1、以解析函数理论与方法研究平面电磁场余毅聪 12月第1页 复变函数和电磁学这两门课中一些主要公式是很相同，本文试图在一定程度上发掘其中联络。主要想法第2页主要内容1 建立数学模型2 依据模型推算基本定理3 一些结论4 二维场保形变换第3页 二维场数学模型无穷长导线磁场 如图，将一根无穷长直导线置于坐标原点，方向为Z轴方向。于是易得(x,y)点处磁场分量为：XYIrB第4页现把Y-X平面视为复平面，z=x+iy,并令：马上得到：w其中：这里，很显著地有：一样，对于电场，则有：在以下讨论中，视 为二维电荷，为二维磁荷。并统一以符号 表示。第5页高斯定理与环路定理注意到对于上面两种情况，都有 是解析，
2、因为Cauchy-Riemman方程得到足：第7页取C为一条围绕原点简单封闭曲线，假如原点处存在无限长导线（或者带电直线），则由留数定理可得：于是解析函数理论与方法有了用武之地！第8页比较实部虚部即得：下面分析上面二式意义。(1)(2)第9页 对于图重曲线积分,积分微元是于是,假如把w看作有两个分量矢量,可有即得:由最终得到:对于磁场情况第10页上式即是我们熟悉安培环路定理.而(2)式意义又何在呢?注意到:假如我们定义:则能够得到:几何意义如图所表示.当把曲线看成是无限长柱面截线时,即是曲面法向量.上式意义即可了解为是二维平面高斯定理.第11页显然,稍作推广即能够得到:1.对于磁场中任意简单封
3、闭曲线C,有2对于电场情况,因为电场和磁场所对应w仅仅相差一个常数i,所以情况完全类似,仅仅只需要将上面两式右边交换即可.这里就不作过多讨论了.第12页由解析性质得到一些结论1磁场和电场(以下仅称场)分布由边界决定.实际上,若w在边界C上值为已知,则对于区域内部一点Z,有即是能够由边界上函数值计算内部值.2 平均值公式.对于一个闭圆 假如其内部没有电流(或电荷),则场在圆心处值,等于圆周上平均值.第13页上式依据是平均值公式圆心处实部和虚部值对应为圆周上平均值,于是即有以上结论.实际上,泊松公式为我们提供了计算区域内任何点场值方法:第14页 3 假如平面区域中没有电荷或者没有磁荷,则场最大值只
4、能在区域边界上取到.4 平面场全部电荷之和为0。第15页5 假如穿过平面上有电荷：,且满足:则平面上一定存在场强为0点.证实:射N根导线坐标复数为:轻易得到这个场对应复函数w(z)为:第16页为证实结论,只需要证实函数在复平面上有非无穷远点根即可.第17页为了证实上式,需要用到结论有:1大圆弧引理:2 设f(z)在区域D:上连续,且存在极限:设C是位于D中圆弧,半径为R,则第18页2 辐角原理:设f(z)在闭路C内部可能有有限多个极点,除去这些极点外,f(z)在C及其内部解析,且在C上无零点,则有:这里N,P分别为极点总数和零点总数.第19页有了上面引理,下面证实 所表示函数在复平面上定有非无
5、穷远根.实际上:在通分之后,分子最高次为(2N-2)次,分母最高次为(2N-1)次,系数均为:第20页所以,成立:利用引理1即得到:再由引力理2,有:第21页又:所以零点总是存在!即平面上总是存在一点场强为零.对于 情况,则是没有普通结论.第22页如图,假如兰色代表正电,黄色代表负电,则在该场中是没有电场为0点.而在下面这张图中,显然正方形中心场强为0.磁场中情况完全类似,不再赘述.第23页保形变换应用保形变换是二维空间所特有，应此利用保形变换处理平面电磁场问题，一定会给我们带来惊喜。为此，先建立一套体系：第24页一个定义：为这个平面场“场函数”为场函数充分必要条件是它满足高斯定理和安培环路定
6、理，即是有：场函数是这么函数，它在平面上存在场源点留数是电荷值，其余点它取场值共轭为讨论方便，一切常数假定为1。第25页我们知道，一个保形变换将一个区域映照成为另一个区域，假如我们把区域上每一个点都标上该处电荷（磁荷），那么保形变换就把一个场分布变换成为另一个场分布，称作“场保形变换”。第26页一个定理：设 为 一个场保形变换，场函数：实际上，边界对应定理确保了即变换后得到函数依然满足高斯定理和环路定理，即为新场场函数。第27页一个结论：对于静电平衡导体，在经过场保形变换后仍静电平衡。轻易验证在经过场保形变换后，对于所给定一个点 等势线辐角改变量和所对应场函数辐角改变量皆是 依然满足静电平衡条件。第28页得到一种新求解电场方法，举比如下：第29页黎曼定理断言，对于任意区域（非全平面），总是存在保形变换将任意单连通区域映照成为单位圆，所以这种方法是含有普遍性。不过详细实现变换细节，则是数学上事情了，也远远超出本文范围。本文任务已经完成，讨论到此为止！第30页感激刘金英老师，感激张文禄助教和班主任苑震生老师感激3班同学信任感激在场全部听众支持第31页
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