平面曲线积分与路径无关的条件市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

上页 下页 返回 结束 一一、平面曲线积分与路径无关条件平面曲线积分与路径无关条件二二、二元函数全微分求积二元函数全微分求积第三节第三节(2)线积分与路径无线积分与路径无 关条件关条件第十一章第十一章第1页上页 下页 返回 结束 p197.例例2回顾回顾结果：结果：被积函数相同被积函数相同,起点终点也相同起点终点也相同,不过因为积分路径不一样不过因为积分路径不一样,造成积分结果不一样造成积分结果不一样.称此曲线积分称此曲线积分与路径相关与路径相关第2页上页 下页 返回 结束 被积函数相同被积函数相同,起点和终起点和终 点也相同点也相同,即使积分路径不一即使积分路径不一样样,不过积分结果相同不过积分结果相同.称此称此曲线积分曲线积分与路径无关与路径无关回顾回顾p197.例例2结果：结果：第3页上页 下页 返回 结束 Gyxo1、曲线积分与路径义无关定义曲线积分与路径义无关定义BA假如在区域假如在区域G G内有内有一、一、平面曲线积分与路径无关条件平面曲线积分与路径无关条件第4页上页 下页 返回 结束 2 2、平面上曲线积分与路径无关等价条件、平面上曲线积分与路径无关等价条件定理定理2.设设D 是单连通域是单连通域,在在D 内内含有一阶连续偏导数含有一阶连续偏导数,(1)沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L,有有(2)对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L,曲线积分曲线积分(3)(4)在在 D 内每一点都有内每一点都有与路径无关与路径无关,只与起止点相关只与起止点相关.函数函数则以下四个条件则以下四个条件等价等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数全微分全微分,即即 第5页上页 下页 返回 结束 说明说明:积分与路径无关时积分与路径无关时,曲线积分可记为曲线积分可记为 证实证实(1)(2)设设为为D 内内任意任意两条由两条由A 到到B 有向分段光滑曲有向分段光滑曲线线,则则(依据条件依据条件(1)第6页上页 下页 返回 结束 证实证实(2)(3)在在D内取定点内取定点因曲线积分因曲线积分则则同理可证同理可证所以有所以有和任一点和任一点B(x,y),与路径无关与路径无关,有函数有函数 第7页上页 下页 返回 结束 证实证实(3)(4)设存在函数设存在函数 u(x,y)使得使得则则P,Q 在在 D 内含有连续偏导数内含有连续偏导数,从而在从而在D内每一点都有内每一点都有第8页上页 下页 返回 结束 证实证实(4)(1)设设L为为D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,(如图如图),利用利用格林公式格林公式,得得所围区域为所围区域为证毕证毕(1)沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L,有有(4)在在 D 内每一点都有内每一点都有第9页上页 下页 返回 结束 注意注意:1.惯用惯用 来判断曲线积分与路径无关来判断曲线积分与路径无关;2.当曲线积分与路径无关时，常选择最简当曲线积分与路径无关时，常选择最简路径路径平行于坐标轴直线段组成折线作平行于坐标轴直线段组成折线作为积分路径为积分路径;OAB假如假如D是复连通域是复连通域,即使即使曲线积分也不一定与路径无关曲线积分也不一定与路径无关。第10页上页 下页 返回 结束 例例1 1证证则则所以有所以有第11页上页 下页 返回 结束 例例2 2解解第12页上页 下页 返回 结束 第13页上页 下页 返回 结束 二二、二元函数全微分求积二元函数全微分求积1.1.原函数原函数:假如存在一个函数假如存在一个函数u(x,y)，使得，使得du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy原函数原函数全微分式全微分式比如比如全微分式全微分式2.2.判别定理判别定理定理定理3.3.设函数设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通域在单连通域D内含有一阶内含有一阶连续偏导数，则连续偏导数，则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在在D内为某一函数内为某一函数全微分全微分 在在D内恒成立内恒成立.第14页上页 下页 返回 结束 3.3.全微分求积全微分求积当当Pdx+Qdy为全微分式时，为全微分式时，求其原函数求其原函数u(x,y)过程过程.与路径无关，可选平行于坐与路径无关，可选平行于坐标轴折线作为积分路径标轴折线作为积分路径.如图取如图取 为积分路径为积分路径,得得如图取如图取 为积分路径为积分路径,得得第15页上页 下页 返回 结束 例例1解解第16页上页 下页 返回 结束 第17页上页 下页 返回 结束 或或第18页上页 下页 返回 结束 例例2 2解解1取积分路线如图取积分路线如图,第19页上页 下页 返回 结束 故故第20页上页 下页 返回 结束 故故第21页上页 下页 返回 结束 例例3 3解解第22页上页 下页 返回 结束 第23页上页 下页 返回 结束*全微分方程及其求法全微分方程及其求法定义定义:若有全微分形式若有全微分形式比如比如所以原方程是全微分方程所以原方程是全微分方程.全微分方程全微分方程第24页上页 下页 返回 结束 全微分方程解法全微分方程解法:1 1应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关则全微分方程通解为则全微分方程通解为第25页上页 下页 返回 结束 例例解解这是全微分方程这是全微分方程.方程通解为方程通解为第26页上页 下页 返回 结束 解解是全微分方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合原方程通解为原方程通解为例例2 用直接凑用直接凑全微分方法全微分方法.第27页