可分离变量方程市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

一、可分离变量方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程第五模块微分方程第五模块微分方程第五模块微分方程第五模块微分方程第二节一阶微分方程第二节一阶微分方程第二节一阶微分方程第二节一阶微分方程二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程第1页一阶微分方程普通形式为一阶微分方程普通形式为F(x,y,y)=0.第2页一、可分离变量方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程比如：形如比如：形如y =f(x)g(y)微分方程，称为微分方程，称为可分离变量方程可分离变量方程.(1)分离变量分离变量将方程整理为将方程整理为使方程各边都只含有一个变量使方程各边都只含有一个变量.形式，形式，第3页(2)两边积分两边积分两边同时积分，得两边同时积分，得故方程通解为故方程通解为我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数一个原函数，被积函数一个原函数，而把积分所带来任意常数而把积分所带来任意常数明确地写上明确地写上.第4页例例 1 求方程求方程解解分离变量，得分离变量，得两边积分，得两边积分，得这就是所求方程通解这就是所求方程通解第5页例例 2 求方程求方程解解分离变量，得分离变量，得两边积分，得两边积分，得化简得化简得第6页另外，另外，y=0 也是方程解，也是方程解，所以所以 C2 为任意常数为任意常数求解过程可简化为：求解过程可简化为：两边积分得两边积分得即通解为即通解为其中其中 C 为任意常数为任意常数.中 C2 可认为 0，这么，方程通解是这么，方程通解是分离变量得分离变量得第7页例例 3 求求方方程程 dx+xydy=y2dx+ydy 满满足足初初始始条条件件 y(0)=2 特解特解.解解将方程整理为将方程整理为分离变量，得分离变量，得两边积分，有两边积分，有第8页化简，得化简，得即即将初始条件将初始条件 y(0)=2 代入，代入，为所求之通解为所求之通解.得得 C=3.故所求特解为故所求特解为第9页例例 4解解分离变量得分离变量得即即第10页两边积分，得两边积分，得经整理，得方程通解为经整理，得方程通解为也可写为也可写为第11页二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程一阶微分方程以下形式一阶微分方程以下形式称为一阶线性微分方程，简称称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程一阶线性方程.其中其中P(x)、Q(x)都是自变量已知连续函数都是自变量已知连续函数.左边每项中仅含左边每项中仅含 y 或或 y，且均为且均为 y 或或 y 一次项一次项.它特点是：它特点是：右边是已知函数，右边是已知函数，第12页称称为为一一阶阶线线性性齐齐次次微微分分方方程程，简简称称线线性性齐齐次次方方程程，0，则称方程，则称方程 为一阶线性非齐次微分为一阶线性非齐次微分方程，简称方程，简称线性非齐次方程线性非齐次方程.通常方程通常方程 称为方程称为方程 所对应线性齐次方程所对应线性齐次方程.若若 Q(x)若若 Q(x)0，则方程成为，则方程成为第13页1 1.一阶线性齐次方程解法一阶线性齐次方程解法一阶线性齐次方程解法一阶线性齐次方程解法一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程是可分离变量方程是可分离变量方程.两边积分，得两边积分，得所以，方程通解公式为所以，方程通解公式为分离变量，得分离变量，得第14页例例 6 求方程求方程 y +(sin x)y=0 通解通解.解解所所给给方方程程是是一一阶阶线线性性齐齐次次方方程程，且且 P(x)=sin x，由通解公式即可得到方程通解为由通解公式即可得到方程通解为则则第15页例例 7求方程求方程 (y-2xy)dx+x2dy=0 满足初始满足初始条件条件 y|x=1=e 特解特解.解解将所给方程化为以下形式：将所给方程化为以下形式：这是一个线性齐次方程，这是一个线性齐次方程，则则由通解公式得该方程通解由通解公式得该方程通解将初始条件将初始条件 y(1)=e 代入通解，代入通解，得得 C=1.故所求特解为故所求特解为第16页2 2.一阶线性非齐次方程解法一阶线性非齐次方程解法一阶线性非齐次方程解法一阶线性非齐次方程解法设设 y=C(x)y1 是非齐次方程解，是非齐次方程解，将将 y=C(x)y1(其其中中 y1 是是齐齐次次方方程程 y +P(x)y=0 解解)及及其其导导数数 y =C (x)y1+C(x)y 1 代入方程代入方程则有则有即即第17页因因 y1 是对应线性齐次方程解，是对应线性齐次方程解，所以有所以有其中其中 y1 与与 Q(x)均为已知函数，均为已知函数，代入代入 y=C(x)y1 中，得中，得轻易验证，上式给出函数满足线性非齐次方程轻易验证，上式给出函数满足线性非齐次方程 所以能够经过积分所以能够经过积分求得求得第18页且且含含有有一一个个任任意意常常数数，所所以以它它是是一一阶阶线线性性非非齐齐次次方方程程通解通解在运算过程中，我们取线性齐次方程一个解为在运算过程中，我们取线性齐次方程一个解为于是，一阶线性非齐次方程通解公式，就可写成：于是，一阶线性非齐次方程通解公式，就可写成：上上述述讨讨论论中中所所用用方方法法，是是将将常常数数 C 变变为为待待定定函函数数 C(x)，再经过确定再经过确定 C(x)而求得方程解方法，而求得方程解方法，称为称为常数变易法常数变易法.第19页例例 8 求方程求方程 2y -y=ex 通解通解.解解法一法一 使用常数变易法求解使用常数变易法求解将所给方程改写成以下形式：将所给方程改写成以下形式：这是一个线性非齐次方程，它所对应线性齐次方程这是一个线性非齐次方程，它所对应线性齐次方程通解为通解为将将 y 及及 y 代入该方程，得代入该方程，得设设所所给给线线性性非非齐齐次次方方程程解解为为第20页于是，有于是，有所以，原方程通解为所以，原方程通解为解法解法二二 利用通解公式求解利用通解公式求解将所给方程改写成以下形式：将所给方程改写成以下形式：第21页则则代入通解公式，得原方程通解为代入通解公式，得原方程通解为第22页例例 9 求解初值问题求解初值问题解解使用常数变易法求解使用常数变易法求解将所给方程改写成以下形式：将所给方程改写成以下形式：则与其对应线性齐次方程则与其对应线性齐次方程通解为通解为第23页设所给线性非齐次方程通解为设所给线性非齐次方程通解为于是，有于是，有将将 y 及及 y 代入该方程，得代入该方程，得第24页所以，原方程通解为所以，原方程通解为将初始条件将初始条件 y(p p)=1 代入，得代入，得 C=p p，所所 以以，所求特解，即初值问题解为所求特解，即初值问题解为第25页例例 10求方程求方程 y2dx+(x-2xy-y2)dy=0 通解通解.解解将原方程改写为将原方程改写为这这是是一一个个关关于于未未知知函函数数 x=x(y)一一阶阶线线性性非非齐齐次次方方程，程，它自由项它自由项 Q(y)=1.第26页代入一阶线性非齐次方程通解公式，有代入一阶线性非齐次方程通解公式，有即所求通解为即所求通解为第27页