1、2.3 恰当方程与恰当方程与积分因子分因子 第1页一、恰当方程定义及条件一、恰当方程定义及条件假如我们恰好遇见了方程就能够马上写出它隐式解第2页定义1则称微分方程是恰当方程.如是恰当方程.1 恰当方程定义第3页需考虑问题(1)方程(1)是否为恰当方程?(2)若(1)是恰当方程,怎样求解?(3)若(1)不是恰当方程,有没有可能转化为恰当方程求解?2 方程为恰当方程充要条件定理1为恰当方程充要条件是第4页证实“必要性”设(1)是恰当方程,故有从而故第5页“充分性”即应满足第6页所以实际上第7页故(8)注:若(1)为恰当方程,则其通解为第8页二、恰当方程求解二、恰当方程求解1 不定积分法例1 验证方
2、程是恰当方程,并求它通解.第9页解:故所给方程是恰当方程.第10页即积分后得:故从而方程通解为第11页2 分组凑微法 采取“分项组合”方法,把本身已组成全微分项分出来,再把余项凑成全微分.-应熟记一些简单二元函数全微分.如第12页第13页例2 求方程通解.解:故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得即或写成故通解为:第14页例3 验证方程是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2解.解:故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得即第15页或写成故通解为:故所求初值问题解为:第16页3 线积分法定理1充分性证实也可用以下方法:由数学分析曲线积分与路径无关定理知:第17页从而(1)通解为
3、第18页例4 求解方程解:故所给方程是恰当方程.第19页故通解为:第20页三、积分因子三、积分因子非恰当方程怎样求解?对变量分离方程:不是恰当方程.是恰当方程.第21页对一阶线性方程:不是恰当方程.则是恰当方程.可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.第22页1 定义例5解:对方程有第23页因为把以上方程重新“分项组合”得即第24页也即故所给方程通解为:2 积分因子确定即第25页尽管如此,方程还是提供了寻找特殊形式积分因子路径.第26页变成即第27页此时求得积分因子第28页第29页3 定理微分方程第30页第31页例6 求微分方程通解.解:因为故它不是恰当方程,又因为第32页利用
4、恰当方程求解法得通解为 积分因子是求解积分方程一个极为主要方法,绝大多数方程求解都能够经过寻找到一个适当积分因子来处理,但求微分方程积分因子十分困难,需要灵活利用各种微分法技巧和经验.下面经过例子说明一些简单积分因子求法.第33页例7 求解方程解:方程改写为:或:易看出,此方程有积分因子第34页即故方程通解为:例8 求解方程解:故方程不是恰当方程,第35页方法1:即故方程通解为:第36页方法2:方程改写为:轻易看出方程左侧有积分因子:故方程通解为:第37页方法3:方程改写为:这是齐次方程,即故通解为:变量还原得原方程通解为:第38页方法4:方程改写为:故方程通解为:即方程通解为:第39页作业vP49 1,3,5,vP49 7,10,14,16,18,22第40页
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