周期函数分解为傅里叶级数省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

12.2 12.2 周期函数分解为傅里叶周期函数分解为傅里叶级数级数一、周期函数一、周期函数f(t)=f(t+kT)T为周期函数为周期函数f(t)周期，周期，k=0，1，2，假如给定周期函数满足狄里赫利条件，它就能假如给定周期函数满足狄里赫利条件，它就能展开成一个收敛展开成一个收敛傅里叶级数傅里叶级数。电路中非正弦周期量都能满足这个条件。电路中非正弦周期量都能满足这个条件。第1页二、傅里叶级数两种形式二、傅里叶级数两种形式1、第一个形式、第一个形式式中：式中：K=1，2，3第2页系数计算公式系数计算公式第3页第4页2、第二种形式、第二种形式A0称为周期函数称为周期函数恒定分量恒定分量（或直流分量）；（或直流分量）；A1mcos(1t+1)称为称为1次谐波次谐波（或基波分量），（或基波分量），其周期或频率与原周期函数相同；其周期或频率与原周期函数相同；其它各项统称为其它各项统称为高次谐波高次谐波，即即2次、次、3次、次、4次、次、第5页3、两种形式系数之间关系、两种形式系数之间关系第一个形式第一个形式第二种形式第二种形式A0=a0ak=Akmcoskbk=-Akmsink第6页4、傅里叶分解式数学、电气意义、傅里叶分解式数学、电气意义+-傅氏分解傅氏分解A0U1U2+-u(t)u(t)分解后电源相当于无限个电压源串联分解后电源相当于无限个电压源串联对于电路分析应用方法是对于电路分析应用方法是叠加定理叠加定理第7页三、三、f(t)频谱频谱傅里叶级数即使详尽而又准确地表示了周期傅里叶级数即使详尽而又准确地表示了周期函数分解结果，但函数分解结果，但不很直观不很直观。为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包含哪些频率分量以及各分量所占含哪些频率分量以及各分量所占“比重比重”，用长度与各次谐波振幅大小相对应线段，用长度与各次谐波振幅大小相对应线段，按频率高低次序把它们依次排列起来，按频率高低次序把它们依次排列起来，得到图形称为得到图形称为f(t)频谱频谱。第8页1、幅度频谱、幅度频谱各次谐波振幅用对应线段依次排列。各次谐波振幅用对应线段依次排列。2、相位频谱、相位频谱把各次谐波初相用对应线段依次排列。把各次谐波初相用对应线段依次排列。OAkmk14131211第9页例：求周期性矩形信号傅里叶级数展开式及其频谱例：求周期性矩形信号傅里叶级数展开式及其频谱Of(t)t1tEm-Em2T解：解：f(t)在第一个周期内表示式为在第一个周期内表示式为f(t)=Em-Em第10页依据公式计算系数依据公式计算系数0Of(t)t1tEm-Em2T第11页Of(t)t1tEm-Em2T=0第12页当当k为偶数时：为偶数时：cos(k)=1bk=0当当k为奇数时：为奇数时：cos(k)=-1第13页代入求得代入求得当当k为偶数时：为偶数时：cos(k)=1bk=0当当k为奇数时：为奇数时：cos(k)=-1第14页Of(t)Em-Em1t图形曲线分析图形曲线分析:第15页Of(t)Em-Em1t取到取到11次谐波时合成曲线次谐波时合成曲线比较两个图可见，谐波项数取得越多，合成比较两个图可见，谐波项数取得越多，合成曲线就越靠近于原来波形。曲线就越靠近于原来波形。第16页Of(t)t1tEm-Em2Tf(t)=Em-Em假设假设 Em=1，1t=/2，得，得取到取到11次谐波时，结果为次谐波时，结果为0.95;取到取到13次谐波时，结次谐波时，结果为果为1.05;取到取到35次谐波时，结果为次谐波时，结果为0.98,误差为误差为2%第17页矩形信号矩形信号f(t)频谱频谱OAkmk17151311第18页3、频谱与非正弦信号特征关系、频谱与非正弦信号特征关系波形越靠近正弦波，波形越靠近正弦波，谐波成份越少；谐波成份越少；f(t)=10cos(314t+30)OAkmk11第19页1、偶函数、偶函数f(t)=f(-t)纵轴对称性质纵轴对称性质f(t)Otf(t)Ot四、非正弦函数波形特征与展开式系数之间关四、非正弦函数波形特征与展开式系数之间关系系第20页能够证实：能够证实：bk=01、偶函数、偶函数纵轴对称性质纵轴对称性质f(t)=f(-t)展开式中只含有余弦项分量和直流分量展开式中只含有余弦项分量和直流分量第21页f(t)=-f(-t)原点对称性质原点对称性质f(t)Otf(t)Ot2、奇函数、奇函数第22页能够证实：能够证实：a0=0,ak=0原点对称性质原点对称性质f(t)=-f(-t)2、奇函数、奇函数展开式中只含有正弦项分量展开式中只含有正弦项分量第23页满足满足 f(t)=-f(t+T/2),称为称为奇谐波函数奇谐波函数Of(t)tT3、奇谐波函数、奇谐波函数:f(t)=-f(t+T/2),叫做叫做 镜对称性质镜对称性质第24页判断判断:利用镜对称性质利用镜对称性质 f(t)=-f(t+T/2)3、奇谐波函数、奇谐波函数能够证实：能够证实：a2k=b2k=0f(t)=展开式中只含有奇次谐波分量展开式中只含有奇次谐波分量第25页f(t)Ot判断下面波形展开式特点判断下面波形展开式特点f(t)是奇函数是奇函数展开式中只含有正弦分量展开式中只含有正弦分量f(t)又是奇谐波函数又是奇谐波函数展开式中只含有奇次谐波展开式中只含有奇次谐波f(t)=第26页系数系数Akm与计时起点无关（但与计时起点无关（但k是相关），是相关），这是因为组成非正弦周期函数各次谐波振幅以及这是因为组成非正弦周期函数各次谐波振幅以及各次谐波对该函数波形相对位置总是一定，并不会因各次谐波对该函数波形相对位置总是一定，并不会因计时起点变动而变动；计时起点变动而变动；所以，计时起点变动只能使各次谐波初相作对应所以，计时起点变动只能使各次谐波初相作对应地改变。地改变。因为系数因为系数ak和和bk与初相与初相k相关，所以它们也随计相关，所以它们也随计时起点改变而改变。时起点改变而改变。4、系数和计时起点关系、系数和计时起点关系第27页因为系数因为系数ak和和bk与计时起点选择相关，所以函与计时起点选择相关，所以函数是否为奇函数或偶函数可能与计时起点选择相关。数是否为奇函数或偶函数可能与计时起点选择相关。不过，函数是否为奇谐波函数却与计时起点不过，函数是否为奇谐波函数却与计时起点无关。无关。所以适当选择计时起点有时会使函数分解简所以适当选择计时起点有时会使函数分解简化。化。4、系数和计时起点关系、系数和计时起点关系第28页例：已知某信号半周期波形，在以下不一样条件下例：已知某信号半周期波形，在以下不一样条件下画出整个周期波形画出整个周期波形Of(t)t1、只含有余弦分量、只含有余弦分量2、只含有正弦分量、只含有正弦分量3、只含有奇次谐波分量、只含有奇次谐波分量第29页Of(t)t1、只含有余弦分量、只含有余弦分量f(t)应是偶函数应是偶函数关于纵轴对称关于纵轴对称第30页Of(t)t2、只含有正弦分量、只含有正弦分量f(t)应是奇函数应是奇函数关于原点对称关于原点对称第31页Of(t)t3、只含有奇次谐波分量、只含有奇次谐波分量f(t)应是奇谐波函数应是奇谐波函数镜象对称镜象对称第32页