2018盐城市高考数学第三次模拟试卷有答案.docx

盐城市2018届高三年级第三次模拟考试 数 学 试 题 (总分160分，考试时间120分钟) 注意事项： 　　1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 　　2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 　　3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式： 锥体体积公式： ，其中 为底面积, 为高. 圆锥侧面积公式： ，其中 为底面半径, 为母线长. 样本数据 的方差 ，其中 . 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知 ， ，若 ，则实数 的取值范围为 ▲ ． 2．设复数 （ 为虚数单位）为纯虚数，则实数 的值为 ▲ ． 3．设数据 的方差为1，则数据 的方差为 ▲ ． 4．一个袋子中装有2个红球和2个白球（除颜色外其余均相同）， 现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球 的概率为 ▲ ． 5．“ ”是“ ”成立的 ▲ 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既 不充分又不必要”）． 6．运行如图所示的算法流程图，则输出S的值为 ▲ ． 7．若双曲线 的两条渐近线与抛 物线 交于 三点，且直线 经过抛物 线的焦点，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 8．函数 的定义域为 ▲ ． 9．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ▲ ． 10．已知函数 为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为 ，则 的值为 ▲ ． 11．设数列 的前 项和为 ，若 ， 则数列 的通项公式为 ▲ ． 12．如图，在 中，已知 ， ， ，点 分别为边 的7等 分点，则当 时， 的最大值 为 ▲ ． 13．定义：点 到直线 的有向距离为 ．已知点 , ，直线 过点 ，若圆 上存在一点 ，使得 三点到直线 的有向距离之和为0，则直线 的斜率的取值范围为 ▲ ． 14．设 的面积为2，若角 所对的边分别为 ，则 的最小值 为 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 在直四棱柱 中，已知底面 是菱形， 分别是棱 的中点． （1）求证： ∥平面 ； （2）求证：平面 平面 ．
16．(本小题满分14分) 在 中，角 的对边分别为 ， 为边 上的中线． （1）若 ， ， ，求边 的长； （2）若 ，求角 的大小．
17．(本小题满分14分) 如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为400米， ，且半径 平分 ．现拟在 上选取一点 ，修建三条路 , , 供游人行走观赏，设 ． （1）将三条路 , , 的长度之和表示为 的函数 ，并写出此函数的定义域 （2）试确定 的值，使得 最小． 18．(本小题满分16分) 如图，已知 分别是椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆 上一点，且 轴． （1）求椭圆 的方程； （2）设圆 ． ①设圆 与线段 交于两点 ，若 ，且 ，求 的值； ②设 ，过点 作圆 的两条切线分别交椭圆 于 两点（均异于点 ）．试问：是否存在这样的正数 ，使得 两点恰好关于坐标原点 对称？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
19．(本小题满分16分) 若对任意实数 都有函数 的图象与直线 相切，则称函数 为“恒切函数”．设函数 ， ． （1）讨论函数 的单调性； （2）已知函数 为“恒切函数”． ①求实数 的取值范围； ②当 取最大值时，若函数 也为“恒切函数”，求证： ． （参考数据： ）
20．(本小题满分16分) 在数列 中，已知 ，并满足: 是等差数列（其中 ），且当 为奇数时，公差为 ；当 为偶数时，公差为 ． （1）当 ， 时，求 的值； （2）当 时，求证：数列 是等比数列； （3）当 时，记满足 的所有 构成的一个单调递增数列为 ，试求数列 的通项公式．
盐城市2018届高三年级第三次模拟考试 数学附加题部分 （本部分满分40分，考试时间30分钟） 21．[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） A.（选修4-1：几何证明选讲） 如图，已知半圆 的半径为5， 为半圆 的直径， 是 延长线上一点，过点 作半圆 的切线 ，切点为 ， 于点 ．若 ，求 的长．
B.（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵 的属于特征值1的一个特征向量为 ，求矩阵 的另一个特征值和对应的一个特征向量．

C．（选修4-4：坐标系与参数方程） 在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同），设曲线 的极坐标方程为 ，求直线 被曲线 截得的弦长．

D．(选修4-5：不等式选讲） 已知正数 满足 ，求 的最小值．

[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分） 某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过 每个项目测试的概率都是 ． （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率； （2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为 ，求 的概率分布和数学期望．
23．（本小题满分10分） （1）已知 ，比较 与 的大小，试将其推广至一般性结论并证明； （2）求证： ．
盐城市2018届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1． 2． 3．4 4． 5．充分不必要 6．21 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 二、解答题：本大题共90小题. 15．（1）证明：连接 ，在四棱柱 中，因为 ， ， 所以 ，所以 为平行四边形，所以 ． ……2分 又 分别是棱 的中点，所以 ，所以 ． ……4分 又 平面 ， 平面 ， 所以 ∥平面 ． ……6分 （2）证明：因为四棱柱 是直四棱柱， 所以 平面 ，而 平面 ， 所以 ． ……8分 又因为棱柱的底面 是菱形，所以底面 也是菱形， 所以 ，而 ，所以 ．……10分 又 ， 平面 ，且 ， 所以 平面 ． ……12分 而 平面 ，所以平面 平面 ． ……14分 16．解：（1）在 中，因为 ，所以由余弦定理， 得 ． ……3分 故在 中，由余弦定理，得 ， 所以 ． ……6分 （2）因为 为边 上的中线，所以 ，所以 ，得 ． ……10分 则 ，得 ，所以 ． ……14分 17．解：（1）在 中，由正弦定理，得 ， 即 ，从而 ， ． ……4分 所以 ＝ ， 故所求函数为 ， ． ……6分 （2）记 ， 因为 ， ……10分 由 ，得 ，又 ，所以 ． ……12分 列表如下： － 0 ＋ 递减 极小 递增 所以，当 时， 取得最小值． 答：当 时， 最小． ……14分 18．解：（1）因点 是椭圆 上一点，且 轴，所以椭圆的半焦距 ， 由 ，得 ，所以 ， ……2分 化简得 ，解得 ，所以 ，所以椭圆 的方程为 ． ……4分 （2）①因 ，所以 ，即 ， 所以线段 与线段 的中点重合（记为点 ），由（1）知 ， ……6分 因圆 与线段 交于两点 ，所以 ， 所以 ，解得 ， ……8分 所以 ，故 . ……10分 ② 由 两点恰好关于原点对称，设 ，则 ，不妨设 ， 因 ， ，所以两条切线的斜率均存在， 设过点 与圆 相切的直线斜率为 ，则切线方程为 ， 即 ，由该直线与圆M相切，得 ，即 ， ……12分 所以两条切线的斜率互为相反数，即 ， 所以 ，化简得 ，即 ，代入 ， 化简得 ，解得 （舍）， ，所以 ， ……14分 所以 ， ，所以 ， 所以 . 故存在满足条件的 ，且 ． ……16分 19．解：（1） ， ……2分 当 时， 恒成立，函数 在 上单调递减； 当 时，由 得 ，由 得 ，由 得 ， 得函数 在 上单调递，在 上单调递增． ……4分 （2）①若函数 为“恒切函数”，则函数 的图像与直线 相切， 设切点为 ，则 且 ，即 ， . 因为函数 为“恒切函数”，所以存在 ，使得 ， ， 即 ， 得 ， ，设 ， ……6分 则 ， ，得 ， ，得 ， 故 在 上单调递增，在 上单调递减，从而 ， 故实数 的取值范围为 ． ……8分 ②当 取最大值时， ， ， ， ， ，因为函数 也为“恒切函数”， 故存在 ，使得 ， ， 由 得 ， ，设 ， ……10分 则 ， 得 ， 得 ， 故 在 上单调递减，在 上单调递增， 1°在单调递增区间 上， ，故 ，由 ，得 ； ……12分 2°在单调递减区间 上， ， ，又 的图像在 上不间断， 故在区间 上存在唯一的 ，使得 ，故 ， 此时由 ，得 ， 函数 在 上递增， ， ，故 ． 综上1°2°所述， ． ……16分 20．解：（1）由 ， ，所以 ， 为等差数列且公差为 ，所以 ， 又 为等差数列且公差为 ，所以 ． ……2分 （2）当 时， 是等差数列且公差为 ， 所以 ，同理可得 ， ……4分 两式相加，得 ； 当 时，同理可得 ， ……6分 所以 ．又因为 ，所以 ， 所以数列 是以2为公比的等比数列． ……8分 （3）因为 ，所以 ，由（2）知 ， 所以 ， 依次下推，得 ， 所以 ， ……10分 当 时， ， 由 ，得 ，所以 ， 所以 （ 为奇数）； ……12分 由（2）知 ， 依次下推，得 ， 所以 ， ……14分 当 时， ， 由 ，得 ，所以 ． 所以 （ 为偶数）． 综上所述， ． ……16分 方法二：由题意知， ， ……10分 当 为奇数时， 的公差为 ， 的公差为 ， 所以 ， ， 则由 ，得 ，即 ． 同理，当 为偶数时，也有 ．故恒有 ． ……12分 ①当 为奇数时，由 ， ，相减，得 ， 所以 ． ……14分 ②当 为偶数时，同理可得 ． 综上所述， ． ……16分

附加题答案 21．（A）解：连 ，因 为半圆 的切线， 所以 ．又 ， 所以 ∽ ，所以 ， 即 ． ……5分 因 为半圆 的直径，所以 ， 因半圆 的半径为5，所以 ，所以 ， 由射影定理，得 ，解得 ，所以 ． ……10分 （B）解：由题意得 ，解得 ，所以 ． ……2分 矩阵 的特征多项式为 ， 由 ，得 ，所以矩阵 的另一个特征值为2． ……6分 此时 ，对应方程组为 ，所以 ， 所以另一个特征值2对应的一个特征向量为 ． ……10分 （C）解：直线的普通方程为 ；由 ，得曲线 的普通方程为 ，……5分 所以 ，所以直线 被曲线 截得的弦长为 ． ……10分 （D）解：根据柯西不等式，有 ， 因 ，所以 ， ……5分 当且仅当 时等号成立，解得 ， 即当 时， 取最小值 ． ……10分 22．解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为 ． ……4分 （2）因为每人可被录用的概率为 ，所以 ， ， ， ． 故 的概率分布表为： 0 1 2 3 ……8分 所以， 的数学期望 ． ……10分 23．解：（1） ， 因为 ， ，所以 ，则 ， 所以 ，即 ． 所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立． ……2分 推广：已知 , ( )，则 ．……4分 证明：①当 时命题显然成立； 当 时，由上述过程可知命题成立； ②假设 时命题成立， 即已知 , ( )时，有 成立， 则 时， ， 由 ，可知 ， 故 ， 故 时命题也成立． 综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切 恒成立． ……6分 （注：推广命题中未包含 的不扣分） （2）证明：由（1）中所得的推广命题知 ①， ……8分 记 ， 则 ， 两式相加，得 ， ，故 ②， 又 ③， 将②③代入①，得 ， 所以， ，证毕． ……10分

20 × 20