1、第六节第六节 二重积分概念及性质二重积分概念及性质一、引例一、引例二、二重积分定义二、二重积分定义三、二重积分性质三、二重积分性质第1页一、引例解 分三步处理这个问题.引例1 质量问题.已知平面薄板D面密度(即单位面积质量)是点(x,y)连续函数,求D质量.(1)分割 将D用两组曲线任意分割成n个小块:其中任意两小块 和 除边界外无公共点.与一元函数情况类似，我们用符号 既表示第i个小块，也表示第i个小块面.(i=1,2,n).第2页故所要求质量m近似值为(2)近似、求和 若记 为 直径(即 表示 中任意两点间距离最大值)，将任意一点 处密度 近似看作为整个小块 面密度.得(3)取极限 记 ，
2、则定义为所求薄板D质量m.第3页引例2 曲顶柱体体积.若有一个柱体，它底是Oxy平面上闭区域D，它侧面是以D边界曲线为准线，且母线平行于z轴柱面，它顶是曲面z=f(x,y)，设f(x,y)0为D上连续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.现在来求这个曲顶柱体体积.解 也分三步处理这个问题.(1)分割 区域D用两组曲线任意分割成n个小块:第4页其中任意两小块 和 除边界外无公共点.其中 既表示第i个小块，也表示第i个小块面积.第5页(2)近似、求和 记 为 直径(即 表示 中任意两点间距离最大值)，在 中任取一点 ,以 为高而底为 平顶柱体体积为此为小曲顶柱体体积近似值，故曲顶柱体近似值能够取为第6页
3、3)取极限 若记 ，则定义为所讨论曲顶柱体体积.第7页二、二重积分定义定义 设f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.(1)分割 用任意两组曲线分割D成n个小块 其中任意两小块 和 除边界外无公共点，既表示第i小块，也表示第i小块面积.(2)近似、求和 对任意点 ，作和式(3)取极限 若 为 直径，记 ,若极限第8页存在，且它不依赖于区域D分法，也不依赖于点 取法，称此极限为f(x,y)在D上二重积分.记为(2)称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x，y为积分变元，为面积微元(或面积元素).由这个定义可知，质量非均匀分布薄板D质量等于其面密度 在D上二重积分.所以二重积分 物理意义能够解释
4、为：二重积分值等于面密度为f(x,y)平面薄板D质量.第9页二重积分 几何意义：(1)若在D上f(x,y)0，则 表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶曲顶柱体体积.(2)若在D上f(x,y)0，则上述曲顶柱体在Oxy面下 方，二重积分 值是负，其绝对值 为该曲顶柱体体积.(3)若f(x,y)在D一些子区域上为正，在D另一些 子区域上为负，则 表示在这些子区域 上曲顶柱体体积代数和(即在Oxy平面之上曲顶 柱体体积减去Oxy平面之下曲顶柱体体积).第10页二重积分存在定理 若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积).第11页三、二重积分
5、性质 二重积分有与定积分类似性质.假设下面各性质中所包括函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积.性质1 有限个可积函数代数和必定可积，且函数代数和积分等于各函数积分代数和，即性质2 被积函数中常数因子能够提到积分号前面，即第12页 性质3 若D能够分为两个区域D1，D2，它们除边界外无公共点，则性质4 若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D面积，则性质5 若在D上处处有f(x,y)g(x,y)，则有推论第13页性质6(估值定理)若在D上处处有mf(x,y)M，且S(D)为区域D面积，则(3)第14页 性质7(二重积分中值定理)设f(x,y)在有界闭区域D上连续，则在D上存在一点 ，使(4)第15页证 由f(x,y)在D上连续知，f(x,y)在D上能到达其最小值m和最大值M，因而估值式(3)成立.即有成立.再由有界闭区域上连续函数介值定理知，存在 ，使(5)第16页 (5)式等号右边式子称为函数f(x,y)在D上平均值.因而，积分中值定理又能够这么说：“对有界闭区域D上连续函数f(x,y)，必在D上存在一个点 使 取f(x,y)在D上平均值”.故积分中值定理也是连续函数平均值定理.第17页例 设D是圆环域：，试预计解 在D上，而D面积S(D)=4=3.由估值公式(3)得第18页
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