留数与三角变换求定积分的比较-学位论文.doc

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目 录
目录……………………………………………………… ………………………………Ⅰ
摘要…………………………………………………………… …………………………Ⅱ
关键词…… ………………………………………………………………………………Ⅱ
1 引言… …………………………………… ……………………… ……………………1
2 预备知识 …………………………………………………………… …………………1
2.1基本定义及定理 ……………………… ……………………… …………………1
2.2三角变换公式 …………… ………………………………………………… ……1
3 留数理论及三角变换在定积分中的应用 ………………………… …………………2
3.1 三角函数定积分的复数等价形式……………………………… …………………2
3.2 求三角函数定积分的比较探讨 ……… …………………… …… ………………2
3.3 形如和定积分的复数等价形式…… ……6
3.4形如和定积分的比较探讨 ………… ……7
4 留数理论与三角变换在定积分中的应用比较小结 …………………… ……………8
5 结束语……………………………………………………………………………………8
参考文献……………………………………………………………………………………9

留数与三角变换求定积分的比较
摘 要:在计算某些三角有理函数的定积分时，用三角变换公式等方法计算往往是十分麻烦的。或者不易求出这些三角函数的积分值，甚至有的定积分存在但求不出来。如果应用留数理论计算这些三角函数的积分就显得比较简洁，而且有助于定积分计算思路的扩展，促进数学计算方法之间的联系。
关键词:定积分;留数;三角变换

Comparison of residue triangle transform to find definite integrals
Gao Minggui
(grade 2009 class(1),Mathematics and applied mathematics,School of Mathematical Science )
Abstract: In calculation the definite integral of a rational function of some triangle, triangle transformation formula is often very troublesome. or difficult to find the integral value of these trigonometric functions ,and even some fixed integral exists but demand does not come out. if the application to calculate these trigonometric integral residue theory is relatively simple, but also helps a the calculated integral extension of the idea to promote the connection between the mathematical calculation method.
Key words: definite integral; residue ; trigonometrical transform

1 引言
近年来为适应教育改革而提倡的研究性学习，可培养新时代学生的创新能力产生新的学习方式[1]。也就是说对一些重点、热点问题进行专题研究，对思维能力的培养、数学素养和综合应用知识的能力的提高显得尤为重要。
在求三角有理函数的定积分问题上，很多资料都是先用三角变换公式化为一般函数的定积分；然后再利用换元法、公式法、分部积分法等方法来计算。这些方法虽然都能达到计算目的也各有千秋，但是存在一个最大的缺点：计算量大且计算繁琐，给学习带来了不便，甚至有的定积分存在但求不出来[1]。针对应用三角变换公式存在的缺点，通过对应用留数理论与三角变换求三角有理函数定积分的比较，发现解决三角函数定积分更为简便的方法。从而对用一般方法很难求得的三角有理函数定积分应用留数理论进行求解。其要点是将定积分化归为复变函数的围线积分，然后利用留数理论进行求解。
2 预备知识
2.1基本定义及定理
定义2.1设是的孤立奇点,在的洛朗展式为，称这个展式的负一次的系数为在点的留数（residue），记为或[2]。
定理2.1设函数在区域内除有限孤立奇点…外处处解析,是内包含诸奇点的一条正向简单闭曲线,则:[2]。 2.2三角变换公式
令，则有

所以有
[3]；其中是一条简单的封闭曲线。
3 留数理论与三角变换在定积分中的应用
3.1三角函数定积分的复数等价形式
这里是分母恒不为零的三角有理函数，并且在上连续。在进行此类函数的定积分计算时要注意以下几点:第一是积分上下限之差为，这样当作定积分时从经历变到，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周；第二是被积函数是以正弦或余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后，可设，则

[4]
其中是一条简单的封闭曲线，这里的关键一步是引进了变数代换。至于被积函数上的连续性不必先检验只要看变换后的被积函数在上是否有奇点。
3.2求三角函数定积分的比较探讨
留数是与封闭曲线上的复积分相联系的。因此定积分要想利用留数来计算就面临两个问题：一是要将定积分的被积函数中的实函数变为复函数，而且是解析函数，这一点是容易做到的。因为实积分的被积函数是初等函数，不难推广到复数域内；二是要将定积分的积分区间转化为简单闭曲线上的围线积分，一般采用代换或者添加辅助曲线[5]，并且辅以极限概念来实现。对于个别在实轴上存在奇点的，还需要对分数路稍作变化调整。为了能够直观形象的说明问题，下面以具体实例的形式来体现它在实际生活中的运用。
例1 计算
解法一：留数定理
令，则

由于被积函数在内只有一个一阶极点，
从而
所以由留数定理得

解法二：三角变换法
则；所以

从上面两种求解方法对比可以看到，解法一应用了留数理论进行积分求解，计算量较小，思路清晰；解法二运用了三角变换公式将三角函数的定积分转化为求无穷积分的解，计算量较大,思维量大。通过两种解法的比较，显然解法二的计算量远远大于解法一；这说明应用留数理论与三角变换计算三角函数定积分的效果是截然不同的。
例2 计算积分[5]
解法一：留数定理
令时，
，
所以：
且在圆内被积函数只以zp为一阶极点，在上
无奇点。从而有
所以由留数定理得：
解法二：三角变换法
令；所以

由这个例子两种解法的比较可以看出, 留数理论大大简化了运算量。并且体现了思维的深刻性, 理论的缜密性，给人愉悦的感觉。这种方法和知识的渗透，往往会出现新的蹊径。由于留数是与封闭曲线上的复积分相联系的，因此有些定积分并不能直接应用留数理论应进行适当的转化；下面以实例的形式进一步比较说明应用留数理论解决三角函数定积分的优越性和在实际操作中的应用。
例3 计算积分
解法一：留数定理
令

被积函数在内有两个一级极点分别是，；则

故由留数定理得：
解法二：三角变换法
令

由于本例题的被积函数是关于的有理式的积分，在这里使用三角变换公式时做的代换是，比令稍微简单些。但是与留数理论比较还是略显复杂，这进一步说明留数理论是解决三角函数定积分比较好的方法。
例4 计算积分[7]
解：令；则，

其中为实系数二次方程；
的两个相异的实根由根与系数的关系，且显然，故必有。
于是被积函数在上无奇点，在单位圆内只有一个二阶极点z=0和一个一阶极点，从而有

从这个例子的求解观察可以发现，虽然运用三角变换公式代换进行求解也能够求解出来。与前面三个例子对比，如果应用三角变换求解就显得更为复杂。而运用留数理论则大大简化了计算量，回避了计算量大的缺点；并且体现了思维的简洁和思路的清晰性，给人一目了然的感觉，这进一步说明留数理论在解决三角函数定积分问题有其独特的地方。
3.3 形如和定积分的复数等价形式
这里是分母恒不为零的三角有理函数，并且是一条连续的简单的封闭曲线;则

证明：令
再令

设…为内处处解析的有限孤立奇点，由留数定理得：

将上式的实部和虚部分开得：

[7]
设其中和为互质的多项式，且满足条件：(1)的次数较的次数高，即；(2)在实轴上有，那么
[8] 特别地，将上式实部和虚部分开可以得到形如 和。
3.4形如和定积分的比较探讨
对于三角函数的定积分都可以用“三角变换”化为有理函数进行积分。但是对于形如和定积分，在求这类含三角函数定积分时，采用三角变换不再可行。对于这类问题的计算，留数理论却为解决这类问题而提供了很好的工具。下面通过实例的形式来进行探讨说明应用留数理论解决这类问题的可行性和简洁性。
例5计算积分
，
，，

由于只有一个一阶极点，所以
，由留数定理得：
比较上式两边实部和虚部得：
由于上面的例子被积函数是含的三角函数有理式定积分，如果运用三角变换公式进行代换求解，是无法进行计算的。这里运用留数理论大大减小了运算量，而且提升了计算积分的可行性。这就更充分说明了留数理论的独到性，下面再以实例的形式说明其方法在求无穷积分中的重要应用。
例6计算积分[6]
解:被积分函数为偶函数，所以
显然函数在平面上只有两个一阶极点且满足3.3的条件（1）、（2）。
只有在上半平面内，由留数定理有
从而

由上面的实例可以看出，虽然被积函数含有三角函数。如果应用数学分析中的一般方法或是三角变换对其积分值进行计算的话，就没有一个统一、简洁的公式。就算可以计算其计算也是比较繁琐的，如果利用留数理论就可以建立一个统一简便的计算公式。问题就可以轻而易举的得到解决，达到事半功倍的效果。
4 留数理论与三角变换在定积分中的应用比较小结
综上所述，通过对以上六个例子的探讨可以看出。应用三角变换法求三角函数定积分的显著特点是都要经历转化为求无穷积分的解的过程，而计算无穷积分是一个很繁琐的过程。通过两种方法的比较探讨可以发现应用留数理论与三角变换法求含三角函数的定积分，其演算过程的繁杂程度是不尽相同的；而且对于含或的三角有理函数的定积分利用留数理论和三角变换法对其进行求解所收到的效果更是截然不同，有时甚至用三角变换法是根本行不通的。但是在计算有关三角函数的定积分的时候可以避免用三角变换法进行求解，而是根据具体情况选用更为简便、可行的解法进行求解。从而简化计算量，提升计算的可行性；让人思路清晰，一目了然。而留数理论正是为解决这样的问题而提供的一种重要的工具，这也体现数学理论与方法的相互渗透和利用留数理论求解某些三角函数定积分的优越性。
5 结束语
分析学中应用三角变换法与用复变函数的有关知识计算三角函数定积分是两种不同的方法。通过上面几个例子的探讨可以看出他们之间既有区别又有联系， 操作起来有繁有简。但让人感到兴奋的是，数学理论与方法的相互渗透可产生若干个令人拍案叫绝的结果，这也给数学的学习指出了一个可以参考的蹊径。
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