二阶线偏微分方程的分类市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第十章第十章 二阶线性偏微分方程分类二阶线性偏微分方程分类 本章将介绍二阶线性偏微分方程基本概念、分类方法本章将介绍二阶线性偏微分方程基本概念、分类方法和偏微分方程标准化和偏微分方程标准化.尤其对于常系数二阶线性偏微分方尤其对于常系数二阶线性偏微分方程化简方法也进行了详细讨论，这对后面偏微分方程求解程化简方法也进行了详细讨论，这对后面偏微分方程求解是十分有用是十分有用.第1页10.1 基本概念基本概念(1)偏微分方程偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导数方程，如含有未知多元函数及其偏导数方程，如其中其中是未知多元函数，是未知多元函数，而而 是未知是未知变变量；量；为为偏偏导导数数.有有时为时为了了书书第2页写方便，通常记写方便，通常记(2)方程阶方程阶 偏微分方程中未知函数偏导数最高阶数称为方偏微分方程中未知函数偏导数最高阶数称为方程程阶阶(3)方程次数方程次数 偏微分方程中最高阶偏导数幂次数称为偏微偏微分方程中最高阶偏导数幂次数称为偏微分方程分方程次数次数第3页(4)线性方程线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数全部一个偏微分方程对未知函数和未知函数全部（组合）偏导数（组合）偏导数幂次数幂次数都是一次，就称为线性方程，高于一都是一次，就称为线性方程，高于一次以上方程称为非线性方程次以上方程称为非线性方程(5)准线性方程准线性方程 一个偏微分方程，假如仅对方程中全部最一个偏微分方程，假如仅对方程中全部最高阶偏导数是线性，则称方程为准线性方程高阶偏导数是线性，则称方程为准线性方程(6)自由项自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数项称为自由项项称为自由项第4页比如比如：方程通解和特解概念方程通解和特解概念二阶线性非齐次偏微分方程二阶线性非齐次偏微分方程 通解通解为为其中其中是两个独立任意函数因是两个独立任意函数因为为方程方程为为二阶，所以是两个任意函数若给函数二阶，所以是两个任意函数若给函数 指定为指定为 特殊特殊，则得到解，则得到解第5页称为方程称为方程特解特解 n阶常微分方程通解含有阶常微分方程通解含有n个任意常数，而个任意常数，而n阶偏微分方程阶偏微分方程通解含有通解含有n个任意函数个任意函数10.2 数学物理方程分类数学物理方程分类第6页 在数学物理方程建立过程中，我们主要讨论了三种类型偏微在数学物理方程建立过程中，我们主要讨论了三种类型偏微分方程：分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程波动方程；热传导方程；稳定场方程这三类方程描这三类方程描写了不一样物理现象及其过程，后面我们将会看到它们解也表写了不一样物理现象及其过程，后面我们将会看到它们解也表现出各自不一样特点现出各自不一样特点我们在解析几何中知道对于二次实曲线我们在解析几何中知道对于二次实曲线其中其中 为常数，且设为常数，且设 第7页则则当当 时，上述二次曲线分别为双时，上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类微分方程进行分类.下面主要以含下面主要以含两个自变量二阶线性偏微分方程两个自变量二阶线性偏微分方程为例，进行理为例，进行理论分析而对于更多个自变量情形尽管要复杂一些，但讨论基本论分析而对于更多个自变量情形尽管要复杂一些，但讨论基本方法是一样方法是一样两个自变量两个自变量(x,y)二阶线性偏微分方程所含有二阶线性偏微分方程所含有普遍形式为普遍形式为第8页（10.2.1）其中其中 为为已知函数已知函数 定理定理10.2.1 假如假如 是方程是方程(10.2.2)普通积分，则普通积分，则 是方程是方程第9页(10.2.3)一个特解一个特解在详细求解方程在详细求解方程(10.2.10)时，需要分三种情况讨论判别式时，需要分三种情况讨论判别式 1.当判别式当判别式 以求得两个以求得两个实函数解实函数解 时，从方程时，从方程(10.2.10)可可第10页也就是说，偏微分方程也就是说，偏微分方程(10.2.1)有有两条实特征线两条实特征线于是，令于是，令即可使得即可使得 同时，依据同时，依据(10.2.4)式，就能够断定式，就能够断定 所以，方程所以，方程(10.2.6)即为即为 (10.2.4)第11页或者深入作变换或者深入作变换于是有于是有所以所以第12页又能够深入将方程又能够深入将方程(10.2.11)化为化为 这种类型方程称为这种类型方程称为双曲型方程双曲型方程我们前面建立波动方程就我们前面建立波动方程就属于这类型属于这类型2当判别式当判别式 时：这时方程时：这时方程(10.2.10)一定有重根一定有重根第13页因而只能求得一个解，比如，因而只能求得一个解，比如，特征线为特征线为 一条实特征线一条实特征线作变换作变换 就能够使就能够使 由由(10.2.4)式能够得出，一定有式能够得出，一定有，故可推出，故可推出 这么就能够任意选取另一个变换，这么就能够任意选取另一个变换，只要它和只要它和 彼此独立，即雅可俾式彼此独立，即雅可俾式第14页即可这么，方程即可这么，方程(10.2.6)就化为就化为 这类方程称为这类方程称为抛物型方程抛物型方程热传导（扩散）方程就属于热传导（扩散）方程就属于这种类型这种类型第15页3.当判别式当判别式 面讨论，只不过得到面讨论，只不过得到 时：这时，能够重复上时：这时，能够重复上和和 是一是一对共轭复函数，或者说，偏微分方程对共轭复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)两条特征线是两条特征线是一对共轭复函数族一对共轭复函数族于是于是是一对共轭复变量深入引进两个新实变量是一对共轭复变量深入引进两个新实变量第16页于是于是所以所以 方程方程(10.2.11)又能够深入化为又能够深入化为第17页 这种类型方程称为这种类型方程称为椭圆型方程椭圆型方程拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)方程、方程、泊松泊松(Poisson)方程和方程和Helmholtz 方程都属于这种类型方程都属于这种类型 总而言之，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只总而言之，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只需讨论判别式需讨论判别式 即可即可.第18页10.3 二阶线性偏微分方程标准化二阶线性偏微分方程标准化对于二阶线性偏微分方程对于二阶线性偏微分方程(10.3.1)若判别式为若判别式为，则二阶，则二阶线性偏微分方程分为三类：线性偏微分方程分为三类：第19页时，方程称为双曲型时，方程称为双曲型;时，方程称为抛物型时，方程称为抛物型;时，方程称为椭圆型时，方程称为椭圆型;1.双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程 因为双曲型方程对应判别式因为双曲型方程对应判别式 所以特征曲线是两族不一样实函数曲线，所以特征曲线是两族不一样实函数曲线，第20页设设特征方程解特征方程解为为 令令 (10.3.2)进行自变量变换，则原偏微分方程变为以下形式进行自变量变换，则原偏微分方程变为以下形式第21页(10.3.3)上式称为上式称为双曲型偏微分方程第一个标准形式双曲型偏微分方程第一个标准形式，再作变量，再作变量代换，令代换，令或或 则偏微分方程又变为则偏微分方程又变为第22页(10.3.4)上式称为双曲型偏微分方程第二种形式上式称为双曲型偏微分方程第二种形式 注：上式中注：上式中“*”号不代表共轭，仅说明是另外函数。如号不代表共轭，仅说明是另外函数。如 与与是两个不一是两个不一样样函数。函数。2抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程第23页因为抛物型偏微分方程判别式因为抛物型偏微分方程判别式 线是线是一族实函数曲线一族实函数曲线，所以特征曲，所以特征曲其其特征方程解特征方程解为为 (10.3.5)所以令所以令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为进行自变量变换，则原偏微分方程变为(10.3.6)第24页上式称为抛物型偏微分方程标准形式上式称为抛物型偏微分方程标准形式3.椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程判别式椭圆型偏微分方程判别式，所以特征曲线是，所以特征曲线是一组共轭复变函数族其一组共轭复变函数族其特征方程解为特征方程解为(10.3.7)若令若令 第25页(10.3.8)作自变量变换，则偏微分方程变为作自变量变换，则偏微分方程变为(10.3.9)上式称为上式称为椭圆型偏微分方程标准形式椭圆型偏微分方程标准形式第26页10.4 二阶线性常系数偏微分方程深入化简二阶线性常系数偏微分方程深入化简 假如二阶偏微分方程系数是常数，则标准形式方程还能够深假如二阶偏微分方程系数是常数，则标准形式方程还能够深入化简下面按三种类型分别介绍化简方法入化简下面按三种类型分别介绍化简方法1.双曲型双曲型 对于以下含常系数第一个标准形式双曲型标准方程还对于以下含常系数第一个标准形式双曲型标准方程还可深入化简可深入化简第27页注：上式中用小写字母注：上式中用小写字母代表常系数，方便与代表常系数，方便与我我们们不妨令不妨令 大写字母代表某函数区分开来大写字母代表某函数区分开来,比如比如为了化简，为了化简，从而有从而有(10.4.2)第28页其中其中 由第二种标准形式双曲型偏微分方程（含常系数）能够进由第二种标准形式双曲型偏微分方程（含常系数）能够进一步化简一步化简(10.4.3)式中式中 均为常系数若令均为常系数若令第29页 则有则有(10.4.4)(10.4.5)其中其中 第30页对于对于含常系数抛物型偏微分标准方程含常系数抛物型偏微分标准方程（含常系数）（含常系数）（10.4.6）还能够深入化简上式中小写字母还能够深入化简上式中小写字母 均为常系数均为常系数 为了化简，不妨令为了化简，不妨令 从而有从而有 (10.4.7)2.抛物型抛物型第31页3.椭圆型椭圆型 对于以下第一个标准形式椭圆型标准方程对于以下第一个标准形式椭圆型标准方程(含常系数含常系数)(10.4.8)还能够深入进行化简上式中小写字母还能够深入进行化简上式中小写字母 为常系数为常系数第32页为了化简，不妨令为了化简，不妨令 从而有从而有 (10.4.9)其中其中 第33页 含有两个自变量线性偏微分方程普通形式也能够写成下含有两个自变量线性偏微分方程普通形式也能够写成下面形式：面形式：其中其中 L 是二阶线性偏微分算符，是二阶线性偏微分算符，G是是x,y函数函数线性偏微分算符有以下两个基本特征：线性偏微分算符有以下两个基本特征：10.5 线性偏微分方程解特征线性偏微分方程解特征第34页其中其中 均为常数深入有以下结论：均为常数深入有以下结论：1.齐次线性偏微分方程解有以下特征：齐次线性偏微分方程解有以下特征：为为方程解方程解时时，则则也也为为方程解；方程解；(1).当当为为方程解，方程解，则则也是方程解；也是方程解；(2)若若2.非齐次线性偏微分方程解含有以下特征：非齐次线性偏微分方程解含有以下特征：第35页为为非非齐齐次方程特解，次方程特解，为齐为齐次方程通解，次方程通解，则则为为非非齐齐次方程通解；次方程通解；(1)若若(2)若若 则则3线性偏微分方程叠加原理线性偏微分方程叠加原理需要指出需要指出:线性偏微分方程含有一个非常主要特征，称为叠线性偏微分方程含有一个非常主要特征，称为叠 第36页加原理，即若加原理，即若是方程是方程（其中（其中 L 是二是二阶线阶线性偏微分算符）解性偏微分算符）解.假如假如级级数数 收敛，且二阶偏导数存在（其中收敛，且二阶偏导数存在（其中 为任意常数），则为任意常数），则 一定是方程一定是方程 解解 程右端级数是收敛）程右端级数是收敛）（当然要假定这个方（当然要假定这个方第37页