数学实验专题培训市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学试验数学试验怎样计算怎样计算 值值?第1页 圆周率是人类取得最古老数学概圆周率是人类取得最古老数学概念之一，早在大约念之一，早在大约3737前（即公元前前（即公元前1717左右）古埃及人就已经在左右）古埃及人就已经在 用用256/81256/81（约（约3.16053.1605）作为）作为近似值了。近似值了。几千年来，人们一直没有停顿过求几千年来，人们一直没有停顿过求努力。努力。第2页你可能能写出 =3.1415926535实际计算问题实际计算问题 8628034825342117068 不过你会计算值吗？你又能用几个用Mathematica轻易求出到几百位In1=NPi,100Out23.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899方法计算值？第3页 古古 典典 方方 法法 分分 析析 方方 法法 数值积分方法数值积分方法 概概 率率 方方 法法第4页 古典方法古典方法用什么方法来计用什么方法来计 算算近似值呢？显然，不可能仅依据圆近似值呢？显然，不可能仅依据圆周率定义，用圆周长去除以直径。起先，人们采取都是周率定义，用圆周长去除以直径。起先，人们采取都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来迫近古典方法。用圆内接正多边形和圆外切正多边形来迫近古典方法。6 6边形边形1212边形边形2424边形边形圆圆第5页 阿基米德曾用圆内接阿基米德曾用圆内接 96 96边形和圆外切边形和圆外切9696边形夹逼方法证实了边形夹逼方法证实了由由和和 导出导出 公元公元5世纪，祖冲之指出世纪，祖冲之指出比西方得到一样结果几乎早了10第6页 十五世纪中叶，阿尔十五世纪中叶，阿尔卡西给出卡西给出16位位小数，打破了祖冲之纪录小数，打破了祖冲之纪录 1579年年,韦达证实韦达证实 1630年年,最终一位用古典方法求最终一位用古典方法求人格人格林伯格也只求到了林伯格也只求到了第第39位小数位小数第7页从十七世纪中叶起，人们开始用更先进分从十七世纪中叶起，人们开始用更先进分析方法来求析方法来求近似值，其中应用主要工具近似值，其中应用主要工具是收敛无穷乘积和无穷级数，在本节中我是收敛无穷乘积和无穷级数，在本节中我们将介绍一些用这类方法求们将介绍一些用这类方法求近似值实例。近似值实例。分析方法分析方法 利用幂级数表示式利用幂级数表示式第8页取取取取 1656年，沃里斯年，沃里斯(Wallis)证实证实第9页 在微积分中我们学过泰勒级数，其中有在微积分中我们学过泰勒级数，其中有当当x=1=1第10页取取取取第11页用用MathematicaMathematica计算计算Out8 3.14154265358982449In1 k=1000;S1=N4*Sum(-1)(n-1)/(2n-1),n,1,k,18Out2 3.14059265383979293In3 k=10000;Out4 3.14149265359004324In5 k=15000;Out6 3.1415259869235In7 k=0第12页左边三个正方形左边三个正方形组成矩形中，组成矩形中，由由 和和 可得可得ACBD 问题:能不能算得更加快一点、更准确一点？第13页Machin公式简单公式麦琴(Machin)给出第14页再用MathematicaOut8 3.141592653589793238462643383279Cleark,n,SIn1 k=10;S2=N4*Sum(-1)(n-1)*(1/2)(2n-1)/(2n-1)+(-1)(n-1)*(1/3)(2n-1)/(2n-1),n,1,k,20Out2 3.14159257960635121097In3 k=20;Out4 3.1415926535897574098In5 k=50;Out6 3.14159265358979323846In7 k=50;第15页将0,1区间n等分，取xk=k/n,yk=1/(1+xk2)数值积分方法数值积分方法第16页Out8 3.141592646923126571795976843597MathematicaIn1 yx_:=4/(1+x2);n=100;S3=N1/(2*n)*(Sum2*yk/n,k,1,n-1+y0+y1),30Out2 3.1415759869231285559229513739In3 n=500;Out4 3.141591986923126571922960843596In5 n=1000;Out6 3.141592486923126571797960843597In7 n=5000;第17页交充要条件为 设计方案1从Buffon落针试验谈起：平行线距离为a，针长度为l(0,i-,m=m+IfRandom*a/2=l/2*SinRandom*Pi/2,1,0;N(2*l*n)/(a*m),10Out2 3.13234In1 n=500000;Out2 3.14408计算机模拟：计算机模拟：产生 0,/2上n个角度t,产生 0,a/2上n个距离x 计算满足 x(l*sin(t)/2点数m；=(2*l*n)/(a*m)第20页 4 m/n 计算机模拟：产生区间0,1上数目为n一组 在正方形 0 x 1,0 y1上随机投大量点，那么落在四分之一园内点数数m与在正方形内点数n之比m/n应为这两部分图形面积之比/4,故随机数(x,y)，计算满足x2+y20,i-,m=m+IfRandom2+Random2=1,1,0;N4*m/n,10Out2 3.1352In1 n=50000;Out2 3.15336In1 n=100000;第22页试验任务试验任务1.用反正切函数幂级数展开式结合相关公式 2.用数值积分计算，分别用梯形法和Simpson 简单公式和Machin公式所用项数.求，若要准确到以40位、50位数字，试比较法准确到10位数字，用Simpson法准确到15位数字.第23页看能否求得5位准确数字？4.设计方案用计算机模拟Buffon试验3.用Monte Carlo 法计算，除了加大随机数，在随机数一定时可重复算若干次后求平均值，5.利用学习过知识(或查阅资料)，提出其它 计算方法第24页谢谢各位！第25页