1、应用多元统计分析应用多元统计分析第二章部分习题解答第二章部分习题解答1第1页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计 2-1 设设3维随机向量维随机向量XN3(,2I3)，已知，已知试求试求Y=AX+d分布分布.解解:利用性质利用性质2,即得二维随机向量即得二维随机向量YN2(y,y),其中：其中：2第2页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计 2-2 设设X=(X1,X2)N2(,)，其中，其中（1）试证实）试证实X1+X2 和和X1-X2相互独立相互独立.（2）试求）试求X1+X2 和和X1-X2分布分布.解解:(1)记记Y1 X1+X2(1,1)
2、X,Y2 X1-X2 (1,-1)X，利用性质利用性质2可知可知Y1,Y2 为正态随机变量。又为正态随机变量。又故故X1+X2 和和X1-X2相互独立相互独立.3第3页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计或者记或者记由定理由定理2.3.1可知可知X1+X2 和和X1-X2相互独立相互独立.4第4页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计(2)因因5第5页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计 2-3 设设X(1)和和X(2)均为均为p维随机向量维随机向量,已知已知其中其中(i)(i1，2)为为p维向量维向量,i(i1，2)为为p
3、阶矩阵，阶矩阵，(1)试证实试证实X(1)+X(2)和和X(1)-X(2)相互独立相互独立.(2)试求试求X(1)+X(2)和和X(1)-X(2)分布分布.解:(1)令6第6页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计 由定理由定理2.3.1可知可知X(1)+X(2)和和X(1)-X(2)相互独立相互独立.7第7页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计(2)因因所以所以注意:由D(X)0,可知(1-2)0.8第8页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计2-11 已知已知X=(X1,X2)密度函数为密度函数为试求试求X均值和协方差阵均
4、值和协方差阵.解一解一:求边缘分布及求边缘分布及Cov(X1,X2)=129第9页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计类似地有类似地有10第10页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计011第11页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计所以所以故故X=(X1,X2)为二元正态分布为二元正态分布.12第12页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计解二解二:比较系数法比较系数法 设设比较上下式对应系数比较上下式对应系数,可得可得:13第13页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计故故X=
5、(X1,X2)为二元正态随机向量为二元正态随机向量.且且解三解三:两次配方法两次配方法 14第14页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计即即设函数设函数 是随机向量是随机向量Y密度函数密度函数.15第15页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计 (4)因为因为故故(3)随机向量随机向量16第16页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计2-12 设设X1 N(0,1),令令(1)证实证实X2 N(0,1);(2)证实证实(X1,X2)不是二元正态分布不是二元正态分布.证实证实(1):任给任给x,当当x-1时时当当x1时时,17第
6、17页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计当当-1x1时时,(2)考虑随机变量考虑随机变量Y=X1-X2,显然有显然有18第18页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计 若若(X1,X2)是二元正态分布是二元正态分布,则由性质则由性质4可可知知,它任意线性组合必为一元正态它任意线性组合必为一元正态.但但Y=X1-X2 不是正态分布不是正态分布,故故(X1,X2)不是二元正态分布不是二元正态分布.19第19页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计2-17 2-17 设设XNp(,),(,),0,0,X密度函数记为密度函数记为f(
7、x;,).(1);,).(1)任给任给a0,0,试证实概率密度等高面试证实概率密度等高面 f(x;,)=;,)=a是一个椭球面是一个椭球面.(2)(2)当当p=2=2且且 (0)0)时，时，概率密度等高面就是平面上一个椭圆，试求该椭圆方概率密度等高面就是平面上一个椭圆，试求该椭圆方程式，长轴和短轴程式，长轴和短轴.证实证实(1):任给任给a0,0,记记20第20页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计令令 ,则概率密度等高面为则概率密度等高面为(见附录见附录5 P390)21第21页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计故概率密度等高面故概率密度等高
8、面 f(x;,)=a是一个椭球面是一个椭球面.(2)当当p=2=2且且 (0)0)时时,由由可得可得特征值特征值22第22页 第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计i(i=1,2)对应特征向量为对应特征向量为由由(1)可得椭圆方程为可得椭圆方程为长轴半径为长轴半径为 方向沿着方向沿着l1方向方向(b0);短轴半径为短轴半径为 方向沿着方向沿着l2方向方向.23第23页第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计 2-19 为了了解某种橡胶性能，今抽了十个样品，每个为了了解某种橡胶性能，今抽了十个样品，每个测量了三项指标：测量了三项指标：硬度、变形和弹性，其数据见表。硬度、变形和弹性，其数据见表。试计算样本均值，样本离差阵，样本协差阵和样本相试计算样本均值，样本离差阵，样本协差阵和样本相关阵关阵.解：解：24第24页第二章第二章 多元正态分布及参数预计多元正态分布及参数预计25第25页
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