2017高考数学一轮考点训练平面解析几何含答案.docx

第九章 平面解析几何 考纲链接 1.平面解析几何初步 (1)直线与方程 ①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素． ②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． ③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． ④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系． ⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标． ⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离． (2)圆与方程 ①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． ②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系． ③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． ④初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 2．圆锥曲线与方程 (1)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)． (2)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． (3)了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)． (4)理解数形结合的思想． (5)了解圆锥曲线的简单应用．

§9.1　直线与方程
1．平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上A，B两点的距离：数轴上点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则A，B两点间的距离|AB|＝____________． (2)平面直角坐标系中的基本公式： ①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式为 d(A，B)＝|AB|＝_______________________． ②线段的中点坐标公式：若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则 x＝　　　　　　，y＝　　　　　　. 2．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴____________与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________． (2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即k＝______(α≠______)．当直线平行于x轴或者与x轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度． (3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝　　　　　　　　． 3．直线方程的几种形式 (1)截距：直线l与x轴交点(a，0)的____________叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点(0，b)的____________叫做直线l在y轴上的截距． 注：截距____________距离(填“是”或“不是”)． (2)直线方程的五种形式： 名称 方程 适用范围 点斜式 ① k存在 斜截式 ② k存在 两点式 ③ ④ 截距式 ⑤ a≠0且b≠0 一般式 ⑥ 平面直角坐标系内的所有直线 注：斜截式是________的特例；截距式是________的特例． (3)过点P1(x1，y1)P2(x2，y2)的直线方程 ①若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为____________； ②若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为____________； ③若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为____________； ④若x1≠x2，且y1＝y2＝0，直线即为x轴，方程为____________．
自查自纠： 1．(1)|x2－x1|　(2)①x2－x12＋y2－y12 ②x1＋x22　y1＋y22 2．(1)正向　平行　重合　0°≤α<180° (2)正切值　tanα　90°　＝　>　<　90°　(3)y2－y1x2－x1 3．1)横坐标a　纵坐标b　不是 (2)①y－y0＝k(x－x0)　②y＝kx＋b ③y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1　④x1≠x2且y1≠y2 ⑤xa＋yb＝1　⑥Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 点斜式　两点式 (3)①x＝x1　②y＝y1　③x＝0　④y＝0

过点M(－1，m)，N(m＋1，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　) A．1 B.12 C．2 D.13 解：由4－mm＋2＝1，得m＝1.故选A. 直线3x－3y＋1＝0的倾斜角是(　　) A．30° B．60° C．120° D．135° 解：直线方程可变形为y＝3x＋33，tanα＝3，∵倾斜角α∈[0°180°)，∴α＝60°.故选B. 过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上截距2倍的直线方程是(　　) A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0 D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0 解：当直线过原点时所求方程为2x－5y＝0；当直线不过原点时，可设其截距式为xa＋y2a＝1，由该直线过点(5，2)即可解得a＝6，对应方程为x6＋y12＝1，即2x＋y－12＝0.故选B. 已知直线l过点(0，2)，且其倾斜角的余弦值为45，则直线l的方程为____________． 解：∵cosα＝45，α∈[0，π)，∴sinα＝35，k＝tanα＝34.∴直线l的方程为y－2＝34x，即3x－4y＋8＝0. 故填3x－4y＋8＝0. 下列四个命题中真命题有______个． ①经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示； ②经过任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示； ③不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示； ④经过定点(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示． 解：①当k不存在时，直线方程为x＝x0，不正确；②正确；③当直线与坐标轴垂直时不能用该方程表示，不正确；④k可能不存在，不正确．故填1.
类型一　直线的倾斜角和斜率 　(1)经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为____________，____________． 解：如图所示， 为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0时，倾斜角α为钝角；k＝0时，α＝0；k>0时，α为锐角． 又kPA＝－2－（－1）1－0＝－1， kPB＝1－（－1）2－0＝1，∴－1≤k≤1. 又当0≤k≤1时，0≤α≤π4； 当－1≤k<0时，3π4≤α<π. 故倾斜角α的取值范围为α∈0，π4∪3π4，π. 故填[－1，1]；0，π4∪3π4，π.
(2)如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，则直线l1的斜率k1＝________，直线l2的斜率k2＝________． 解：由图可知，α2＝α1＋90°＝120°，则直线l1的斜率k1＝tanα1＝tan30°＝33，直线l2的斜率k2＝tanα2＝tan120°＝－3，故填33；－3.
点拨： ①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k＝tanα联系．②在使用过两点的直线的斜率公式k＝y2－y1x2－x1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x＝x1.③在已知两点坐标，求倾斜角α的值或取值范围时，用tanα＝k＝y2－y1x2－x1转化，其中倾斜角α∈[0，π)，此时依然要注意斜率不存在的情形，同时注意运用数形结合思想解题．
　(1)直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是(　　) A.0，π2 B．(0，π) C.－π4，π4 D.0，π4∪34π，π 解：直线xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα， ∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1， 当0≤k≤1时，倾斜角的范围是0，π4 当－1≤k<0时，倾斜角的范围是34π，π.故选D.
(2)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1，1)和Q(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是____________． 解：如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，当m≠0时，kQA＝32，kPA＝－2，kl＝－1m， ∴－1m≤－2或－1m≥32， 解得0＜m≤12或－23≤m＜0； 当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点． ∴实数m的取值范围为－23，12.故填－23，12. 类型二　求直线方程 　根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5. 解：(1)由题意知，直线的斜率存在， 设倾斜角为α，则sinα＝1010(α∈[0，π))， 从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13. 故所求直线的方程为y＝±13(x＋4)，即x±3y＋4＝0. (2)若截距不为0，设直线的方程为xa＋ya＝1， ∵直线过点(－3，4)，∴－3a＋4a＝1，解得a＝1. 此时直线方程为x＋y－1＝0. 若截距为0，设直线方程为y＝kx，代入点(－3，4)， 有4＝－3k，解得k＝－43，此时直线方程为4x＋3y＝0. 综上，所求直线方程为x＋y－1＝0或4x＋3y＝0. (3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x－5＝0. 当直线斜率存在时，设其方程为y－10＝k(x－5)， 即kx－y＋(10－5k)＝0. 由点到直线的距离公式，得10－5k1＋k2＝5，解得k＝34. 此时直线方程为3x－4y＋25＝0. 综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
点拨： 本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱．(1)给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；(2)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；(3)应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线．
　求满足下列条件的所有直线方程： (1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍． 解：(1)根据题意，设直线l在x，y轴上的截距均为a， 若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)， ∴l的方程为y＝14x，即x－4y＝0. 若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1， ∵l过点(4，1)，∴4a＋1a＝1， 得a＝5.∴l的方程为x＋y－5＝0. 综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0. (2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tanα＝3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34. 又直线经过点(－1，－3)， 因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)， 即3x＋4y＋15＝0.
类型三　直线方程的应用 　(1)已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线 l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则PA＋PB的最小值为__________． 解：设点A1(x1，y1)与A(4，－1)关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，∴P0A1＝P0A，PA1＝ PA.∴PA＋PB＝PA1 ＋PB≥A1B＝A1P0＋P0B＝P0A＋P0B. 当P点运动到P0点时，PA＋PB取到最小值A1B. ∵点A，A1关于直线l对称，∴由对称的充要条件知， y1＋1x1－4×1＝－1，x1＋42－y1－12－1＝0， 解得x1＝0，y1＝3， 即A1(0，3)． ∴(PA＋PB)min＝A1B＝82＋（－1）2＝65.故填65.
点拨： 平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础．求A关于l的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据．
(2)直线l过点P(1，4)，且分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点． ①当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程； ②若|PA|•|PB|最小，求l的方程． 解：①依题意，l的斜率存在，且斜率为负， 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)． 令y＝0，可得A1－4k，0； 令x＝0，可得B(0，4－k)． |OA|＋|OB|＝1－4k＋(4－k)＝5－k＋4k ＝5＋－k＋4－k≥5＋4＝9. ∴当且仅当－k＝4－k且k<0， 即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值． 这时l的方程为2x＋y－6＝0. ②|PA|•|PB|＝4k2＋16•1＋k2 ＝41－k＋（－k）≥8(k<0)， 当且仅当1－k＝－k且k<0， 即k＝－1时，|PA|•|PB|取最小值． 这时l的方程为x＋y－5＝0.
点拨： 直线方程综合问题的两大类型及解法：(1)与函数相结合的问题，解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．
　已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程． 解：(1)证明：将直线l的方程变形得k(x＋2)＋(1－y)＝0，令x＋2＝0，1－y＝0，解得x＝－2，y＝1， ∴无论k取何值，直线l过定点(－2，1)． (2)当直线l的倾斜角θ∈[0°，90°]时，直线l不经过第四象限，∴k≥0. (3)由l的方程，得A－1＋2kk，0，B(0，1＋2k)． 依题意得－1＋2kk<0，1＋2k>0，解得k>0. ∵S＝12•|OA|•|OB|＝12•1＋2kk•|1＋2k| ＝12•（1＋2k）2k＝124k＋1k＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， 当且仅当4k＝1k且k>0，即k＝12时等号成立， ∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.

1．直线的倾斜角和斜率的关系，可借助k＝tanα的图象(如图)来解决．这里，α∈[0，π)，k的范围是两个不连续的区间．这说明，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率，故在求直线方程时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应对斜率存在或不存在进行分类讨论． 2．直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距为0的情况． 3．在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单． 4．对于直线方程来说，要注意的是，除“一般式”外，每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目．在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形．如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件A2＋B2≠0而出现增解．

1．若A－B＋C＝0，则直线Ax＋By＋C＝0必经过点(　　) A．(0，1) B．(1，0) C．(1，－1) D．(－1，－1) 解：将点(1，－1)代入Ax＋By＋C＝0，得A－B＋C＝0， ∴直线Ax＋By＋C＝0必过点(1，－1)．故选C. 2．下列命题中，正确的是(　　) A．直线的斜率为tanα，则直线的倾斜角是α B．直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα C．直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 D．直线的倾斜角α∈0，π2∪π2，π时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增 解：因为直线的斜率k＝tanθ，且θ∈[0，π)时，θ才是直线的倾斜角，所以A不对；因为任一直线的倾斜角α∈[0，π)，而当α＝π2时，直线的斜率不存在，所以B不对；当α∈0，π2时，斜率大于0；当α∈π2，π时，斜率小于0，C不对．故选D. 3．已知直线的倾斜角为120°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为(　　) A．y＝3x＋2 B．y＝－3x＋2 C．y＝－3x－2 D．y＝3x－2 解：∵k＝tan120°＝－3，且直线在y轴上的截距为－2， ∴由斜截式得y＝－3x－2.故选C. 4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－2或－1 D．－2或1 解：显然a≠0，由题意得a＋2＝a＋2a，解得a＝－2或1.故选D. 5．将直线l沿y轴的负方向平移a(a>0)个单位，再沿x轴正方向平移a＋1个单位得直线l′，此时直线l′与l重合，则直线l′的斜率为(　　) A.aa＋1 B．－aa＋1 C.a＋1a D．－a＋1a 解：设直线l的倾斜角为θ，则根据题意，有tan(π－θ)＝－tanθ＝aa＋1，∴k＝tanθ＝－aa＋1.故选B. 6．(2013•北京海淀模拟)已知点A(－1，0)，B(cosα，sinα)，且AB＝3，则直线AB的方程为(　　) A．y＝3x＋3或y＝－3x－3 B．y＝33x＋33或y＝－33x－33 C．y＝x＋1或y＝－x－1 D．y＝2x＋2或y＝－2x－2 解：∵AB＝（cosα＋1）2＋sin2α＝2＋2cosα＝3， ∴cosα＝12，sinα＝±32. 当点B的坐标为12，32时，直线AB的方程为y＝33x＋33；当点B的坐标为12，－32时，直线AB的方程为y＝－33x－33.故选B. 7．直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是____________． 解：由题意得直线l的斜率k＝－sin30°cos150°＝tan30°＝33，∴直线l的斜率为33.故填33. 8．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈π6，π4∪2π3，π，则k的取值范围是____________． 解：∵k＝tan α，α∈π6，π4∪2π3，π， ∴－3≤k<0或33≤k≤1.故填[－3，0)∪33，1. 9．已知直线l的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l的方程． 解：设所求直线l的方程为xa＋yb＝1. ∵k＝16，∴－ba＝16，得a＝－6b. 又S＝12|a|•|b|＝3，∴|ab|＝6. 联立a＝－6b，ab＝6，得a＝－6，b＝1或a＝6，b＝－1. ∴所求直线方程为：x－6＋y1＝1或x6＋y－1＝1， 即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0. 10．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求： (1)BC边所在直线的方程； (2)BC边上中线AD所在直线的方程； (3)BC边的垂直平分线DE的方程． 解：(1)∵直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，∴由两点式得BC的方程为y－13－1＝x－2－2－2，即x＋2y－4＝0. (2)易得BC边的中点D的坐标为(0，2)，
∵BC边的中线AD过点A(－3，0)，D(0，2)两点，∴由截距式得AD所在直线方程为x－3＋y2＝1，即2x－3y＋6＝0. (3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－12， 则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2. 由(2)知，点D的坐标为(0，2)． 由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)， 即2x－y＋2＝0. 11．已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程． 解法一：设直线l的方程为xa＋yb＝1(a>0，b>0)，将点P(3，2)代入得3a＋2b＝1≥26ab，得ab≥24，从而S△AOB＝12ab≥12，当且仅当3a＝2b时等号成立，这时k＝－ba＝－23，从而所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0. 解法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k<0， 可设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)， 则A3－2k，0，B(0，2－3k)， S△ABO＝12(2－3k)3－2k ＝1212＋（－9k）＋4－k ≥1212＋2（－9k）•4－k ＝12×(12＋12)＝12，当且仅当－9k＝4－k，即k＝－23时，等号成立． ∴△ABO的面积的最小值为12，所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0. 已知△ABC中，顶点A(4，5)，点B在直线l：2x－y＋2＝0上，点C在x轴上，求△ABC周长的最小值． 解：设点A关于直线l：2x－y＋2＝0的对称点为A1(x1，y1)，点A关于x轴的对称点为A2(x2，y2)，连接A1A2交l于点B，交x轴于点C，则此时△ABC的周长取最小值，且最小值为A1A2. ∵A1与A关于直线l：2x－y＋2＝0对称， ∴y1－5x1－4×2＝－1，2×x1＋42－y1＋52＋2＝0， 解得x1＝0，y1＝7.∴A1(0，7)．易求得A2(4，－5)， ∴△ABC周长的最小值为A1A2＝（4－0）2＋（－5－7）2＝410.

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