元二次方程的解法市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

一元二次方程九年级数学主讲教师：李开宇第1页1 1、学习目标：、学习目标：、学习目标：、学习目标：(1)(1)了解一元二次方程概念，了解一元二次方程普通了解一元二次方程概念，了解一元二次方程普通 形式，会把一元二次方程化成普通形式。形式，会把一元二次方程化成普通形式。(2)(2)掌握一元二次方程四种解法，会用直接开平方法、掌握一元二次方程四种解法，会用直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法解一元二次方程，体会因式分解法、配方法和公式法解一元二次方程，体会 它们相互之间关系及其它们相互之间关系及其“转化转化”思想。思想。(3)(3)了解一元二次方程两根和、两根积与其系数关系。了解一元二次方程两根和、两根积与其系数关系。(4)(4)会列一元二次方程解应用题。深入认识到方程是反会列一元二次方程解应用题。深入认识到方程是反 映现实世界数量关系一个有效数学模型。在处理映现实世界数量关系一个有效数学模型。在处理 实际问题中增强学数学、用数学自觉性。实际问题中增强学数学、用数学自觉性。第2页2 2、重点难点：、重点难点：、重点难点：、重点难点：本章重点是：掌握一元二次方程各种解法，本章重点是：掌握一元二次方程各种解法，体会相互之间关系及其体会相互之间关系及其“转化转化”思想；会应用一元思想；会应用一元二次方程处理实际问题。二次方程处理实际问题。本章难点是：用配方法、公式法解一元二次方程；本章难点是：用配方法、公式法解一元二次方程；一元二次方程应用题；一元二次方程根与系数关系。一元二次方程应用题；一元二次方程根与系数关系。第3页3 3、知识结构：、知识结构：、知识结构：、知识结构：实际问题一元二次方程概念普通形式解法直接开平方法因式分解法配方法公式法 一元二次方程解检验第4页4 4、考试点：、考试点：、考试点：、考试点：本章考试点：用四种方法解一元二次方程、配方本章考试点：用四种方法解一元二次方程、配方法、一元二次方程根判别式、根与系数关系、一元二法、一元二次方程根判别式、根与系数关系、一元二次方程应用题。次方程应用题。第5页第一节第一节第一节第一节一元二次方程一元二次方程一元二次方程一元二次方程1 1、一元二次方程定义。、一元二次方程定义。只含有一个未知数，而且未知数最高次数是只含有一个未知数，而且未知数最高次数是2 2整式方程整式方程叫做一元二次方程。一个方程必须同时满足以下三个叫做一元二次方程。一个方程必须同时满足以下三个条件，才是一元二次方程：条件，才是一元二次方程：（1 1）是整式方程；）是整式方程；（2 2）只含有一个未知数；）只含有一个未知数；（3 3）未知数最高次数是）未知数最高次数是2 2。不满足其中任何一个条件方程都不是一元二次方程。不满足其中任何一个条件方程都不是一元二次方程。第6页如：方程如：方程x x2 2 x x 3 3 0 0；y y2 2 2 2y y 1 1 0 0都是一元二次方程，都是一元二次方程，而方程而方程x x4 4 x x2 2 2 2 0 0，+x x2 2 1=01=0等都不是一元二次方程。等都不是一元二次方程。第7页2 2、一元二次方程普通形式：、一元二次方程普通形式：一元二次方程普通形式是：一元二次方程普通形式是：axax2 2 bxbx c c 0 0（a a、b b、c c是已知数，是已知数，a a 0 0）(1)一元二次方程普通形式特征是：等号左边一元二次方程普通形式特征是：等号左边是一个关于未知数二次三项式，右边是零，其中是一个关于未知数二次三项式，右边是零，其中a a、b b、c c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项。分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项。第8页(2)(2)注意注意a a 0 0这个限制条件。它是一元二次方程普通这个限制条件。它是一元二次方程普通形式一个主要组成部分。即关于形式一个主要组成部分。即关于x x方程方程axax2 2 bxbx c c 0 0只有当只有当a a 0 0时，它才是一元二次方程；若时，它才是一元二次方程；若a a 0 0，b b 0 0时，时，它是它是x x一元一次方程。反之，假如明确指一元一次方程。反之，假如明确指axax2 2 bxbx c c 0 0是一元二次方程，则必定是一元二次方程，则必定a a 0 0。第9页 （3 3）b b、c c值可取一切实数。若值可取一切实数。若b b 0 0时，则为时，则为axax2 2 c c 0 0；若；若c c 0 0时，则为时，则为axax2 2 bxbx 0 0；若；若b b 0 0且且c c 0 0时，则为时，则为axax2 2 0 0，它们都是一元二次方程。它们都是一元二次方程。（4 4）一元二次方程概念中）一元二次方程概念中“只含有一个未知数，而且未只含有一个未知数，而且未知数最高次数是知数最高次数是2”2”这句话是针对化成普通形式之后方程这句话是针对化成普通形式之后方程而言，如而言，如x x2 2 2 2x x 1 1 x x2 2，化简后为，化简后为 2 2x x 1 1 0 0，它是一个一元，它是一个一元一次方程，而不是一元二次方程。一次方程，而不是一元二次方程。第10页学法探究：学法探究：学法探究：学法探究：本节重点是一元二次方程概念和把一元二次方程化本节重点是一元二次方程概念和把一元二次方程化为普通形式，难点是对一元二次方程普通形式及其各为普通形式，难点是对一元二次方程普通形式及其各项系数确实定。项系数确实定。第11页在学习中，应经过实际问题归结为方程，深入体在学习中，应经过实际问题归结为方程，深入体会会“方程是反应现实世界数量关系一个有效数学模型方程是反应现实世界数量关系一个有效数学模型”，认识到引入一元二次方程概念必要性；经过与一，认识到引入一元二次方程概念必要性；经过与一元一次方程比较，概括出一元二次方程概念，经过观元一次方程比较，概括出一元二次方程概念，经过观察比较由两个问题所得一元二次方程，概括出一元二察比较由两个问题所得一元二次方程，概括出一元二次方程普通形式，并能指出一元二次方程二次项系数、次方程普通形式，并能指出一元二次方程二次项系数、一次项系数和常数项；经过对练习中第一次项系数和常数项；经过对练习中第2 2题探索，体题探索，体会一元二次方程解意义及检验必要性。会一元二次方程解意义及检验必要性。第12页 思维开放线思维开放线思维开放线思维开放线 例例例例11 以下方程哪些是一元二次方程？哪些不是一元二以下方程哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？次方程？（1 1）2(22(2x x 1)1)x x2 2；（；（2 2）x x2 2 2 2y y 1 1 0 0；（3 3）x x=2=2；（4 4）(x x2 2 1)1)2 2 2(2(x x2 2 1)1)3 3 0.0.分析：分析：（1）化为普通形式为x24x20，故它是一元二次方程；（2）中含有两个未知数；（3）是分式方程；（4）中x最高次数是4，故不是一元二次方程。第13页点拨：点拨：点拨：点拨：同时满足：（同时满足：（1 1）是整式方程。（）是整式方程。（2 2）只含有一个未知数；）只含有一个未知数；（3 3）未知数最高次数是）未知数最高次数是2 2这三个条件方程才是一元二这三个条件方程才是一元二次方程。次方程。第14页 例例例例22 已知方程已知方程(m m 2)2)(m m 2)2)x x 4 4 0 0（1 1）m m为何值时它是一元二次方程？为何值时它是一元二次方程？（2 2）m m为何值时它是一元一次方程？为何值时它是一元一次方程？分析：分析：（1）由一元二次方程普通形式，m222，故m20，故m2；（2）需分三种情况讨论：m20，此时m2；m221，此时m ；显然x0，故若m220，则原方程也是一元一次方程第15页解：解：解：解：（1 1）由）由m m2 2 2 2 2 2，m m 2 2 0 0得得m m2 2；（2 2）分三种情况讨论：）分三种情况讨论：一元二次方程中未知数最高次数是2，且二次项系数不为0。第16页 m m 2 2 0,0,即即m m 2 2时时,原方程为原方程为4 4x x 4 4 0 0，是一元一次方，是一元一次方程；程；m m2 2 2 2 1 1，即，即m m 时，原方程为时，原方程为 2 2 x x 4 4 0 0，是，是一元一次方程；一元一次方程；显然显然x x 0 0，不然有，不然有 4 4 0 0；故当；故当m m2 2 2 2 0 0，即，即m m 时，时，原方程为原方程为(2)2)x x 6 6 0 0，也是一元一次方程。，也是一元一次方程。综上：当综上：当m m2 2时，它是一元二次方程；当时，它是一元二次方程；当m m 2 2，时，它是一元一次方程。时，它是一元一次方程。不然有4=0第17页点拨：点拨：点拨：点拨：对于方程对于方程axax2 2 bxbx c c 0(0(x x为未知数为未知数)，若，若a a 0 0时，时，它是一元二次方程；当它是一元二次方程；当a a 0 0，b b 0 0时，它是一元一次方时，它是一元一次方程。对于方程程。对于方程axaxm m bxbx c c 0 0，当，当a a 0 0，m m 2 2时，它是一时，它是一元二次方程；当元二次方程；当a a 0 0或或m m 1 1或或m m 0 0（此时必须（此时必须x x 0 0）时，它是一元一次方程。时，它是一元一次方程。第18页 例例例例33 把方程把方程(1(1 3 3x x)()(x x 3)3)2 2x x2 2 1 1化成普通化成普通形式，并写出它二次项系数、一次项系数和形式，并写出它二次项系数、一次项系数和常数项。常数项。分析：分析：经过去括号、移项、合并同类项可将方程化成普通形式。第19页 例例例例3333 把方程把方程(1(1 3 3x x)()(x x 3)3)2 2x x2 2 1 1化成普通化成普通形式，并写出它二次项系数、一次项系数和常形式，并写出它二次项系数、一次项系数和常数项。数项。解：解：解：解：去括号，得去括号，得x x 3 3x x2 2 3 3 9 9x x 2 2x x2 2 1 1，移项、合并同类，移项、合并同类项，得项，得5 5x x2 2 8 8x x 2 2 0 0。所以得出该方程二次项系数是。所以得出该方程二次项系数是5 5，一次项系数是一次项系数是8 8，常数项是，常数项是 2 2。第20页点拨：点拨：（1 1）写各项系数时，应包含其符号。如）写各项系数时，应包含其符号。如5 5x x2 2 8 8x x 2 2 0 0中中常数项是常数项是 2 2而不是而不是2 2；（2 2）将一元二次方程化为普通形式时，普通二次项系）将一元二次方程化为普通形式时，普通二次项系数应为正数。如：本题也可化成数应为正数。如：本题也可化成 5 5x x2 2 8 8x x 2 2 0 0，那么，那么此时其二次项系数为此时其二次项系数为 5 5，一次项系数为，一次项系数为 8 8，常数项为，常数项为2 2。但习惯上化成。但习惯上化成5 5x x2 2 8 8x x 2 2 0 0形式。形式。一元二次方程普通形式即是左边是未知数二次三项式，右边是0。第21页 例例例例4444 若关于若关于若关于若关于x x一元二次方一元二次方一元二次方一元二次方mxmx2 2 3 3x x mm2 2 mm 0 0 一个解是一个解是一个解是一个解是0 0 0 0，求求求求mm值。值。值。值。分析：由方程解意义，将分析：由方程解意义，将x x 0 0代入方程中，得代入方程中，得 m m2 2 m m 0 0，再结合，再结合m m 0 0，可求，可求m m值。值。第22页若关于若关于x x一元二次方程一元二次方程mxmx2 2 3 3x x m m2 2 m m 0 0一个解一个解是是0 0，求，求m m值。值。解：解：解：解：将将x x 0 0代入原方程中，得代入原方程中，得0 0 0 0 m m2 2 m m 0 0，即，即m m(m m 1)1)0 0。由已知得由已知得 m m 0 0。故故m m 1=01=0，即，即m m 1.1.所以所以m m值为值为1.1.点拨：点拨：点拨：点拨：在求一元二次方程中字母系数时，要注意该在求一元二次方程中字母系数时，要注意该字母值不能使原方程二次项系数为字母值不能使原方程二次项系数为0.0.一元二次方程二次项系数不为0。第23页 例例例例55 依据题意，列出方程，并用试验方法探索依据题意，列出方程，并用试验方法探索 所列出方程解，你能由此得出问题吗？所列出方程解，你能由此得出问题吗？某商场销售一批名牌衬衫，平均天天可售出某商场销售一批名牌衬衫，平均天天可售出2020件，每件，每件盈利件盈利4040元，为了扩大销售，增加盈利，尽快降低库存，元，为了扩大销售，增加盈利，尽快降低库存，商场决定采取适当降价办法，经调查发觉，假如每件衬衫商场决定采取适当降价办法，经调查发觉，假如每件衬衫每降价每降价1 1元，那么商场平均天天可多售出元，那么商场平均天天可多售出2 2件。问：若商场件。问：若商场平均天天要盈利平均天天要盈利12001200元，每件衬衫应降价多少元？元，每件衬衫应降价多少元？第24页分析：设每件衬衫降价分析：设每件衬衫降价x x元，则天天可多售出元，则天天可多售出2 2x x件，即件，即天天销售天天销售(20(20 2 2x x)件，这时每件盈利件，这时每件盈利(40(40 x x)元，故天元，故天天盈利天盈利(40(40 x x)(20)(20 2 2x x)元。再依据题意可列方程。元。再依据题意可列方程。解：设每件衬衫应降价解：设每件衬衫应降价x x元。依据题意得，元。依据题意得，(40(40 x x)(20)(20 2 2x x)1200 1200 整理，得整理，得x x2 2 3030 x x 200200 0 0。令令x x 1010时，左边时，左边 10102 2 3030 1010 200200 100100 300300 200200 0 0 右边右边故故x x 1010是方程是方程x x2 2 3030 x x 200200 0 0解；解；令令x x 2020，则左边，则左边20202 2 3030 2020 200200 400400 600600 200200 0 0 右边，右边，故故x x 2020也是方程也是方程x x2 2 3030 x x 200200 0 0解。解。第25页令令x x 3030，则左边，则左边30302 2 3030 3030 200200 200200 0 0，故故x x 3030不是方程不是方程x x2 2 3030 x x 200200 0 0解。解。所以，方程所以，方程x x2 2 3030 x x 200200 0 0解为解为x x1 1 1010，x x2 2 20.20.因为要尽快因为要尽快降低库存，故降低库存，故x x 1010不合题意。从而不合题意。从而x x 2020。答：每件衬衫应降价答：每件衬衫应降价2020元。元。总利润每件利润件数第26页点拨：点拨：点拨：点拨：（1 1）因为）因为 3030 x x，200200都是都是1010倍数（当倍数（当x x为整数时）为整数时），故，故x x应是应是1010倍数，从而探索方程解时可从倍数，从而探索方程解时可从x x 1010，2020，3030试起；（试起；（2 2）因为要尽快降低库存，所以降价越多，）因为要尽快降低库存，所以降价越多，销售越快，库存越少，在确保利润不变前提下，降价销售越快，库存越少，在确保利润不变前提下，降价越多越好，从而越多越好，从而x x 1010不合题意。不合题意。第27页第二节第二节第二节第二节 一元二次方程解法一元二次方程解法一元二次方程解法一元二次方程解法1 1、一元二次方程解法。、一元二次方程解法。、一元二次方程解法。、一元二次方程解法。（1 1）直接开平方法：依据平方根意义，利用直接开平）直接开平方法：依据平方根意义，利用直接开平方求解一元二次方程方法，叫做直接开平方法。方求解一元二次方程方法，叫做直接开平方法。直接开方法依据是平方根意义。因为负数没有平方直接开方法依据是平方根意义。因为负数没有平方根，故对于方程根，故对于方程x x2 2 a a，若，若a a 0 0，则无实数解，只有当，则无实数解，只有当a a 0 0，它才有解，它才有解x x1 1 ，x x2 2 。第28页 对于方程对于方程axax2 2 b b(a a 0)0)，普通先化成，普通先化成x x2 2 形式，当形式，当b b 0 0时，或时，或a a、b b同号时，同号时，0 0，这时再用直接开平方法，这时再用直接开平方法求解。求解。对于方程对于方程(x x a a)2 2 b b（b b 0 0），也可用直接开平方法），也可用直接开平方法求解，得求解，得x x a a。第29页（2 2）因式分解法：把一元二次方程经过分解因式化成）因式分解法：把一元二次方程经过分解因式化成一边是两个一次式积，另一边是零形式，再化成两个一边是两个一次式积，另一边是零形式，再化成两个一元一次方程，从而求出一元二次方程解方法叫做因一元一次方程，从而求出一元二次方程解方法叫做因式分解法。式分解法。因式分解法依据是因式分解法依据是a a b b 0 0，则，则a a 0 0或或b b 0 0。利用因式分解法解一元二次方程时，必须先将方程利用因式分解法解一元二次方程时，必须先将方程变形为变形为 0 0形式，再将左边分解因式变形为形式，再将左边分解因式变形为a a b b 0 0形形式，然后得到两个一元一次方程，并分别求两个一元式，然后得到两个一元一次方程，并分别求两个一元一次方程解，从而求出原方程解。一次方程解，从而求出原方程解。第30页 因式分解法解一元二次方程本质是将一元二次方因式分解法解一元二次方程本质是将一元二次方程降次变形为两个一元一次方程。由此求解一元二程降次变形为两个一元一次方程。由此求解一元二次方程。次方程。能用直接开平方法求解一元二次方程，都可用因能用直接开平方法求解一元二次方程，都可用因式分解法来求解。式分解法来求解。第31页（3 3）配方法：把一元二次方程变形为左边是一个含有）配方法：把一元二次方程变形为左边是一个含有未知数完全平方式，右边是一个非负常数，然后利用未知数完全平方式，右边是一个非负常数，然后利用直接开平方法求解。这种解一元二次方程方法叫做配直接开平方法求解。这种解一元二次方程方法叫做配方法。方法。配方法依据是公式配方法依据是公式a a2 2 2 2abab b b2 2(a a b b)2 2。第32页用配方法解一元二次方程普通步骤是：用配方法解一元二次方程普通步骤是：第一步：方程两边都除以二次项系数，将二次项系数第一步：方程两边都除以二次项系数，将二次项系数化为化为1 1（假如方程二次项系数是（假如方程二次项系数是1 1，则不需此步，直接，则不需此步，直接进行下一步）。进行下一步）。第二步：移项，将含未知数项移至方程左边，常数项第二步：移项，将含未知数项移至方程左边，常数项移到方程右边。移到方程右边。第三步：配方，先在方程左、右两边都加上一次项系第三步：配方，先在方程左、右两边都加上一次项系数二分之一平方，再利用公式数二分之一平方，再利用公式a a2 2 2 2abab b b2 2(a a b b)2 2将方程将方程化成化成 2 2 a a形式。形式。第四步：当第四步：当a a 0 0时，利用直接开平方法求解。时，利用直接开平方法求解。第33页（4 4）公式法：把一元二次方程化成普通形式后，把）公式法：把一元二次方程化成普通形式后，把各项系数各项系数a a、b b、c c值代入求根公式值代入求根公式 中，直接求得方程解。这种解方程方法叫做公式法。中，直接求得方程解。这种解方程方法叫做公式法。利用公式法求解一元二次方程时，需先将其转化成利用公式法求解一元二次方程时，需先将其转化成普通形式普通形式axax2 2 bxbx c c 0(0(a a 0)0)，再明确，再明确a a、b b、c c值，并求出值，并求出b b2 2 4 4acac值，当值，当b b2 2 4 4acac 0 0时，即可将时，即可将a a、b b、c c及及b b2 2 4 4acac值代入公式值代入公式 中求出方程解。中求出方程解。第34页因为负数没有平方根，故当因为负数没有平方根，故当b b2 2 4 4acac0 0时，时，无意义，从而原方程无实数根。无意义，从而原方程无实数根。求根公式推导利用是配方法，还可用另一个方法推求根公式推导利用是配方法，还可用另一个方法推导：在方程导：在方程axax2 2 bxbx c c 0 0两边都乘以两边都乘以4 4a a，得，得4 4a a2 2x x2 2 4 4abxabx 4 4a ac c 0 0。移项，得移项，得4 4a a2 2x x2 2 4 4abxabx4 4a ac c，两边都加上，两边都加上b b2 2，得，得(2(2axax)2 2 2(22(2axax)b b b b2 2 b b2 2 4 4a ac c，得，得(2(2axax b b)2 2 b b2 2 4 4a ac c。当当b b2 2 4 4acac 0 0时，时，2 2axax b b是是b b2 2 4 4a ac c平方根，平方根，故故2 2axax b b ，即有。，即有。用配方法解一元二次方程时，也可用这种方法用配方法解一元二次方程时，也可用这种方法 。第35页 2 2、怎样选取适当方法解一元二次方程。、怎样选取适当方法解一元二次方程。（1 1）对于）对于x x 2 2 b b(b b 0)0)这种形式方程，可用直接平方法求这种形式方程，可用直接平方法求解，也可用因式分解法求解。如：解，也可用因式分解法求解。如：x x2 2 4 4，(2 (2x x 1)1)2 2 3 3，25(125(1 x x)2 2 6464等。等。（2 2）对于可用公式法分解因式或用提取公因式法分解）对于可用公式法分解因式或用提取公因式法分解 因式，都可用因式分解法求解。如：因式，都可用因式分解法求解。如：2525x x2 2 16=016=0，x x2 2 4 4x x 4 4 0 0，(x x 2)2)2 2 5(5(x x 2)2)等。等。第36页（3 3）对于二次项系数是）对于二次项系数是1 1，一次项系数是偶数，常数项，一次项系数是偶数，常数项 绝对值较大，可用配方法求解。如绝对值较大，可用配方法求解。如x x2 2 2 2x x 9999 0 0等。等。（4 4）对于普通一元二次方程，尤其是二次项系数不为）对于普通一元二次方程，尤其是二次项系数不为 1 1，一次项系数不是，一次项系数不是2 2倍数时，可用公式法。如倍数时，可用公式法。如 2 2x x2 2 3 3x x 1 1 0 0等。等。四种方法中，直接开平方法和因式分解法是特殊方四种方法中，直接开平方法和因式分解法是特殊方法，配方法用得较少，公式法是基本方法。普通先考虑法，配方法用得较少，公式法是基本方法。普通先考虑用特殊方法，再考虑用配方法，最终才考虑用公式法。用特殊方法，再考虑用配方法，最终才考虑用公式法。第37页