1、第五节 常见二次曲面及其方程一、基本内容二、小结第1页二次曲面定义：二次曲面定义：三元二次方程所表示曲面称之三元二次方程所表示曲面称之对应地平面被称为对应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状讨论二次曲面性状截痕法截痕法：用坐标面和平行于坐标面平面与曲面相用坐标面和平行于坐标面平面与曲面相截，考查其交线（即截痕）形状，然后加以截，考查其交线（即截痕）形状，然后加以综合，从而了解曲面全貌综合，从而了解曲面全貌以下用截痕法讨论几个特殊二次曲面以下用截痕法讨论几个特殊二次曲面一、基本内容第2页（一）椭球面（一）椭球面 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面交线：交线：第3页椭圆截面大小随平面位置
2、改变而改变椭圆截面大小随平面位置改变而改变.椭球面与平面椭球面与平面 交线为椭圆交线为椭圆同理与平面同理与平面 和和 交线也是椭圆交线也是椭圆.第4页椭球面几个特殊情况：椭球面几个特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成旋转椭球面与椭球面旋转椭球面与椭球面区分区分：方程可写为方程可写为与平面与平面 交线为圆交线为圆.第5页球面球面截面上圆方程截面上圆方程方程可写为方程可写为第6页（二）抛物面（二）抛物面（与与 同号）同号）椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点设设原点也
3、叫椭圆抛物面原点也叫椭圆抛物面顶点顶点.第7页与平面与平面 交线为椭圆交线为椭圆.当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆圆中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 不相交不相交.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得抛物线截得抛物线第8页与平面与平面 交线为抛物线交线为抛物线.它轴平行于它轴平行于 轴轴顶点顶点（3）用坐标面）用坐标面 ，与曲面相截与曲面相截均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.第9页zxyoxyzo椭圆抛物面图形以下：椭圆抛物面图形以下：第10页特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由（由 面上抛物线面上抛物
4、线 绕它轴旋转绕它轴旋转而成）而成）与平面与平面 交线为圆交线为圆.当当 变动时，这种圆变动时，这种圆中心中心都在都在 轴上轴上.第11页（与与 同号）同号）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设图形以下：图形以下：xyzo第12页（三）双曲面（三）双曲面单叶双曲面单叶双曲面（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得中心在原点截得中心在原点 椭圆椭圆.第13页与平面与平面 交线为椭圆交线为椭圆.当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆圆中心中心都在都在 轴上轴上.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得中心在原点双曲线截得中心在原点双曲线.实轴与
5、实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.第14页双曲线双曲线中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 交线为双曲线交线为双曲线.实轴与实轴与 轴平行轴平行,虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.实轴与实轴与 轴平行轴平行,虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 直线直线.第15页截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 直线直线.（3）用坐标面）用坐标面 ，与曲面相截与曲面相截均可得双曲线均可得双曲线.第16页单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 截痕是截痕是两对相交直线两对相交直线.第17页双叶双曲面双叶双曲面xyo第18页椭球面、抛物面、双曲面、椭球面、抛物面、双曲面、截痕法截痕法.（熟知这几个常见曲面特征）（熟知这几个常见曲面特征）二、小结第19页思索题思索题方程方程表示怎样曲线？表示怎样曲线？第20页思索题解答思索题解答表示双曲线表示双曲线.第21页
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