正项级数敛散性的探究毕业论文.doc

唐山师范学院本科毕业论文

题 目 正项级数敛散性的探究
年 级 11数本1班
专 业 数学与应用数学
系 别 数学与信息科学系

唐山师范学院数学与信息科学系
2015年4月

郑重声明

本人的毕业论文（设计）是在指导教师胡洪池的指导下独立撰写完成的.如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为,本人愿意承担由此产生的各种后果,直至法律责任,并愿意通过网络接受公众的监督.特此郑重声明.

毕业论文（设计）作者（签名）：
2015年 4 月 28 日

目 录
标题 1
中文摘要 1
1 引言 1
2 正项级数敛散性的基础判别法 1
3 正项级数其他一些判别法的探究 3
3.1以p级数为比较级数建立的其他判别法 3
3.2以级数为比较级数建立的其他判别法 5
4 一些正项级数敛散性判别法之间强弱性的比较. 8
4.1以p级数为比较级数建立的判别法之间强弱性的比较 8
4.2以p级数建立的判别法与以等比级数建立的判别法的比较 9
4.3以级数为比较级数建立的判别法之间强弱性的比较 10
4.4以级数建立的判别法与以p级数建立的判别法的比较 11
5 比较级数的敛散速度与正项级数判别法强弱性的关系 12
6 结束语 14
参考文献 15
致谢 16
外文页 17

正项级数敛散性的探究

摘要：本文将通过回顾梳理关于正项级数的基础判别法，进一步讨论通过变换比较级数得到几个其他的使用范围更广的判别法，并且通过比较这些正项级数的判别法的应用范围及使用条件来得到他们之间强弱性的结论, 最终给出判别正项级数敛散性的判别法在强弱比较上的一般结果：找不到收敛的最慢的级数，也就是说无最终判别法.
关键字：正项级数 敛散性 判别法 强弱比较

To explore The Convergence and Divergence of Positive Term Series
Abstract This article will comb through the review on the basis of positive series discriminant method,further discussion by comparing transformation series to get a few other criterion used is wider,and by comparing the criterion of positive series application scope and conditions of use to get the conclusion of weak sex between them,finally gives discriminant criterion of in positive series divergence on strength more general results:can not find the slow convergence of the series,that is said,no final criterion.
Key words Positive term series Convergence and divergence
Discriminance Weak sex comparative

1 引言

数项级数是数的加法从有限和到无限和的自然推广，判断级数敛散性的问题是级数的首要问题.其中正项级数尤为重要和特殊，在研究其他数项级数的敛散性问题时，常常归结为研究正项级数的敛散性.通过研究我们知道正项级数的敛散性判别法基本上都是用某些已知敛散性的正项级数作为比较级数来建立的，并且得到结论：相应于敛散速度慢的标准级数的判别法比相应于敛散速度快的标准级数的判别法使用范围更广.甚至于，即使是以同一正项级数为比较级数的两个判别法的强弱性也不尽相同.并且，每种判别法又都有它的局限性，即判别法失效的问题.在比较级数的选择上，通过研究我们知道，没有收敛的最慢的收敛级数，所以任何判别法都只能解决一部分级数收敛的问题，因此可以不断的发现新的，相对使用范围更广的判别正项级数敛散性的方法，我将结合自己对近年来人们提出的正项级数的判别法及其强弱性的简单理解和思考，对其做一个深入的探讨和总结.

2 正项级数敛散性的基础判别法

基础判别法指的是通过比较通项来判敛的比较原则；以等比级数为比较级数建立的比式判别法、根式判别法；以及通过广义积分建立的积分判别法.

定理2.1(比较原则)：设是两个正项级数如果存在某正数，（1）对一切都有，则（1）若级数收敛，则级数也收敛；（2）若级数发散，则级数也发散.

推论：设和是两个正项级数，若，则：
（1） 当时，级数同时收敛或同时发散；
（2） 当时且级数收敛时，级数也收敛；
（3） 当且级数发散时，级数也发散.

利用级数收敛的定义已经知道了等比级数的敛散性，接下来的两个判别
法是以等比级数为比较级数建立的判别法.

定理2.2（比式判别法）：设为正项级数，且存在某正整数及常数，（1） 若对一切，成立不等式，则级数收敛.（2）若对一切成立不等式，则级数发散.

推论：若为正项级数，且，则（1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散.

定理2.3（根式判别法）：设为正项级数，且存在某正数及常数,（1）若对一切n>，成立不等式，则级数收敛；（2）若对一切n>，成立不等式，则级数发散.

推论：设为正项级数，且，则（1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散.

尽管比式判别法和根式判别法都是以等比级数为标准级数建立起来的，但是通过研究我们知道若，则必有，即说明根式判别法较之比式判别法更有效.
如例：讨论级数的敛散性.
如果用根式判别法，有，可知该级数时收敛的；若用比式判别法，有，而，因此比式判别法对于此问题失效了.

但是，这两个判别法仍有局限性，当出现“”和“”时，这两个判别法就失效了.例如考察和这两个级数，不论用比式判别法的极限形式还是根式判别法的极限形式，可以发现他们的极限都是，然而是发散的，时收敛的.

接下来的判别法是利用非负函数的单调性和积分的性质，以反常积分为比较级数建立的积分判别法.

定理2.4（积分判别法）：设为上非负减函数，那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散.

3 正项级数其他一些判别法的探究

在上一节中，已经介绍了一些判别正项级数敛散性的基础判别法.在这一节中，将继续通过变换比较级数的思想，再得到一些其他的判别正项级数敛散性的判别法.

3.1以p级数为比较级数建立的其他判别法

对于p级数，设，则，可见不论取何值，函数在上是一个非负减函数.那么由积分判别法可知：与是同时收敛或同时发散的.由于无穷积分当时是收敛的，当时发散.所以p级数当时收敛；当时发散.

这一节中介绍三个以p级数为比较级数建立的判别法，分别是拉贝判别法、对数判别法和双比值判别法.

定理3.1.1:（拉贝判别法）：设为正项级数，且存在某正整数及常数r，（1）若对一切n>，成立不等式，则级数收敛；（2）若对一切n>，成立不等式，则级数发散.

推论：设为正项级数，且极限存在，则（1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散.

例3.1.1：讨论级数的敛散性.
解：因为
所以由拉贝判别法可知级数收敛.

定理3.1.2（对数判别法设正项级数若，当时，级数收敛；当时，级数发散.
证明：当时，可取，使，故存在自然数，使得当时，有，故，由此推知，从而收敛，同理可以考虑当的情况.

推论：设正项级数，且，则（1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散.
证明：当时，则存在，使得，由知对存在正整数，使得当时，有，由数列单调递增且趋于知对一切正整数有.于是当时有，而级数当时收敛，所以级数收敛.

例3.1.2：讨论级数的敛散性.
解：，，由对数判别法知当时级数收敛；当时级数发散；当时，由于级数是发散的，所以原级数发散.

定理3.1.3（双比值判别法）：设正项级数，若，则当时级数收敛；当时级数发散.
证明：当时，可以选取正数，使得，根据极限定义，应有正整数，使得当时，有与，又因为，可选实数，使得，令，则，（因为，级数收敛）且，由极限的基本性质，对充分大的有成立，又因为，故有，对充分大的，有下面的不等式成立和，那么可知级数收敛.

例3.1.3：讨论级数的敛散性.
解：

故，由双比值判别法知级数收敛.

3.2以级数为比较级数建立的其他判别法

对于级数，设，则，可见不论取何值，函数在上都是非负减函数，那么由积分判别法可知，与同时收敛或同时发散.令，此时无穷积分的上下限分别为和，则，此时是趋向于的，所以当时无穷积分收敛于0，当时发散，当时，无穷积分也是发散的，所以，当时级数收敛，当时级数发散.

本节中给出的三个常用的判别法，都是以为比较级数建立起来的，它们分别是新判别法、高斯判别法和拟对数判别法.

定理3.2.1（新判别法）：设给定正项级数，如果
，，
则当时级数收敛；当时级数发散.
该定理的证明过程十分冗长复杂，由于篇幅所限，这里不再赘述.

例3.2.1：讨论级数的敛散性.
证明：
，为奇数；，为偶数.
，为奇数；，为偶数.
最终得到且，由定理3.2.1可知级数收敛.

定理3.2.2（高斯判别法）：设正项级数，如果，则当时，级数收敛；当时，级数发散.
证明：若，则存在，使，且存在自然数，当时，有，即.另外，记，则，故，从而由收敛，推知收敛.

例3.2.2：讨论级数的敛散性.
解：因为，所以，这样的话，由高斯判别法可知级数收敛.
定理3.2.3（拟对数判别法）：设是正项级数，如果，则当时级数收敛；当时级数发散.
证明：当时，可取，使得，由极限的保号性可知，存在自然数，当时，总有，即，所以，由此可得，从而由的收敛性及比较判别法知收敛.当时，存在自然数，对一切总有于是，而发散，从而发散.

例3.2.3：讨论级数的敛散性.
解：，由拟对数判别法，当，级数收敛；当，级数发散.

4 一些正项级数敛散性判别法之间强弱性的比较

在上一节中，分别以p级数和级数作为比较级数，又给出了判别正项级数敛散性的拉贝、对数、双比值、高斯、拟对数判别法以及新的判别法，自然会让人思考这些新判别法相互之间的强弱关系，在这一节中，将具体给出这些判别法间强弱性的比较.

4.1以级数为比较级数建立的判别法之间强弱性的比较
4.1.1双比值判别法与拉贝判别法的比较
命题4.1.1：能用拉贝判别法判别的正项级数一定能用双比值判别法来判断，但反过来不成立，由此说明双比值判别法要强于拉贝判别法.如下例：

例4.1.1：设有正项级数，讨论其敛散性.
解：，且所以由双比值判别法知正项级数收敛.但是，当为奇数时，值为，当为偶数时，值为2，故极限不存在，因此不能用拉贝判别法来判断敛散性.

4.1.2对数判别法与拉贝判别法的比较
命题4.1.2：能用拉贝判别法判别的正项级数一定能用对数判别法判别，但反过来不成立，由此说明对数判别法要强于拉贝判别法.如下例：

例4.1.2：设有正项级数，讨论其敛散性.
解：，故级数收敛.但是，当为奇数时，；当为偶数时，.故有，且，可见用拉贝判别法并不能判别级数的敛散性.

4.1.3对数判别法与双比值判别法的比较
命题4.1.3：能用双比值判别法判别的正项级数也一定能用对数判别法来判别，但反过来不成立，由此说明对数判别法要强于双比值判别法.如下例：

例4.1.3：讨论级数的敛散性.
解：当为奇数时，；当为偶数时，.故不存在，从而双比值判别法失效，但是，由对数判别法可知：当时，，级数收敛；当时，，级数发散；当时，为调和级数，故级数发散.
可见，例4.1.3是例4.1.2的一般形式，但是不论用双比值判别法还是拉贝判别法都无法解决，显示出对数判别法的优越性.

4.2以p级数建立的判别法与以等比级数建立的判别法的比较

关于两个正项级数敛散快慢比较的问题（同收敛或同发散），在许多著作中，通常都有这样一个定义：
设正项级数和都收敛，如果，就称比收敛较慢；
设正项级数和都发散，如果，就称比发散较慢.
所以，根据这个定义，我们来比较一下等比级数和p级数的收敛快慢：
设，，则，如此连续使用洛必达法则，可以发现该极限值为0，那么，由上述定义可是，p级数要比等比级数收敛较慢，这样便说明了以p级数为比较级数建立起来的拉贝判别法，要比以等比级数为比较级数建立的比式、根式判别法更加优越.但是，尽管以p级数为比较级数建立的拉贝判别法相对比式判别法和根式判别法的使用范围变得广泛了，但当出现“”时仍不能判断敛散性，所以，拉贝判别法也是有它的局限性的.
如例：讨论级数，当时的敛散性.
先用比式判别法：，此时无论为中的何值，该极限都是1，那么比值判别法失效了.
再用拉贝判别法：当时，，级数发散；当时，，所以可知此时拉贝判别法失效；当时，，由拉贝判别法可知该级数收敛.

4.3以级数为比较级数建立的判别法之间强弱性的比较
4.3.1新判别法与高斯判别法的比较
在第三节中，介绍了一种以级数为比较级数建立的新判别法，这里我们把它和高斯判别法进行比较，来说明新的判别法在使用上比高斯判别法范围更广.
命题4.2.1：凡是能用高斯判别法判别敛散性的正项级数都能用这种新方法来判别敛散性，但反过来不成立，由此可知新判别法要强于高斯判别法.如下例：
例4.2.1：讨论级数的敛散性.
证明：由于，当为奇数时；
，当为偶数时.

因此可求得：
且
于是可见高斯判别法已经失效，但是，
，为奇数；，为偶数.
，为奇数；，为偶数.
最终得到且，由定理4.2.1可知级数收敛.

4.3.2：拟对数判别法和高斯判别法的比较
命题4.2.2：能用对数判别法判别敛散性的正项级数也一定能用拟对数判别法来判别敛散性，但反过来不成立，由此可知拟对数判别法要强于对数判别法.如下例：
例4.2.2：讨论正项级数的敛散性.
解：由于 ，由拟对数判别法知级数收敛.
当为奇数时，；当为偶数时，，因此，且，可见，用高斯判别法不能判别此级数的敛散性.

可见，例4.2.2是例3.2.3的一种特殊情况，它又一次说明了拟对数判别法的优越性.

4.4以级数建立的判别法与以p级数建立的判别法的比较

我们探讨p级数和级数的收敛快慢：
设，，就的情形证明，先假设，于是有，不断使用洛必达法则可得该极限为0；若，而，此时有，同样可求得极限为0，这就说明了级数比p级数收敛较慢.这样便说明了以级数为比较级数建立的新判别法、高斯判别法和拟对数判别法，要比以p级数为比较级数建立的拉贝判别法，双比值判别法和对数判别法要更加优越.

5 比较级数的敛散速度与正项级数判别法强弱性的关系

在前面的讨论中，给出了以等比级数为比较级数建立的比式判别法，根式判别法；以p级数为比较级数给出的拉贝判别法，双比值判别法和对数判别法；还有以级数为比较级数给出的新判别法，高斯判别法和拟对数判别法.并且，将他们之间的强弱关系进行了比较，得到了一系列有用的结论，从中知道，由于级数比p级数收敛的速度较慢，而p级数比等比级数收敛的速度又慢，所以以级数为比较级数建立的判别法相对于其他判别法使用范围更广，但并不是用这三个判别法可以解决所有正项级数的敛散性问题，这一节来讨论比较级数的敛散速度与正项级数判别法强弱性的关系.

考察级数，同样可以通过积分判别法说明这个级数当时级数是收敛的；当时级数发散.下面我们说明这个级数比级数收敛速度较慢：
设，，则
，令，则，原式为
如此一直使用洛必达法则，便可得到这个极限为0，所以级数要比级数收敛速度慢.如果以级数为比较级数得到了新的判别法，那么新的判别法一定比高斯判别法，拟对数判别法更优越.
沿此思路继续下去，级数所建立的判别法使用范围便会更广，这一过程可以一直继续下去.下面我们证明没有收敛的最慢的级数：

设是收敛的最慢的正项级数，构造级数，其中是的第个余式，即，正项级数是收敛的，由积分中值定理，有，故有
可见级数收敛，由比较原则可知，级数也收敛.
其次，由可知级数较收敛的慢.

同理可证，也没有发散的最慢的正项级数.这样，便说明了如果正项级数的判别法时以某一个收敛的级数为比较级数建立的，那么无论它的使用范围再广泛，也有它不能判别的正项级数，只有那些级数的通项收敛于0的速度比这一作为标准的级数收敛于0的速度快时，判别法才有效，但是，如上面讨论，我们可以沿这一思路，不断得到使用范围更广泛的新判别法，以解决更多的问题.

6 结束语
以上对正项级数的讨论便是我本篇论文的全部内容，文章系统地梳理总结了一系列判别正项级数的判别法，它们有严格的分类标准，为我们提供了更多的思考解决正项级数敛散性问题的方法，另外，这些判别法的使用范围也不尽相同，通过对比以同一比较级数、不同比较级数建立的判别法，得到了它们之间强弱性的关系，并且得到了比较级数的收敛速度于正项级数判别法强弱性的关系，说明了不存在收敛的最慢的级数这一事实.再去解决正项级数敛散性的问题，选择判别法时，便有了优先考虑，先主后次的指导方法.

参考文献：
[1]华东师范大学数学系编著.数学分析第四版[M].北京:高等教育出版社，2010
[2]复旦大学数学系编著.数学分析第二版[M].上海：复旦大学出版社，2006
[3]刘红玉.正项级数敛散性判别法的综合探究[J]．安徽广播电视大学学报，2013.9
[4]杨钟玄.正项级数敛散性的又一新判别法[J].贵州师范大学学报，2005.11
[5]杨钟玄.对正项级数敛散性判别法的关系的一些探讨[J].新疆大学学报，2002.8
[6]高军.谈谈几种正项级数敛散性判别法的比较[J].数学通报，1994.12
[7]丁勇.几种正项级数敛散性判别法的比较[J]．数学通报，1998.11
[8]朱江红，高红亚.几种正项级数敛散性判别法的强弱性比较[J].沧州师范专科学校学报，2004.6
[9]李铁烽.正项级数敛散性的一种新的比值判别法[J].数学通报，1990.1
[10]俞文辉.级数的收敛速度与正项级数判别法的关系[J].江西科技师范学院学报，2005.8

致 谢

本论文的研究工作是在胡洪池老师的精心指导和帮助下完成的.无论是论文题目的选择还是论文的结构框架与文字推敲,胡老师始终都给予细心的指导,提出了宝贵的意见.这些都使得本人深受启发、受益匪浅.在这个过程中胡老师一丝不苟的作风,严谨求实的态度,踏踏实实的精神对我影响深远.使我学到了扎实、宽广的专业知识,树立了远大的学术目标,掌握了基本的研究方法.在此我要向胡老师致以衷心的感谢和深深的谢意.
本论文的顺利完成,离不开各位老师、同学和朋友的关心和帮助.在此,向所有关心和帮助过我的老师、同学和朋友表示由衷的谢意.
最后,衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位专家、老师.

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