2018福建省百校高考数学理科临考冲刺试卷附答案.docx

福建省百校2018届下学期临考冲刺高三数学考试卷 数 学 理 科 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 2.设全集 ，集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3.中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位 的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位 的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为 ． 1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则 的运算结果可用算筹表示为（ ） A． B． C． D． 4.若双曲线 的焦距等于离心率，则 （ ） A． B． C． D． 5.设有下面四个命题， 若 ，则 ； 若 ，则 ； 的中间项为 ； 的中间项为 ；其中真命题为（ ） A． B． C. D．
6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的表面积为（ ）

A． B． C. D． 7.已知点 表示 除以 余 ，例如 ， ，则如图所示的程序框图的功能是（ ）

A． 求被 除余 且被 除余 的最小正整数 B．求被 除余 且被 除余 的最小正整数 C. 求被 除余 且被 除余 的最小正奇数 D．求被 除余 且被 除余 的最小正奇数 8.若 ，且 ，则 （ ） A． B． C. D． 9.设 满足约束条件 ，若 的最大值为6，则 的最大值为（ ） A． B． C. D． 10.若函数 与 都在区间 上单调递减，则 的最大值为（ ） A． B． C. D． 11.在正方体 中， ，以 为球心， 为半径的球与棱 分别交于 两点，则二面角 的正切值为（ ） A． B． C. D． 12.设函数 ，若存在互不相等的4个实数 ，使得 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C. D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 在 中， ，且 ，则 ． 14.现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，还有5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为 ． 15.在平行四边形 中， ， ， ，且 ，则平行四边形 的面积的最大值为 ． 16. 为椭圆 上一动点， 分别为左、右焦点，延长 至点 ，使得 ，记动点 的轨迹为 ，设点 为椭圆 短轴上一顶点，直线 与 交于 两点， 则 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列 是等比数列，且 ． （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 ．
18. 如图，在三棱锥 中， 两两垂直， ，平面 平面 ，且 与棱 分别交于 三点． （1）过 作直线 ，使得 ， ，请写出作法并加以证明； （2）过点，且与直线垂直； （3）若 将三棱锥 分成体积之比为 的两部分（其中，四面体 的体积更小）， 为线段 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
19. 某大型水果超市每天以 元/千克的价格从水果基地购进若干 水果，然后以 元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以 元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了 水果最近 天的日需求量（单位：千克）整理得下表： 日需求量 140 150 160 170 180 190 200 频数 5 10 8 8 7 7 5 以 天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率． （1）若该超市一天购进 水果 千克，记超市当天 水果获得的利润为 （单位：元），求 的分布列及其数学期望； （2）若该超市计划一天购进 水果 千克或 千克，请以当天 水果获得的利润的期望值为决策依据，在 千克与 千克之中选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水果以 元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？ 20. 已知直线 经过抛物线 的焦点且与此抛物线交于 两点， ，直线 与抛物线 交于 两点，且 两点在 轴的两侧． （1）证明： 为定值； （2）求直线 的斜率的取值范围； （3）已知函数 在 处取得最小值 ，求线段 的中点 到点 的距离的最小值（用 表示）
21. 已知函数 （1）讨论 的单调性； （2）设 是 的两个零点，证明： ．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ），曲线 的参数方程为 （ 为参数，且 ）． （1）以曲线 上的点与原点 连线的斜率 为参数，写出曲线 的参数方程； （2）若曲线 与 的两个交点为 ，直线 与直线 的斜率之积为 ，求 的值．
23.选修4-5：不等式选讲 已知函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 ，求 的取值范围． 试卷答案 一、选择题 1-5:CADAD 610:BDBCB 11、12：BC
二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.解：（1）设等比数列 的公比为 ，则 ， 从而 ， 故 ； （2） ， 记 ， ； 故 ． 18.解：（1）作法：取 的中点 ，连接 ，则直线 即为要求作的直线 ． 证明如下： ，且 ， 平面 ． 平面 平面 ，且 平面 ，平面 平面 ． 平面 ， ． 又 ， 为 的中点，则 ，从而直线 即为要求作的直线 ． （2） 将三棱锥 分成体积之比为 的两部分， 四面体 的体积与三棱锥 分成体积之比为 ， 又平面 平面 ， ． 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，设 ， 则 ， , 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 ， 令 ，得 则 ， 直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 19. 解：（1）若 水果日需求量为 千克，则 元， 且 ，若 水果日需求量不小于 千克， 则 元，且 ． 故 的分布列为：
680 750 0.1 0.9 元． （2）设该超市一天购进 水果160千克，当天的利润为 （单位：元） 则 的可能取值为 ，即 ， 的分布列为： 660 730 800 0.1 0.2 0.7 ， 因为 ，所以该超市应购进 千克， 若剩余的水果以 元/千克的价格退回水果基地，同理可得 的分布列分别为： 670 750 0.1 0.9
640 720 800 0.1 0.2 0.7 因为 ， 所以该超市还是应购进160千克．
20.解：（1）证明：由题意可得，直线 的斜率存在，故可设 的方程为 ， 联立 ，得 ，则 为定值； （2）由（1）知， ， 则 ，即 ． 联立 得： ， 两点在 轴的两侧， ， ， 故直线 的斜率的取值范围为 ． （3）设 ，则 ， ． 又 ， ， 故点 的轨迹方程为 ， 而 ， 在 处取得最小值 ， ． 21.解：（1） ， 当 时， ，则 在 上单调递增． 当 时，令 ，得 ，则 的单调递增区间为 ， 令 ，得 ，则 的单调递减区间为 ． （2）证明：由 得 ，设 ，则 ． 由 ，得 ；由 ，得 ． 故 的最小值． 当 时， ，当 时， ， 不妨设 ，则 ， 等价于 ， 且 在 上单调递增， 要证： ，只需证 ， ， 只需证 ，即 ， 即证 ； 设 ， 则 ， 令 ，则 ， ， 在 上单调递减，即 在 上单调递减， ， 在 上单调递增， ， 从而 得证． 22.解：（1）将 消去参数 ，得 （未写 扣一分）， 由 得 （ 为参数，且 ）． （2）曲线 的普通方程为 ， 将 代入 并整理得： ； 因为直线 与直线 的斜率之积为 ，所以 ， 解得 ，又 ， ， 将 代入 ，得： ，故 ． 23.解：（1）当 时，因为 所以 的解集为 ， 由 ，得 ，则 ，即 ， 解得 ，故不等式 的解集为 ； （2）当 时， ， 则 ，又 ，所以 ． 当 时， ，故 不合题意， 当 时， 当且仅当 时等号成立，则 ，又 ，所以 综上： 的取值范围为 ．

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