1、一、一、一、一、麦克劳林麦克劳林麦克劳林麦克劳林(MaclaurinMaclaurin)公式公式公式公式二、二、二、二、直接展开法直接展开法直接展开法直接展开法三、三、三、三、间接展开法间接展开法间接展开法间接展开法第五节第五节第五节第五节 函数幂级数展开函数幂级数展开函数幂级数展开函数幂级数展开第六模块第六模块第六模块第六模块 无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数第1页泰勒泰勒 (Taylor)公式公式 假如函数假如函数 f(x)在在 x=x0有直到有直到(n+1)阶导数阶导数，则在这则在这个领域内有以下公式个领域内有以下公式:一、一、一、一、麦克劳林麦克劳林麦克劳林麦克劳林(Maclaurin
2、Maclaurin)公式公式公式公式第2页 其中其中称为拉格朗日型余项称为拉格朗日型余项.式式称为称为泰勒公式泰勒公式 .就得到就得到第3页 式称为式称为麦克劳林公式麦克劳林公式.幂级数幂级数我们称之为我们称之为麦克劳林级数麦克劳林级数.那么它是否以函数那么它是否以函数 f(x)为和函数呢为和函数呢?第4页即即那么，那么，级数级数 收敛于函数收敛于函数 f(x)条件为条件为若令麦克劳林级数若令麦克劳林级数 前前n+1 项和为项和为第5页 注意到麦克劳林公式注意到麦克劳林公式 与麦克劳林级数与麦克劳林级数 关系，关系，可知可知于是，当于是，当时，有时，有反之，若反之，若必有必有第6页这表明，麦克
3、劳林级数这表明，麦克劳林级数 以以 f(x)为和函数充为和函数充要条件，要条件，这么，我们就得到了函数这么，我们就得到了函数 f(x)幂级数展开式幂级数展开式：第7页 也表示了函数也表示了函数幂级数展开式是唯一幂级数展开式是唯一 .它就是函数它就是函数 f(x)幂级数表示式幂级数表示式.幂级数幂级数:称为称为泰勒级数泰勒级数.第8页 利用麦克劳林公式将函数利用麦克劳林公式将函数 f(x)展开成幂级数展开成幂级数方法，称为直接展开法方法，称为直接展开法.解解例例 1试将函数试将函数 f(x)=ex 展开成展开成 x 幂级数幂级数.能够能够得到得到二、二、二、二、直接展开法直接展开法直接展开法直接
4、展开法第9页所以我们能够得到幂级数所以我们能够得到幂级数显然，这个幂级数收敛区间为显然，这个幂级数收敛区间为(,+).因为因为第10页注意到，对任一确定注意到，对任一确定 x 值，值，而级数而级数 是绝对收敛，是绝对收敛，所以其普所以其普通项当通项当 n 时，时，所以，当所以，当n 时时,第11页由此可知由此可知所以有所以有,e)(xxf=确实收敛于确实收敛于这表明级数这表明级数第12页解解于是能够得到幂级数于是能够得到幂级数例例 2 试将试将第13页且它收敛区间为且它收敛区间为 因为所给函数麦克劳林公式余项为因为所给函数麦克劳林公式余项为所以能够推知所以能够推知第14页所以得到所以得到第15
5、页解解而而 所以依据幂级数可逐项求导法则，所以依据幂级数可逐项求导法则，可得可得例例 3 试求函数试求函数三、三、三、三、间接展开法间接展开法间接展开法间接展开法第16页解解 注意注意到到 而函数而函数展开式由本章第四节例展开式由本章第四节例 1 可知可知 例例 4 将函数将函数展开成展开成 x幂级数幂级数.将上式两边同时积分将上式两边同时积分第17页因为幂级数逐项积分后收敛半径不变，因为幂级数逐项积分后收敛半径不变，所以，上式所以，上式右端级数收敛半径仍为右端级数收敛半径仍为 R=1;故收敛域为故收敛域为 1 x 1.当当 x=1 时，该级数收敛时，该级数收敛.而当而当 x=1 时该级时该级数发散，数发散，第18页解解 因因为为例例 6 试将函数试将函数 x 幂级数幂级数.展开成展开成第19页所以所以且且第20页 依据幂级数和运算法则，其收敛半径应取依据幂级数和运算法则，其收敛半径应取较小一个，较小一个，故故 R=1，所以所得幂级数收敛所以所得幂级数收敛区间为区间为 1 x 0 时，时，当当 1 m 0 时，时，收敛区间为收敛区间为(1,1.第27页
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