2018大连市高考第一次模拟数学试题理含答案.docx

辽宁省大连市2018届高三第一次模拟 数学理试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2.若复数 为纯虚数，则实数 的值为（ ） A．1 B．0 C． D．-1 3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是 ，则8771用算筹可表示为（ ） A． B． C． D． 4.如图所示程序框图是为了求出满足 的最小正偶数 ，那么 空白框中及最后输出的 值分别是（ ） A． 和6 B． 和6 C. 和8 D． 和8 5.函数 的部分图象大致为（ ） A． B． C. D． 6. 某几何体的三视图如图所示（单位： ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位： ）是（ ） A． B． C. D． 7.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种. A．24 B．36 C.48 D．60 8. 的内角 的对边分别为 ，若 ， ，则 面积的最大值是（ ） A．1 B． C.2 D．4 9. 已知边长为2的等边三角形 ， 为 的中点，以 为折痕进行翻折，使 为直角，则过 四点的球的表面积为（ ） A． B． C. D． 10. 将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，则 的值可以为（ ） A． B． C. D． 11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，若 上存在一点 满足 ，且 的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C.2 D．3 12.若直线 和曲线 的图象交于 ， ， 三点时，曲线 在点 点处的切线总是平行的，则过点 可作曲线 的（ ）条切线. A．0 B．1 C.2 D．3 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.设实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为 ． 14.已知半径为 的圆周上有一定点 ，在圆周上等可能地任意取一点与点 连接，则所得弦长介于 与 之间的概率为 ． 15.已知抛物线 ，过点 任作一条直线和抛物线 交于 、 两点，设点 ，连接 ， 并延长，分别和抛物线 交于点 和 ，则直线 过定点 ． 16.已知腰长为2的等腰直角 中， 为斜边 的中点，点 为该平面内一动点，若 ，则 的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设数列 的前 项和为 ，且 ，在正项等比数列 中， ， . 求 和 的通项公式； 设 ，求数列 的前 项和. 18. 大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 （单位：千元）对年销售量 （单位： ）和年利润 （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费 和年销售量 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.6 573 6.8 289.8 1.6 215083.4 31280 表中 ， . 根据散点图判断， 与 哪一个适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由 根据 的判断结果及表中数据，建立 关于 的回归方程； 已知这种产品的年利润 与 、 的关系为 .根据 的结果回答下列问题： 年宣传费 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 年宣传费 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， . 19. 在如图所示的几何体中，四边形 是正方形， 平面 ， 分别是线段 ， 的中点， . 求证： 平面 ； 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. 20. 在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上. 求椭圆 的方程； 已知 与 为平面内的两个定点，过点 的直线 与椭圆 交于 两点，求四边形 面积的最大值. 21. 已知函数 . 若 在 上是单调递增函数，求 的取值范围； 设 ，当 时，若 ，且 ，求证： . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 ， . 求 与 交点的极坐标； 设点 在 上， ，求动点 的极坐标方程. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数 ， . 当 时，求不等式 的解集； ，都有 恒成立，求 的取值范围.
试卷答案 一、选择题 1-5: 6-10: 11、12： 二、填空题 13.14 14. 15. 16. 三、解答题 17.解： ， 当 时， ， ， ， . 又 数列 为等比数列， ， ， 又 ， . 由 得： 设数列 的前 项和为 当 时， . 当 时， ， 又当 时， ， 综上， . 18. 解： 由散点图可以判断 适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程类型. 令 ，先建立 关于 的线性回归方程 ， ， 所以 关于 的线性回归方程为 ， 所以 关于 的线性回归方程为 . 由 知，当 时，年销售量 的预报值为 ， 年利润 的预报值为 . 根据 的结果知，年利润 的预报值 ， 当 ，即 时，年利润的预报值最大， 故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大. 19.解： 方法一： 取 中点 ，连接 ， 分别是 中点, ， 为 中点， 为正方形， ， , 四边形 为平行四边形， 平面 ， 平面 ， 平面 . 方法二： 取 中点 ，连接 ， . 是 中点， 是 中点， ， 又 是 中点， 是 中点， ， ， ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 . 又 平面 ， 平面 . 方法三： 取 中点 ，连接 ， ， 在正方形 中， 是 中点， 是 中点 又 是 中点， 是 中点， ， 又 ， ， ， 平面 //平面 . 平面 平面 . 方法四： 平面 ,且四边形 是正方形， 两两垂直，以 为原点， ， ， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 ， 则 ， 则设平面 法向量为 ， 则 , 即 , 取 ， ， 所以 ，又 平面 ， ∥平面 . 平面 ,且四边形 是正方形， 两两垂直，以 为原点， ， ， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 ， 则 设平面 法向量为 ， 则 , 即 ， 取 , 则设平面 法向量为 ， 则 , 即 , 取 ， . 平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 . （若第一问用方法四，则第二问部分步骤可省略） 20. 解： 由 可得， ，又因为 ，所以 . 所以椭圆 方程为 ，又因为 在椭圆 上，所以 . 所以 ，所以 ，故椭圆方程为 . 方法一：设 的方程为 ，联立 ， 消去 得 ，设点 ， 有 所以 令 ， 有 ，由 函数 ， 故函数 ，在 上单调递增， 故 ，故 当且仅当 即 时等号成立， 四边形 面积的最大值为 . 方法二：设 的方程为 ，联立 ， 消去 得 ，设点 ， 有 有 ， 点 到直线 的距离为 ， 点 到直线 的距离为 ， 从而四边形 的面积 令 ， 有 ， 函数 ， 故函数 ，在 上单调递增， 有 ，故 当且仅当 即 时等号成立，四边形 面积的最大值为 . 方法三：①当 的斜率不存在时， 此时，四边形 的面积为 . ②当 的斜率存在时，设 为： ， 则 ， ， 四边形 的面积 令 则 , 综上，四边形 面积的最大值为 . 21.解： 在 上是单调递增函数, 在 上， 恒成立，即： 设 ， 当 时 ， 在 上为增函数， 当 时 ， 在 上为减函数， ， 即 . 方法一：因为 ， 所以 ， 所以 在 上为增函数， 因为 ，即 ， 同号， 所以不妨设 ,设 ，…8分 所以 ， 因为 ， ， 所以 ，所以 在 上为增函数， 所以 ，所以 ， 所以 ， 所以 ，即 . 方法二： ， 设 ，则 ， 在 上递增且 令 ， 设 , ， ， ， 在 上递增， ， ， 令 即： 又 ， 即： 在 上递增 ，即： 得证. 22. 解：联立 ， ， ， ， ， 交点坐标 . 设 , 且 ， ， 由已知 ，得 ， ，点 的极坐标方程为 . 23.解： 当m=-2时， , 当 解得 当 恒成立 当 解得 此不等式的解集为 . 当 时 ， 当 时，不等式化为 . 由 当且仅当 即 时等号成立. ， . 当 时，不等式化为 . ，令 ， . ， 在 上是增函数. 当 时， 取到最大值为 . . 综上 .

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