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卫星和飞船的跟踪测控
摘要
对于问题一：我们根据已知问题一条件的假设和测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域的条件，可以画出卫星的轨道图以及测控站的测控范围，同时测控站的测控范围可由其圆心角来表示，则测控站的数量可由与其圆心角的商得到。根据正弦定理，可得到轨道半径与测控范围的关系，继而得到测控站的数量个数，其个数至少为3个。
对于问题二：由问题二的假设，而且假设每个测控站的测控范围都相同的条件下，我们想到把对卫星或飞船进行测控的测控站的个数问题看成在一个大的球壳（或部分球壳）上割去等大小的球盖问题，求的是割的最少次数。我们把球壳沿着一个平面方形切割成无数的圆环，再将圆环剪断成带状，按原来的顺序铺在一个平面上，中点在Y轴上，即成一个椭圆形。再用问题一得出的弧长为半径的圆去覆盖。又因为在周长相同的几何图形中，圆的面积最大。然而如果我们用不相重叠的圆形来覆盖整个平面时，将会存在一些缝隙没被盖住。另一方面，在一个固定的圆面积中，使用规则六边形可以覆盖尽可能大的面积而不留缝隙。所以我们用等边六边形的网去覆盖椭圆即可得出所需的测控站最少个数，其最少个数应为个。
对于问题三：由于问题三是求实际测控站的测控范围，由于各测控站的位置都不是很均匀，因而难以直接计算出来，于是我们把飞船的球带轨道近似成一个矩形，用经度和纬度建立坐标。把经度与纬度的乘积看做面积。那么在其上的测控站的测控区域为。再根据经纬度将各个站添加上去，求出每个站与其他站的重合测控区域。用总数乘以再减去重合区域即等到有效区域，再除以总面积可得测控率。

关键词： 测控站 跟踪测控 测控率
一、问题的提出
1.1背景
随着科学技术的提高，卫星和飞船的应用越来越广泛，同时卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用。对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控，然而在现实生活中，我们以现在的技术还不能达到，所以在卫星或飞船的发射与运行过程中，往往采取以多个测控站联合来完成测控任务，因此，测控站的选取也决定了能否对卫星和飞船进行全程跟踪测控。
1.2问题重述
卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。
测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务，如神州七号飞船发射和运行过程中测控站的分布如下图所示：

因此我们需要建立模型去分析卫星或飞船的测控情况，需要解决的问题是：
问题一：在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？
问题二：如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？
问题三：收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。
1.3问题分析
对于问题一：我们根据已知条件的假设，和测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域的条件，可以画出卫星的轨道图以及测控站的测控范围，同时测控站的测控范围可由其圆心角来表示，则测控站的数量可由与其圆心角的商得到。根据正弦定理，可得到轨道半径与测控范围的关系，继而得到测控站的数量个数。
对于问题二：由问题二的假设，而且假设每个测控站的测控范围都相同的条件下，我们想到把对卫星或飞船进行测控的测控站的个数问题看成在一个大的球壳（或部分球壳）上割去等大小的球盖问题，求的是割的最少次数。我们把球壳沿着一个平面方形切割成无数的圆环，再将圆环剪断成带状，按原来的顺序铺在一个平面上，中点在Y轴上，即成一个椭圆形。再用问题一得出的弧长为半径的圆去覆盖。又因为在周长相同的几何图形中，圆的面积最大。然而如果我们用不相重叠的圆形来覆盖整个平面时，将会存在一些缝隙没被盖住。另一方面，在一个固定的圆面积中，使用规则六边形可以覆盖尽可能大的面积而不留缝隙。所以我们用等边六边形的网去覆盖椭圆即可得出所需的测控站最少个数。
对于问题三：由于问题三是求实际测控站的测控范围，由于各测控站的位置都不是很均匀，因而难以直接计算出来，于是我们把飞船的球带轨道近似成一个矩形，用经度和纬度建立坐标。把经度与纬度的乘积看做面积。那么在其上的测控站的测控区域为。再根据经纬度将各个站添加上去，求出每个站与其他站的重合测控区域。用总数乘以再减去重合区域即等到有效区域，再除以总面积可得测控率。

二、模型假设
1）假设地球是一个理想的球形，不考虑其他影响建站的因素。
（2）假设每个测控站的测控范围都相同。

三、符号说明

符号说明：
H……………………………………为卫星到地球的表面高度。
……………………………………为测控站到地点的圆心角的一半。
……………………………………为测量圆心角。
N………………………………………为测控站的数量。
R………………………………………为地球的半径（且取平均半径6371km）。
h………………………………………为卫星的轨道半径。
………………………………………为正六边形的边长
………………………………为测控站能测到s球面的圆弦长
………………………………为第个纬度所在平面分s球面所截平面的圆周长
……………………………为第个纬度上的测控站的站点数
T………………………………为测控站的总数
………………………………为卫星或飞船与赤道平面的夹角
n…………………………………相差多少个纬度
四、问题分析

五、模型的建立
模型一：根据题意可知，卫星的轨道如图所示：

所以我们根据正弦定理可得：

模型二：此问题就相当于，在一个大的球壳（或球带）上割去等大小的球盖问题，求的是割的最少次数。于是我们把球壳沿着一个平面方形切割成无数的圆环，再将圆环剪断成带状，按原来的顺序铺在一个平面上，中点在Y轴上，即成一个椭圆形。再用问题一得出的弧长为半径的圆去覆盖又因为在周长相同的几何图形中，圆的面积最大。然而如果我们用不相重叠的圆形来覆盖整个平面时，将会存在一些缝隙没被盖住。另一方面，在一个固定的圆面积中，使用规则六边形可以覆盖尽可能大的面积而不留缝隙。所以我们用等边六边形的网去覆盖椭圆，其图如下：

椭圆方程为

由问题一可知:
我们由此可得出，在赤道上的测控站的站点数：
于是，我们可得：相差角度即在纬度上时建立测控站
则

以此类推可得
所以即在纬度上建立测控站的站点数：

那么在纬度上建立的测控站的站数为：
离赤道最远的纬度应为卫星或飞船的轨道与赤道平面的夹角，于是可得 ：
即为分布测控站纬度的条数

则总的测控站最少个数为
模型三：

把飞船的球带轨道近似成一个矩形，用经度和纬度建立坐标。把经度与纬度的乘积看做面积。那么在其上的测控站的测控区域为。再根据经纬度将各个站添加上去，求出每个站与其他站的重合测控区域。用总数乘以再减去重合区域即等到有效区域，再除以总面积可得测控率。

五、求解模型
模型一：

即=……………………………①
且
…………………………………………………………②
且

我们就方程①进行讨论：
当时，则取最大值为，所以我们由公式②，可得
，又，所以可得测控站的数量至少为3个。而且当测控站的数量为3个时，则为，所以由方程①可得，h=2.2R , H=1.2R ，所以当时，则测控站的数量随H的增大，而增加 。
代入神七的数据，飞行高度为343km，可计算得
所以 即应该设立12个测控站。

模型二：根据上述模型，我们带入神七的参数可得。

模型三：
我们通过网上收集了有关“神舟七号”载人飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息如下：
“神舟七号”载人飞船的测控站，除了五艘远望号测量船外，在国内，还有主场站、喀什站、和田站、东风站、青岛站、渭南站、厦门站等7个地面测控站；在国外，也有卡拉奇站（巴基斯坦）、马林迪站、圣地亚哥站（智利）、纳米比亚站等4个地面测控站（其分布图如下），这16个测控站组成了一个监控天网，即刻掌握着神舟七号的相关信息，并给神舟七号发送指令，全程保护神舟七号的安全。

下表数据为神舟七号飞船10个观测站所在经纬度:
站名
纬度
经度
东风站
北纬39°41′
东经98°30′
喀什站
北纬39°24′
东经76°06′
和田站
北纬37°06′
东经79°55′
青岛站
北纬36°11′
东经120°18′
渭南站
北纬34°29′
东经109°30′
厦门站
北纬24°35′
东经117°58′
纳米比亚站
北纬22°40′
东经14°31′
卡拉奇站
北纬24°51′
东经67°00′
马林迪站
南纬3°13′
东经40°06′
圣地亚哥站
南纬33°26′
东经70°38′

该模型还未求解。
六、模型的评价及推广
模型二
还存在许多的缺陷，例如在我们将球面展开后进行覆盖，但是在复原成球形时，对接的两边已经被我们忽略掉了。还有是不是正六边形就能让测控站达到最少，正方形等我们未做考虑。
模型三
我们将球带看作矩形就存在误差，再以经纬度做为长度的单位，简化了计算的同时，也带来了较大的误差。

七、参考文献

八、附录

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