2019高考数学专题训练等差数列等比数列含解析.docx

专题限时集训(三)　等差数列、等比数列 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a2a4＝1，S3＝7，则S5＝(　　) A.152　　 　B.314　　 　C.334　　 　D.172 B　[设公比为q(q＞0)，联立a2a4＝a21•q4＝1，S3＝a1＋a1q＋a1q2＝7，解得a1＝4q＝12，则S5＝a1(1－q5)1－q＝314，故选B.] 2．若Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2，则{an}是(　　) A．等比数列，但不是等差数列 B．等差数列，但不是等比数列 C．等差数列，而且也是等比数列 D．既非等比数列又非等差数列 B　[因为Sn＝n2，所以a1＝S1＝1，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2，所以an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，当n＝1时上式也成立，所以{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，但不是等比数列，故选B.] 3．已知等比数列{an}的各项都是正数，且3a1，12a3,2a2成等差数列，则a8＋a9a6＋a7＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 D　[∵3a1，12a3,2a2成等差数列， ∴a3＝3a1＋2a2， ∴q2－2q－3＝0，∴q＝3或q＝－1(舍去)． ∴a8＋a9a6＋a7＝a6q2＋a7q2a6＋a7＝q2＝32＝9.] 4．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为(　　) A.176升 B.72升 C.11366升 D.10933升 A　[自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，依题意有a1＋a2＋a3＋a4＝3a7＋a8＋a9＝4，因为a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝32＋43＝176.选A.] 5．设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则(　　) A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0 C　[{2a1an}为递减数列，可知{a1an}也为递减数列，又a1an＝a21＋a1(n－1)d＝a1dn＋a21－a1d，故a1d＜0，故选C.] 6．(2018•泰安模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝bn＋1bn＝3，n∈N*.若数列{cn}满足cn＝ban，则c2 018＝(　　) A．92 017 B．272 017 C．92 018 D．272 018 D　[由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列． 数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，∴an＝3n，bn＝3n. 又cn＝ban＝33n，∴c2 018＝33×2 018＝272 018，故选D.] 7．(2018•自贡模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，且a2＝－2，则a7等于(　　) A．16 B．32 C．64 D．128 C　[由题意知2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，即an＋2＝－2an＋1，故数列{an}从第2项起是公比为－2的等比数列． 所以a7＝(－2)×(－2)5＝64.] 8．(2018•武汉模拟)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，则Sn＝a21－a22＋a23－a24＋…＋a22n－1－a22n等于(　　) A.13(2n－1) B.15(1－24n) C.13(4n－1) D.13(1－2n) B　[在数列{an}中，由a1＝1，an＋1＝2an，可得an＝2n－1， 则Sn＝a21－a22＋a23－a24＋…＋a22n－1－a22n ＝1－4＋16－64＋…＋42n－2－42n－1 ＝1－(－4)2n1－(－4)＝15(1－42n)＝15(1－24n)． 故选B.] 二、填空题 9．(2018•黄山模拟)等比数列{an}满足an＞0，q＞1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则公比q＝________. 2　[由已知可得a3＋a5＝20a3a5＝64，解得a3＝4a5＝16或a3＝16a5＝4(舍去)，故a5a3＝164＝4＝q2，故q＝2.] 10．(2018•潍坊模拟)已知1an是等差数列，若a1＝1，a4＝4，则a10＝________. －45　[设1an的公差为d，由a1＝1，a4＝4得，3d＝1a4－1a1＝－34，所以d＝－14，从而1a10＝1a1＋9d＝－54，故a10＝－45.] 11．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an，n为正奇数an＋1，n为正偶数，则其前6项之和S6＝________. 33　[由题意知a1＝1，a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，∴S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝33.] 12．(2018•南昌模拟)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1•a6•a11＝33，b1＋b6＋b11＝7π，则tanb3＋b91－a4•a8＝________. －3　[{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1•a6•a11＝33，b1＋b6＋b11＝7π，∴a36＝(3)3,3b6＝7π，∴a6＝3，b6＝7π3，∴tanb3＋b91－a4•a8＝tan2b61－a26＝tan2×7π31－(3)2＝tan－7π3＝tan－2π－π3＝－tanπ3＝－3.] 三、解答题 13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a6＝4，S5＝－5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求T5的值和Tn的表达式． [解]　(1)由题意知2a1＋7d＝4，5a1＋5×42d＝－5， 解得a1＝－5，d＝2，故an ＝2n－7(n∈N*)． (2)由an＝2n－7<0，得n<72，即n≤3， 所以当n≤3时，an＝2n－7<0，当n≥4时，an＝2n－7>0. 易知Sn＝n2－6n，S3＝－9，S5＝－5，所以T5＝－(a1＋a2＋a3)＋a4＋a5＝－S3＋(S5－S3)＝S5－2S3＝13. 当n≤3时，Tn＝－Sn＝6n－n2； 当n≥4时，Tn＝－S3＋(Sn－S3)＝Sn－2S3＝n2－6n＋18. 故Tn＝6n－n2，n≤3，n2－6n＋18，n≥4. 14．(2018•东北三校联考)已知数列{an}的首项a1＞0，an＋1＝3an2an＋1(n∈N*)，且a1＝23. (1)求证：1an－1是等比数列，并求出{an}的通项公式； (2)求数列1an的前n项和Tn. [解]　(1)证明：记bn＝1an－1，则bn＋1bn＝1an＋1－11an－1＝2an＋13an－11an－1＝2an＋1－3an3－3an＝1－an3(1－an)＝13， 又b1＝1a1－1＝32－1＝12， 所以1an－1是首项为12，公比为13的等比数列． 所以1an－1＝12×13n－1，即an＝2×3n－11＋2×3n－1. 所以数列{an}的通项公式为an＝2×3n－11＋2×3n－1. (2)由(1)知，1an＝12×13n－1＋1. 所以数列1an的前n项和Tn＝121－13n1－13＋n ＝341－13n＋n.

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