1、6.4 几个初等函数组成映射几个初等函数组成映射 一、幂函数一、幂函数 二、二、指数函数指数函数 三、三、综合举例综合举例 1第1页一、幂函数一、幂函数 (整数整数)则有则有 令令 1.映射特点映射特点 即即 幂函数幂函数 扩大顶点在原点角形域扩大顶点在原点角形域(或扇形域或扇形域)。特点特点 类似地，根式函数类似地，根式函数 作为幂函数逆映射，其映射作为幂函数逆映射，其映射 特点是特点是缩小顶点在原点角形域缩小顶点在原点角形域(或扇形域或扇形域)。2第2页一、幂函数一、幂函数 (整数整数)则有则有 令令 1.映射特点映射特点 即即 幂函数幂函数 在在 平面上除原点外是第一类保角映射。平面上除
2、原点外是第一类保角映射。结论结论 在角形域在角形域 上，假如上，假如 则幂函数则幂函数 是是 共形映射共形映射。3第3页解解 令令 则则 如图，所求象区域如图，所求象区域 G 为：为：求区域求区域例例在映射在映射下像区域。下像区域。4第4页解解 P157 例例6.14 设区域设区域例例映射成映射成求一共形映射将求一共形映射将单位圆域。单位圆域。5第5页1.映射特点映射特点 指数函数指数函数 将将水平带形域水平带形域变为变为角形域角形域。特点特点 尤其地尤其地 二、二、指数函数指数函数 指数函数指数函数 在在 平面上是第一类保角映射。平面上是第一类保角映射。结论结论 6第6页1.映射特点映射特点
3、 指数函数指数函数 将水平带形域变为角形域。将水平带形域变为角形域。特点特点 尤其地尤其地 二、二、指数函数指数函数 在水平带形域在水平带形域 上，假如上，假如 则指数函数则指数函数 是是共形映射。共形映射。7第7页如图，所求象区域如图，所求象区域 G 为：为：解解 令令 则则 求区域求区域例例下下在映射在映射象区域。象区域。8第8页解解 P158 例例6.15 设区域设区域例例映射成映射成求一共形映射将求一共形映射将上半平面。上半平面。9第9页三、三、综合举例综合举例 (1)预处理预处理 工具工具 几个简单分式映射、幂函数、指数函数等。几个简单分式映射、幂函数、指数函数等。使区域边界至多由两
4、段圆弧使区域边界至多由两段圆弧(或直线段或直线段)组成。组成。(2)将区域映射为角形域将区域映射为角形域(或者带形域或者带形域)另一个另一个(交交)点点 映射为映射为 0 。z2 主要步骤主要步骤 (普通普通)方法方法 将区域边界一个交点将区域边界一个交点 映射为映射为 z1 工具工具 公式公式 从从上半单位圆域上半单位圆域到到第一象限第一象限映射为映射为 10第10页(4)将上半平面映射为单位圆域将上半平面映射为单位圆域 工具工具 (对于角形域对于角形域)(对于带形域对于带形域)工具工具 (无附加条件无附加条件)(3)将角形域将角形域(或者带形域或者带形域)映射为上半平面映射为上半平面 三、
5、三、综合举例综合举例 主要步骤主要步骤 (普通普通)(由附加条件确定由附加条件确定 )11第11页注注 从从上半单位圆域上半单位圆域到到上半平面上半平面映射为映射为 解解 P161 例例6.18 设区域设区域例例映射成映射成求一共形映射将求一共形映射将单位圆域。单位圆域。公式公式12第12页将将 故故 得得 有有 再要求将再要求将 解解 共形映射将共形映射将 D 映射成单位圆域。映射成单位圆域。例例 设区域设区域 D 由两个圆弧围成由两个圆弧围成(如图所表示如图所表示)，其中其中 求一求一 P160 例例6.17 13第13页将将 故故 得得 有有 再要求将再要求将 解解 P159 例例6.16 设区域设区域例例映射成映射成求一共形映射将求一共形映射将单位圆域。单位圆域。14第14页解解 设区域设区域例例映射成映射成求一共形映射将求一共形映射将单位圆域。单位圆域。15第15页解解 设区域设区域例例映射成映射成求一共形映射将求一共形映射将单位圆域。单位圆域。16第16页解解 设区域设区域练习练习求一共形映射将求一共形映射将映射成单位圆域。映射成单位圆域。17第17页
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