基于工作周期的最优出保随机维修策略_尚利俊.pdf

文章编号：-（）-基于工作周期的最优出保随机维修策略尚利俊，杜永军*，张絆雯（佛山科学技术学院 质量与标准化学院，广东 佛山 ；兰州理工大学 经济管理学院，甘肃 兰州 ）摘要：将有限数量工作周期和补偿方案同时融入到更新比例收费更换保修（）中，提出了一个保证产品可靠性性能的二维保修，即“考虑补偿的二维更新比例收费更换保修（）”此外，从消费者角度将 扩展到出保维修中，提出了一个维持出保可靠性的出保随机维修策略，即“随机周期更换（）策略”构建了 产生的费用率模型、得出特殊费用率模型采用数值实验对 和 开展了灵敏性分析数值结果表明，与更新比例收费更换保修相比，通过限制随机工作周期数量，的保修费用能够被控制关键词：工作周期；保修；出保可靠性；随机周期更换；费用率中图分类号：文献标志码：O p t i m u mp o s t-w a r r a n t y r a n d o mm a i n t e n a n c ep o l i c yb a s e do nw o r k i n g c y c l e s -，-，-（，；-，）A b s t r a c t：-（），-（），-，-，-（），-K e yw o r d s：；-；保修是产品可靠性性能的一种保证如果制造商为其产品提供了诱人的保修，那么该保修可以被视为一种强有力的促销工具很多学者对保修（即保修策略或保修模型）开展了广泛的研究，可分为两个趋势：第一旨在设计基于退化（）的保修，即通过将产品劣化建模为一种随机退化过程设计保修-；第二集中在基于寿命分布函数的保修，收稿日期：-基金项目：国家自然科学基金（，），广东省基础与应用基础研究基金（），广东省教育厅项目（）通讯作者：杜永军（-），男，陕西渭南人，博士，副教授 ：即通过将产品寿命时间建模为分布函数设计保修-在现存保修中，更换保修（-，）是一类最具吸引力的保修更新免费更换保修（-，）-作为一种特殊的更换保修，其要求制造商采用拥有同一保修的同型新产品免费更换保修期内发生失效的产品如果产品可靠性较高、生产成本较低，那么更新免费更换保修策略是一个最佳保修策略如果产品可靠性较低、生产成本较高，那么更新免费更换保修会使制造商承担较高的保修费用此时，更新免费更换保修不再是可靠性较低、生产成本较高产品的最佳保修策略对于可第 卷第期 年月兰州理工大学学报 靠性较低、生产成本较高的产品，文献 -中的更新比例收费更换保修（-，）是一种合适的保修这是因为更新比例收费更换保修规定：制造商向消费者按比例收取更换成本，以便降低制造商承担的高额更换成本考虑补偿的保修（，）策略在学术界和工业界得到研究和关注 -该保修规定，当产品性能未能满足使用要求和相关规定时，制造商须支付消费者一定的补偿由于消费者可能获得一部分补偿，所以此保修也是一类诱人的保修显然，将补偿与更换保修相融合，能够设计一种更加诱人的更换保修，即带有补偿的更换保修然而，此种保修未见文献报道通常，制造商采用维护方式（包括但不限于更换、小修以及不完全维修）保证保修区域内产品可靠性然而，消费者（或用户）更关注如何维持出保可靠性（-，）一些学者已经在出保维修领域取得了卓越的成果例如，等将产品退化建模为随机退化过程，研究了最优出保维修；等，等，等 将产品寿命时间建模为分布函数，同样研究了出保维修近年来，工业互联网等的发展促使传感器技术和测量技术频繁地被用来测量 检查产品的健康状况此外，传感器技术和测量技术还可以监控产品的工作周期从可靠性理论来看，产品劣化在一定程度上强烈依赖工作时间（其能被工作周期衡量）考虑 到 这 一 事 实，等，等，等 将工作周期建模为独立同分布的随机变量，研究了能确保或提升产品可靠性的随机维修策略然而，将工作周期融入保修期和出保期，设计保修和建模出保随机维修，尚未被其他学者研究如果将工作周期融入到保修期，制造商得到的优势包括但不限于：在保修期内，制造商能够实时利用监控到的总工作时间计算产品的可靠性；制造商能够便利地评估保修预算、更高效地控制保修费用如果将工作周期融入到出保期，消费者得到的优势包括但不限于：能够更合理地规划和安排出保维修；能够适当降低出保维修费用综上，本文将有限数量工作周期和补偿同时融入到更新比例收费更换保修中，从制造商的角度提出了一个考虑补偿的二维更新比例收费更换保修（-，）该保修规定：如果产品在有限数量工作周期完成之前或在保修期达到之前（以先发生者为准）发生首次失效，制造商以向消费者收取一定比例更换费用的方式，采用同型新产品更换失效产品；否则，产品将在有限数量随机工作周期完成时或者保修期达到时（以先发生者为准）出保；如果有限数量随机工作周期在保修期达到之前完成，制造商提供给消费者一个与总工作时间相关的补偿进一步，将考虑补偿的二维更新比例收费更换保修扩展到消费者的出保维修模型，建模一个维持出保可靠性的出保随机维修，即随机周期更换（，）策略基于更新极限定理，构建了随机周期更换策略产生的费用率模型最后，通过数值仿真实验，探究了保修和随机周期更换策略的特性本文首次将工作周期和补偿融入到保修期，提出了一个能保证产品可靠性的更新保修策略；首次将工作周期融入到出保期，建模了出保随机维修策略 模型假设在本文中，使用的假设如下：）产品是一类可修产品；）产品以周期的方式连续执行项目或任务，并能被持续监控；）完全忽略更换 小修所产生的时间；）保修条款均有效并被消费者接受；）所有信息都是对称信息，即所有参数、成本等公开透明于制造商和消费者；）工作周期是独立同分布的随机变量，工作周期服从一个无记忆的分布函数 制造商的保修模型从保修理论来看，如果忽视更新比例收费更换保 修（-，）中的比例收费，更新比例收费更换保修被简化为更新免费更换保修（，）这意味着，更新免费更换保修是更新比例收费更换保修的一个特例或者，与更新免费更换保修相比，更新比例收费更换保修是一类广义保修本文以广义的更新比例收费更换保修为载体，将有限数量随机工作周期和补偿同时融入，研究考虑补偿的二维更新比例收费更换保修问题（-，）兰州理工大学学报 第 卷 保修定义假设随机工作周期的数量为m（m），保修期为非负常量w，第i（i，）个项目或任务的随机工作周期为Yi，考虑补偿的更新比例收费更换保修（）包括如下条款：（）如果产品在第m个随机工作周期完成之前或保修期w达到之前（以先发生者为准）发生首次失效，则失效产品将被拥有相同保修的同型新产品更换（称该更换为失效更换，下同）；（）制造商以向消费者按比例收取费用的方式完成每次失效更换；（）如果产品在第m个随机工作周期完成之前或保修期w达到之前（以先发生者为准）未发生失效，则保修结束；（）如果在保修期w之前的第m个随机工作周期完成时，保修结束，则制造商提供给消费者一个依赖于总工作时间Sm的补偿（Sm为m个随机工作周期之和，表示总工作时间，其满足Smmi Yi），用作消费者保证区间（Sm，w 内产品可靠性的资本注释：显然，m和w是两种保修限制，因此提出的保修属于保修区域为（，m（，w 的二维保修；产品出保是以保修期w达到或第m个随机工作周期完成这二个事件中先发生者为准；对于产品工作频率较高、工作周期较短的消费者来说，其保修容易在保修期w之前的第m个随机工作周期完成时结束因此，制造商向他们提供补偿，这部分消费者感受到自己和产品在保修期w时出保的消费者被同等对待 保修费用建模设F（x）和F（x）分别是产品首次失效时间X的分布函数和可靠度函数，则二者满足F（x）F（x）假设G（y）是随机工作周期Yi的分布函数由可靠性理论可知，总工作时间Sm的分布函数和可靠度函数分别为 卷积：G（m）（s）（G（m）（s）sG（m）（su）G（u）卷积：G（m）（s）（G（m）（s）G（m）（s）根据考虑补偿的二维更新比例收费更换保修定义，产品将在第m个随机工作周期完成或在保修期w达到（以先到者为准）时出保对两种出保情况发生的概率求和，可得产品出保的概率q为q Smw，SmX wSm，wXwF（u）G（m）（u）G（m）（w）F（w）wG（m）（u）F（u）（）当产品在第m个随机工作周期完成之前或保修期w达到之前（以先发生者为准）发生失效，则产品未出保产品未出保的概率p可计算为p XSm，XwwG（m）（u）F（u）（）显然，qp 假设直到首个产品出保时制造商共执行i（i，）次更换（即失效更换）显然，i是个几何随机变量，并满足几何分布pi q因此，考虑补偿的二维更新比例收费更换保修产生的期望更换次数Ei 可计算为Eii pi q（i）pqwG（m）（u）F（u）wG（m）（u）F（u）（）设Xk（k，）为第k个未出保产品的首次失效时间根据概率论，易知Xk服从的分布函数H（x）可以表示为H（x）Xkx|XkSm，XkwxG（m）（u）F（u）wG（m）（u）F（u）（）式中：xw设总工作时间t（tw）是影响比例收费P（t）的唯一因素，显然比例收费P（t）是总工作时间t的增函数所以，比例收费P（t）可建模为P（t）a tb（）式中：a，b w（Ca），C是制造商承担的单位更换费用第k个未出保产品的总工作时间等于其首次失效时间Xk因此，第k个未出保产品产生的比例收费为P（Xk）那么，第k个未出保产品使制造商实际承担的更换费用为CP（Xk）因此，直到第i 次更换完成时，总更换费用WCi 为WCi i k CP（Xk）（）i k Ca（Xk）b（）（）第期尚利俊等：基于工作周期的最优出保随机维修策略 式中：X 因为随机变量Xk独立同分布于H（x）且更换次数i满足几何分布pi q，所以更换费用WCi 的期望值EWCr 为EWCrEi pi qWCi i pi q（i）（）ECa（Xk）b（）wCa xb（）G（m）（x）F（x）wG（m）（u）F（u）（）当考虑补偿的二维更新比例收费更换保修在第m个随机工作周期完成时结束，则制造商提供给消费者一个补偿 -假设补偿R（Sm）是一个关于总工作时间Sm的减函数，并且其数学模型为R（Sm）C Smw（）SmwSmw（）式中：，和 当考虑补偿的二维更新比例收费更换保修在第m个随机工作周期完成时结束，则产品的总工作时间为Sm，且总工作时间Sm服从的分布函数为I（s）Sms|Smw，SmXsF（u）G（m）（u）wF（u）G（m）（u）（）式中：sw如上所述，产品出保情况可以分为两种情况：第一种情况是，产品在第m个随机工作周期完成时出保；第二种情况是，产品在保修期w达到时出保假设q为第一种出保情况发生的概率，那么q满足：q Smw，SmXwF（u）G（m）（u）因此，首个产品以第一种情况出保的概率Q可计算为Qi pi qqqwF（u）G（m）（u）wG（m）（u）F（u）（）假设q为第二种出保情况发生的概率，那么q满足q wSm，wXG（m）（w）F（w）因此，首个产品以第二种情况出保的概率Q可计算为Qi pi qqqG（m）（w）F（w）wG（m）（u）F（u）（）因为qqq，所以QQ 进一步，补偿R（Sm）的期望值R可以计算为RQER（Sm）QQwR（s）I（s）Cww s（）F（s）G（m）（s）wwG（m）（u）F（u）（）（）根据考虑补偿的二维更新比例收费更换保修定义，易知考虑补偿的二维更新比例收费更换保修产生的保修费用是由更换成本WCi 的期望值EWCr 和退款R（Sm）的期望值R组成通过求和，考虑补偿的二维更新比例收费更换保修产生的保修费用WC可计算如下：WCEWCrRwwCa xb（）G（m）（x）F（x）wwG（m）（u）F（u）（）Cww s（）F（s）G（m）（s）wwG（m）（u）F（u）（）（）当m时，G（m）（s）m意味着：保修限制m失效，考虑补偿的二维更新比例收费更换保修被简化为更新比例收费更换保修（）因此，上述模型可以被简化为 mWCwCa xb（）F（x）F（w）该模型是 产生的保修费用此外，当m和a xb（即P（t）时，上述模型被简化为 mP（x）WCCF（w）F（w）该模型是更新免费更换保修（）-所产生的保修费用 出保随机维修策略建模如上所述，消费者关注的问题是如何维持出保可靠性本文在考虑补偿的二维更新比例收费更换保修被用作产品保修的假设下，建模一个能维持出保可靠性的随机维修策略兰州理工大学学报 第 卷假设满足如下要求的随机周期更换策略（-，）能维持出保可靠性：如果首个随机工作周期完成或预防更换时间m达到（以先发生者为准）时，则消费者在首个随机工作周期完成或预防更换时间m达到（以先发生者为准）时执行预防更换；消费者采用小修移除预防更换之前的每一个失效为了易于建模随机周期更换，定义寿命周期为从产品安装时刻到预防更换发生时刻之间的间隔 显然，在考虑补偿的二维更新比例收费更换保修保证产品和随机周期更换策略维持出保可靠性的条件下，寿命周期是由考虑补偿的二维更新比例收费更换保修产生的保修服务期和随机周期更换策略产生的出保期组成基于寿命周期的定义，推导随机周期更换策略对应的费用率模型 寿命周期费用建模假设随机工作周期Yi服从一个无记忆的分布函数G（y）这意味着，项目或任务的剩余完成时间仍服从分布函数G（y）对于在保修期w达到时出保的产品，其在随机工作周期完成或在更换时间T达到（以先发生者为准）时被预防更换的概率分别为G（T）和G（T）设r（u）为F（x）的失效率函数，c是每次失效产生的失效损失，c是移除每次失效产生的小修费用，C（CC）是预防更换费用则，两种预防更换产生的费用分别为TC（cc）tr（wu）u（）G（t）G（T）C（cc）Tr（wu）u（）通过求和，可得保修期w达到时出保产品产生的总费用Cw（T）为Cw（T）TC（cc）tr（wu）u（）G（t）G（T）C（cc）Tr（wu）u（）（cc）TG（t）r（wt）tC（）当产品在第m个随机工作周期完成时出保，则产品的总工作时间为Sm在这种情况下，通过替换Cw（T）中的w为Sm，可得第m个随机工作周期完成时出保产品产生的总费用CSm（T）为CSm（T）（cc）TG（t）r（St）tC（）因为Sm服从式（）中的分布函数I（s），所以CSm（T）的期望值ECSm（T）可计算为ECSm（T）（cc）wTG（t）r（st）t（）I（s）C（cc）wTG（t）r（st）t（）F（s）G（m）（s）wF（u）G（m）（u）C（）进一步，随机周期更换策略产生的期望费用（）为EC（T）（cc）wG（m）（s）（F（s）TG（t）r（st）t）TG（t）r（t）t wG（m）（u）F（u）C（）第k个未出保产品使消费者遭受一个失效损失c和一个比例费用P（Xk）对二者求和，第k个未出保产品使消费者遭受的总费用为cP（Xk）将EWCr 中的CP（Xk）替换为cP（Xk），可得考虑补偿的二维更新比例收费更换保修产生总费用的期望值ECf c 为ECf cwcP（x）（）G（m）（x）F（x）wG（m）（u）F（u）wca xb（）G（m）（x）F（x）wG（m）（u）F（u）（）根据寿命周期定义，寿命周期总费用受到考虑补偿的二维更新比例收费更换保修产生总费用的期望值、补偿的期望值和随机周期更换策略产生的期望费用影响对它们开展代数操作，可得寿命周期总费用的期望值EC（L）为EC（L）（cc）wG（m）（s）F（s）TG（t）r（st）tTG（t）r（t）twG（m）（u）F（u）Cww s（）F（s）G（m）（s）wwG（m）（u）F（u）（）wca xb（）G（m）（x）F（x）wG（m）（u）F（u）C（）第期尚利俊等：基于工作周期的最优出保随机维修策略 寿命周期长度建模直到首个产品出保时，制造商共执行i次更换由i次更换产生的保修服务期为i k Xk，其中X 因为更换次数i满足几何分布pi q，所以考虑补偿的二维更新比例收费更换保修产生的保修服务期的期望值EWf 为EWfEi pi qi k Xk（）pqE Xkwx G（m）（x）F（x）wG（m）（u）F（u）（）式中：Xk服从式（）中的分布函数H（x），EXkwx G（m）（x）F（x）wG（m）（u）F（u）产品在第m个随机工作周期完成时或在保修期w达到时出保由第一种情况发生产生的保修服务期为Sm，由第二种情况发生产生的保修服务期为w因此，保修服务期的期望值EWg 为EWgQESmQwws F（s）G（m）（s）G（m）（w）F（w）wwG（m）（u）F（u）（）式中ESmws F（s）G（m）（s）wF（u）G（m）（u）根据寿命周期定义，由提出保修产生的保修服务期的期望值EW 为EWEWfEWgwG（m）（u）F（u）uwG（m）（u）F（u）（）对于出保的产品，其在预防更换时间T之前的随机工作周期完成时被预防更换的概率为G（T），其在随机工作完成之前的更换时间T达到时被预防更换的概率为G（T）因此，提出保修产生的出保期的期望值ET 为ETTuG（u）G（T）TTG（u）u（）根据寿命周期定义，通过求和，可得寿命周期长度的期望值EL 为ELEWETwG（m）（u）F（u）uwG（m）（u）F（u）TG（u）u（）费用率建模寿命周期费用的期望值EC（L）和寿命周期长度的期望值EL 已经分别在式（）和式（）中表示根据更新极限定理，费用率C R（T）可表示为C R（T）A（cc）wG（m）（s）F（s）TG（t）r（st）tTG（t）r（t）twG（m）（u）F（u）wG（m）（u）F（u）uwG（m）（u）F（u）TG（u）u（）式中Awwca xb（）G（m）（x）F（x）Cww s（）F（s）G（m）（s）wwG（m）（u）F（u）（）C 其它模型式（）中的费用率C R（T）是在提出保修保证产品可靠性和随机周期更换策略维持出保可靠性的条件下推导通过讨论费用率C R（T）中的参数，费用率C R（T）可简化为一些其它模型，如下：情形：当m时，以上模型可被简化为C R（T）cF（w）F（w）wa xbF（x）F（w）（cc）TG（t）r（wt）tCwF（u）uF（w）TG（u）u（）兰州理工大学学报 第 卷当时m时，G（m）（s）m意味着，保修限制m失效，所提保修被简化为更新比例收费更换保修因此，式（）中的模型表示在更新比例收费更换保修保证产品可靠性和随机周期更换策略维持出保可靠性条件下的费用率情形：当G（t）时，以上模型可被简化为C R（T）A（cc）wG（m）（s）F（s）Tr（st）t（）Tr（t）twG（m）（u）F（u）wG（m）（u）F（u）uwG（m）（u）F（u）（）T（）G（t）意味着，在随机工作周期完成时的预防更换被忽略，随机周期更换策略被简化为文献 -中的周期更换（，）策略因此，式（）中的模型表示在更新比例收费更换保修保证产品可靠性和周期更换策略维持出保可靠性条件下的费用率情形：当G（t）和m时，上述模型可简化为C R（T）cF（w）F（w）wa xbF（x）F（w）C（cc）Tr（wu）uwF（u）uF（w）T（）由情形和情形知，式（）中的模型表示在更新免费更换保修保证产品可靠性和周期更换策略维持出保可靠性时的费用率除了以上特殊模型之外，通过讨论模型式（）C R（T）中的一个或多个参数，一些其它模型也可得到，在这里不再提供 优化通过最小化式（）中的C R（T），寻找最优随机周期更换策略（即寻求最优解T*）由于G（y）和r（u）的表达式未定义且不确定，因此很难获得决策变量T的最优解析解通过推导费用率模型中决策变量的一阶导数，可以总结最优解T*的存在性和唯一性，如下所示对C R（T）中的T求一阶导数，可得到费用率C R（T）的一阶导数D（T）为D（T）（cc）G（T）wG（m）（s）F（s）r（sT）（）r（T）wG（m）（u）F（u）uwG（m）（u）F（u）（）TG（u）uwG（m）（u）F（u）wG（m）（u）F（u）uwG（m）（u）F（u）（）TG（u）uG（T）A（cc）wG（m）（s）F（s）TG（t）r（st）t（）TG（t）r（t）t（）wG（m）（u）F（u）（）wG（m）（u）F（u）uwG（m）（u）F（u）（）TG（u）u设d（T）为D（T）的分子，则可得到d（）（cc）wG（m）（s）F（s）r（s）（）wG（m）（u）F（u）uwG（m）（u）F（u）（）wG（m）（u）F（u）（）A令d（T）为零，则可得以下表达式（cc）wG（m）（s）（F（s）r（sT）r（T）wG（m）（u）F（u）A（cc）wG（m）（s）F（s）TG（t）r（st）t（）TG（t）r（t）twG（m）（u）F（u）wG（m）（u）F（u）uwG（m）（u）F（u）TG（u）u（）第期尚利俊等：基于工作周期的最优出保随机维修策略 显然，式（）等号后表达式与式（）中表达式相同设（T）为式（）等号前表达式，即（T）（cc）wG（m）（s）F（s）r（sT）（）r（T）（）wG（m）（u）F（u）那么，如下定理可描述式（）中的最优解T*的存在性和唯一性定理 ）如果d（），有（）当d（T）关于T严格地增加到时，则存在满足d（T*）的唯一、有限最优解T*和满足C R（T*）（T*）的最优费用率；（）当d（T）关于T是非单调的且d（），则至少存在一个满足d（T*）的最优解T*和满足C R（T*）（T*）的最优费用率；（）当d（T）关于T严格地减少到时，则存在满 足T*的 唯 一 最 优 解T*和 满 足C R（T*）（）的最优费用率；）如果d（），有（）当d（T）关于T严格地增加到时，则存在 满 足T*的 唯 一 最 优 解T*和 满 足C R（T*）（）的最优费用率；（）当d（T）关于T严格地减少到时，则存在满 足T*的 唯 一 最 优 解T*和 满 足C R（T*）（）的最优费用率；（）当d（T）关于T是非单调且方程d（T）有多个根时，则至少存在一个满足d（T*）的最优解T*和满足C R（T*）（T*）的最优费用率采用同样的过程，分别最小化式（）中的C R（T），也寻找相应的最优策略（即最优解T*）考虑到文章篇幅长度，这里不再提供 数值实验为了解释本文提出的保修和出保维修，假设智能检测设备的首次失效时间服从失效率为r（u）u的 函数：F（x）xr（u）u（）其中 且；假设随机工作周期服从失效率为的指数分布函数G（y）（y）；参数如下：，a ，b，C ，C 未给出的其他参数（决策变量T除外）需要时提供 保修的灵敏性分析为了探究提出保修的特征，绘制了图，其中 ，c ，c 从图（其中）观察到，提出保修产生的保修费用逐渐增加到恒定值，即，在w给定的情况下，提出保修产生的保修费用随着m增加而增加到一个恒定值（该值为更新比例收费更换保修（）产生的保修费用，其通过 mW Cw（Ca xb）F（x）F（w）获得）这意味着：提出保修产生的保修费用不超过更新比例收费更换保修（）产生的保修费用；与更新比例收费更换保修相比，提出保修产生的保修费用能够通过限制随机工作周期数量（即保修限制m）被控制此外，由图 可知，当m给定时，提出保修产生的保修费用关于w递增由图（其中w）可知，当m较小时，提出保修产生的保修费用关于非递增；而当m增加时，无论发生何种变化，提出保修产生的保修费用始终会增加到一个恒定值（该值为更新比例收费更换保修（）产生的保修费用，图 提出保修的灵敏性分析F i g S e n s i t i v i t i e s a n a l y s i s o f t h ep r o p o s e dw a r r a n t y兰州理工大学学报 第 卷其通过 mWCwCa xb（）F（x）F（w）获得），以上变化表明，当在传统 中添加一个约束（即保修限制）设计一个新保修模型（即 ）时，新保修模型产生的保修费用不会超过传统 产生的保修费用 出保随机维修策略的灵敏性分析为了探究最优随机周期更换策略的存在性和唯一性，绘制了图，其中 ，w，m 从图（其中c ）中可知，最优更换时间T*和最优费用率C R（T*）存在且唯一这意味着，最优随机周期更换策略也存在并且唯一对于图（其中c ）以上变化和结论也成立由图（其中c ）可知，最优更换时间T*关于c递减，而最优费用率C R（T*）关于c递增这意味着，较小的小修成本c能降低费用率并且延长出保期由图（其中c ）可知，最优更换时间T*关于c递减，而最优费用率C R（T*）关于c增加这意味着，较小失效损失c不仅能降低成本率还能延长出保期为了说明和w对最优随机周期更换策略的影响，m，c ，c ，的情况，见表 从表可知，在给定时，最优更换时间T*和最优费用率C R（T*）关于保修期w递减这意味着，较长的保修期w能降低费用率，但不能延长出保期在w给定时，最优更换时间T*和最优费用率C R（T*）关于递减这意味着，从整体角度来看，当工作周期（即更大的情况）较短时，出保期的延长必以更高的成本为代价为了表明保修限制m和w对最优随机周期更换策略的影响，c ，c ，的情况，见表所列从表可以看出，当m给定时，最优更换时间T*和最优费用率C R（T*）关于保修期w递减这意味着，较长的保修期w能降低费用图 存在性和唯一性F i g E x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s表 关于和w的灵敏性分析T a b S e n s i t i v i t ya n a l y s i s o fa n dww T*C R（T*）w T*C R（T*）w T*C R（T*）w T*C R（T*）表 关于m和w的灵敏性分析T a b S e n s i t i v i t ya n a l y s i s o fma n dwmw T*C R（T*）w T*C R（T*）w T*C R（T*）w T*C R（T*）第期尚利俊等：基于工作周期的最优出保随机维修策略 率而不能延长出保期，这与表中的结论类似在w给定时，最优更换时间T*和最优费用率C R（T*）关于保修限制m递减这意味着，较大的保修限制m能降低费用率但不能延长出保期m和m之间的最优更换时间增量随着m的增加逐渐减少如果m逐渐增加到无穷大，那么最优更换时间增量逐渐减少到一个常数，并且最优费用率增量也出现相同的变化情况这些信息表明，当随机工作周期数被设计为保修限制时，消费者的保修期可以延长但费用率不会降低 出保维修策略的性能比较本文随机周期更换策略用于维持出保可靠性如果该策略中的随机工作周期完成时的替换被忽略，则该策略被简化为周期更换策略周期更换策略对应的费用率模型已由式（）提供为了易于比较，提供一种比较方法如下：令EC （L）（可以通过T*替换式（）中的T得到）和EC（L）（可以通过T*替换式（）中的T得到）分别是对应于随机周期更换策略和周期更换策略的最优寿命周期总费用令L*（可以通过T*替换式（）中的T得到）和L*（可以通过T*替换式（）中的T得到）分别是对应于随机周期更换策略和周期更换策略的最优寿命周期总长度在每个策略的总费用等于两个策略最优寿命周期总费用的积时，设L*和L*分别是对应的时间度量则本文提出的比较方法为步骤：令L*L*EC（L）且L*L*EC （L）步骤：如果L*L*，则应选择随机周期更换策略维持出保可靠性；如果L*L*，则应选择周期更换策略维持出保可靠性；如果L*L*，则两者中的任何一个都能维持出保可靠性采用本文提出的比较方法对出保维修策略（即随机周期更换策略和周期更换策略）进行性能比较在w，m，c ，C ，条件下，绘制了表 与周期更换策略对应的时间度量L*，大于与随机周期更换策略对应的时间度量L*，即L*L*这意味着，周期更换策略的性能优于随机周期更换策略的性能在w，m，c，C，条件下，绘制了表 与周期更换策略对应的时间度量L*，大于与随机周期更换策略对应的时间度量L*，即L*L*与表类似，这表明，周期更换策略的性能优于随机周期更换策略的性能在w，m，c，c ，条件下，绘制了表 当C递增时，与周期更换策略对应的时间度量L*，大于与随机周期更换策略对应的时间度量L*，即L*L*这意味着，周期更换策略的性能优于随机周期更换策略的性能借助上述比较方法，探究了维持出保可靠性的出保维修策略的性能此外，出保维修策略之间的解析比较已在文献 中详细讨论，故本文不再提供解析比较在设置两类出保维修策略对应的最优寿命周期总长度相乘的情况下，通过比较每个策略对应总费用的大小，也能比较出保维修策略的性能，采用该方案也可得到与表 表相同的结论表 当cm改变时的性能比较T a b P e r f o r m a n c e c o m p a r i s o na scmc h a n g e sc随机周期更换策略T*EC （L）L*周期更换策略T*EC（L）L*周期长度L*L*表 当cf改变时的性能比较T a b P e r f o r m a n c e c o m p a r i s o na scfc h a n g e sc随机周期更换策略T*EC （L）L*周期更换策略T*EC（L）L*周期长度L*L*兰州理工大学学报 第 卷表 当Cp改变时的性能比较T a b P e r f o r m a n c e c o m p a r i s o na sCpc h a n g e sC随机周期更换策略T*EC （L）L*周期更换策略T*EC（L）L*周期长度L*L*结论本文将随机工作周期融入到保修期，从制造商角度提出了一个二维保修，即考虑补偿的二维更新比例收费更换保修（）提出的保修能保证以随机工作周期方式工作的产品建模了 产生的保修费用，并通过讨论保修条款，提供了一些特殊保修模型将随机工作周期融入到出保期、把 扩展到消费者的出保维修中，建模了一个随机周期更换（）策略建模的 能维持以随机工作周期方式工作的出保通过讨论费用率模型中参数，给出了一些特殊问题对应的费用率模型对 的一些关键参数进行了灵敏性分析，并探究了出保随机维修策略的性能数值结果表明，当随机工作周期数量被设计为保修限制时，制造商的保修费用能被控制到更小；消费者的出保期能延长，但费用率不能降低本文将随机工作周期融入到保修期和出保期，研究了制造商的保修模型和消费者的出保随机维修模型除此，一些基于随机工作周期的问题有待研究，比如：将随机工作周期融入到二维保修中，定义和建模一些三维保修；将随机工作周期融入到重要度理论中，建模一些关键参数的重要性度量的模型参考文献：，-，（）：-，：-，e ta l -，（）：-，e ta l -，（）：-贾云献，李欣玥，王鹏，等考虑多故障模式的新型装备更新保修费用预测 系统工程与电子技术，（）：-张怀强，李铁成，杜军岗舰载导弹系统故障率及保修期模型优化 系统工程与电子技术，（）：-，e t a l -：-，：，-，：-，-，（）：-，-，：-，-，：，-，：-，e ta l -，：-，-，（）：-，-，：-，：第期尚利俊等：基于工作周期的最优出保随机维修策略 ，-，：，：，-，：-，-，：-，-，：-，：-，-，：-，-，：-曹晋华，程侃可靠性数学引论 北京：高等教育出版社，-，（）：-，（）：-，（）：-兰州理工大学学报 第 卷