1、第一节第一节 不定积分概念及其不定积分概念及其计算法概述计算法概述一、原函数与不定积分概念一、原函数与不定积分概念二、基本积分表二、基本积分表三、不定积分性质及简单计算三、不定积分性质及简单计算四、小结四、小结第1页例例定义：定义：一、原函数与不定积分概念一、原函数与不定积分概念 原函数原函数第2页关于原函数有以下三个问题：关于原函数有以下三个问题：1)满足什么条件满足什么条件,其原函数一定存在？其原函数一定存在？原函数存在定理：原函数存在定理：若若 在区间在区间 I 内连续内连续,则在区间则在区间 I 内一定存在内一定存在 原函数原函数.简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函
2、数.2)若若f(x)有原函数有原函数,原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例即即:若若 f(x)有原函数有原函数,则则 f(x)原函数有没有原函数有没有穷多个穷多个.第3页3)f(x)全体原函数怎样表示全体原函数怎样表示?（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，（2）若）若 和和 都是都是 原函数，原函数，则则（为任意常数）为任意常数）关于原函数两个说明：关于原函数两个说明：若若 F(x)是是f(x)一个原函数一个原函数,则则 f(x)全体全体原函数可表示为原函数可表示为F(x)+C.(C为任意常数）为任意常数）第4页任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数 不定积分定义：不定积分
3、定义：被积表示式被积表示式积分变量积分变量 若若 F(x)是是f(x)在区间在区间 I 内一个原函数内一个原函数,则则 f(x)在区间在区间 I 内内全体全体原函数称为原函数称为f(x)在区间在区间 I 内内不定积分不定积分,第5页例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求第6页 不定积分几何意义不定积分几何意义 不定积分称为积分曲线族不定积分称为积分曲线族,且在横坐标且在横坐标相同每条曲线上切线斜率相等相同每条曲线上切线斜率相等.为平面上为平面上 一条曲线一条曲线.为平面上为平面上 一族曲线一族曲线.设设 F(x)是是 f(x)一个原函数一个原函数第7页第8页结论：结论：求不定积分运算与微分运
4、算是求不定积分运算与微分运算是互逆互逆互逆互逆.不定积分与微分不定积分与微分(导数导数)关系关系由此依据微分公式可得积分公式由此依据微分公式可得积分公式.第9页实例实例启示启示能否依据求导公式得出积分公式？能否依据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆，所以既然积分运算和微分运算是互逆，所以能够依据求导公式得出积分公式能够依据求导公式得出积分公式.二、二、基本积分表基本积分表第10页基基本本积积分分表表是常数是常数);说明：说明：简写为简写为第11页第12页第13页例例3 3 求积分求积分解解依据积分公式（依据积分公式（2）第14页证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限
5、多个函数之和情况）（此性质可推广到有限多个函数之和情况）三、三、不定积分性质不定积分性质及简单计算及简单计算第15页例例4 4 求积分求积分解解 依据不定积分运算性质和基本函数积分公依据不定积分运算性质和基本函数积分公式式,可计算简单函数不定积分可计算简单函数不定积分.第16页例例5 5 求积分求积分解解第17页例例6 6 求积分求积分解解第18页例例7 求积分求积分解解第19页例例8 8 求积分求积分解解第20页例例9 9 求积分求积分解解第21页例例1010 求积分求积分解解第22页例例1111 求积分求积分解解说明：说明：以上几例中被积函数都需要进行恒以上几例中被积函数都需要进行恒等变形
6、才能使用基本积分表等变形，才能使用基本积分表.第23页注意注意:1)导数是唯一导数是唯一,但不定积分不唯一但不定积分不唯一.2)任一初等函数都可求导数任一初等函数都可求导数,且导数普通且导数普通也为初等函数也为初等函数,但一些初等函数不定积分就不但一些初等函数不定积分就不能用初等函数来表示能用初等函数来表示.这些不定积分原函数存在这些不定积分原函数存在,但不能用初等函数但不能用初等函数来表示来表示.第24页基本积分表基本积分表(1)不定积分性质不定积分性质大家别忘了公式表里总结积分公式大家别忘了公式表里总结积分公式 原函数概念：原函数概念：不定积分概念：不定积分概念：求微分与求积分互逆关系求微分与求积分互逆关系四、四、小结小结第25页
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