， 当 时，函数单调递减；当 时，函数单调递增； ∴当 时， 最小值为 . 21.解：（1） 的定义域为 ， ， 当 时， ， 在 上单调递增； 当 时，当 ， ， 单调递减； 当 ， ， 单调递增； 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. （2）由（1）知， ， 即 . 解法一： ， ， ∴ 单调递减， 又 ， ，所以存在 ，使得 ， ∴当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； ∴ ，又 ，即 ， ∴ ，令 ，则 在 上单调递增， 又 ，所以 ，∴ . 解法二：要证 ，即证 ，即证： ， 令 ，则只需证 ， ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 所以 ， 所以 ，即 . 22.【解析】 （1）由已知得： ，消去 得 ， ∴化为一般方程为： ， 即： ： . 曲线 ： 得， ，即 ，整理得 ， 即： ： . （2）把直线 的参数方程 （ 为参数）代入曲线 的直角坐标方程中得： ，即 ， 设 ， 两点对应的参数分别为 ， ，则 ， ∴ . 23.【解析】 （1）当 时， ，∴ ，故 ； 当 时， ，∴ ，故 ； 当 时， ，∴ ，故 ； 综上可知： 的解集为 . （2）由（1）知： ， 【解法一】 如图所示：作出函数 的图象， 由图象知，当 时， ，解得： ， ∴实数 的取值范围为 . 【解法二】 当 时， 恒成立，∴ ， 当 时， 恒成立，∴ ， 当 时， 恒成立，∴ ， 综上，实数 的取值范围为 .

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