本科毕业论文---克莱姆法则及其应用(论文)设计.doc

北方民族大学
学士学位论文

论文题目： 克莱姆法则及其应用

院（部）名称： 数学与信息科学学院
学 生 姓 名： 黄春浩
专 业：信息与计算科学 学号：20110437
指导老师姓名： 黄永东
论文提交时间： 2015-05-08
论文答辩时间： 2015-05-24
学位授予时间：

北方民族大学教务处制

克莱姆法则及其应用
摘 要

代数学中的主要内容之一便是线性代数, 它运用的范围遍及近现代科学里的很多分支。线性代数领域的主要问题其一便是求线性方程组的解。在这方面一般会通过两种方法来处理，那就是克莱姆法则和消元法。其中消元法在我国古代数学专著《九章算术》中便有记录，和它记载相近是我们现在学习的矩阵初等变换。相同的方法在西方，到了1826年才被高斯所创建，因此，该方法被命名为高斯消元法。而克莱姆法则，是指利用行列式来求解线性方程组问题，由瑞士数学家克莱姆，经证明而得出的。它不但给出了行列式不等于零的n元线性方程组存在唯一解的条件，并且还将线性方程组的解与系数和常数项组成的行列式间的关系简单明了的表示出来。

关键词：克莱姆法则，线性方程组，行列式，广义克莱姆法则

II

Abstract
Algebra is one of the main content of linear algebra, it uses range throughout many branch of modern science.The main problem in the field of linear algebra is that the solution of the linear system of equations. In this respect will generally two kinds of methods to deal with the solution, that is cramer's rule and the elimination method. Including elimination method in Chinese ancient math book "nine chapter arithmetic" was recorded, and it is similar records we now learn elementary transformation of matrix. The same method in the west, by the year 1826 was Gaussian created, therefore, the method was named Gauss elimination method. Cramer's rule, refers to the use of determinant to solve the problem of linear equations, by Swiss mathematician cramer, proved. It not only gives the determinant .

Key words: Generalized Cramer's rule, Linear equations, Determinant
目 录

前 言 1
第1章 行列式定义 2
第2章：克莱姆法则的证明 3
2.1克莱姆法则的一般证明方法 3
2.1.1一般的线性方程组 3
2.1.2 齐次线性方程组 5
2.2 克莱姆法则的一个简易证明 6
2.3 克莱姆法则的一个新证明 8
第3章 克莱姆法则的推广 11
第4章 克莱姆法则的应用 13
4.1 克莱姆法则在解线性方程组中的应用 13
4.2 克莱姆法则的实际应用 16
结束语 21
参考文献 22

前 言
　　瑞士数学家克莱姆(G.Gramer,1704-1752)在他去世前一年的著作中，首次给出了行列式的定义，并且提出了我们现在所熟知的克莱姆法则。克莱姆法则它出色的地方在于通过系数和常数项组成的行列式，精练的表达出方程组的解。并且当系数行列式不为零时，确定了有唯一解。
本文由先给出行列式的概念并引入克莱姆法则，对其进行证明，进而通过总结克莱姆法则的局限性进行推广而得到广义克莱姆法则，又列举出了克莱姆法则在解线性方程组和实际生活中的应用。

21

第1章 行列式定义
首先，作为克莱姆法则的学习基础，我们来介绍一下有关系数行列式的概念。
公式1.1为一个线性方程组，方程组中的未知量个数为。
（1-1）
被称之为元线性方程组。若方程组中所有的常数项中存在不全为0的项，这时我们称该方程组为一个非齐次线性方程组；如果这个常数项的值全部为0，则该方程组是一个齐次线性方程组。方程组的所有系数单独拿出来，组成一个新的行列式（1-2），用来表示，则被称作是线性方程组（1-1）的一个系数行列式。
（1-2）
克莱姆法则（Cramer Rule）：如果（1-1）的系数行列式，那么该线性方程组存在解，这个解是唯一的：
（1-3）
公式（1-3）中，表示的是一个行列式，将行列式中的第列元素用常数项来代替，其余各列的值保持不变，得到新的行列式。
（1-4）

第2章 ：克莱姆法则的证明

有关克莱姆法则的证明方法较多，本文中只选择其中较为典型的三种加以详细介绍。
2.1克莱姆法则的一般证明方法
2.1.1一般的线性方程组
通过克莱姆法能够得到三个具体的结论：1.方程组（1-1）有解；2.解是唯一的；3.解由公式（1-3）给出。因此我们的证明步骤是：
首先，将作为方程的解代入到方程组中，证明（1-3）是线性方程组的一个解，由此来证明结论1和3。
我们在上一步中已经证明了（1-3）为线性方程组的解，此时，假设方程组有一个解为，只要能够证明。则可以证明方程组的解是唯一确定的，结论2也就可以获得证明。
具体证明步骤如下：将作为方程的解代入，得

这一结论表明，行列式（1-3）可以使（1-1）中第一方程的等号成立，同理，行列式（1-2）可以使得（1-1）中剩余方程的等号成立，所以，行列式（1-3）是线性方程组（1-1）的解这一结论成立。
我们假设线程方程组的一个解为，把这一解代入到方程组中，可以获得个恒等式，我们用行列式的第列元素的代数余子式与这个恒等式两端分别相乘，将得到的结果求和，可得

即
由,可知
这就是说，如果是方程组（1-1）的一个解，则

则线性方程组（1-1）只有一个解。
例 解线性方程组

解：方程组的系数行列式：

通过该法则可知，该方程有唯一解。又因

=13
所以这个线性方程组的唯一解为：

2.1.2 齐次线性方程组
常数项都为0的线性方程组被称作是齐次线性方程组。

这种方程组显然有解：称做零解。如果该方程组的解中，不全为0，则说明该线性方程组具有非0解。
定理，如果一个齐次线性方程组
（2-1-1）
的系数行列式,那么该方程组有零解，且该零解是唯一的。
证明:应用克莱姆法则,因为行列式中有一列为零,所以=0,这就是说,它的唯一解是
如果方程组阶系数行列式，且中元素的对应的代数余子式，则此线性方程组存在非零解。
证明：由已知得,所以行列式中每一行元素的代数余子式都满足方程组，所以当时，方程组存在非零解。
2.2 克莱姆法则的一个简易证明
我们在线性代数中，通常会利用二元或三元线性方程组的求解过程来引出克莱姆法则的概念。当两个齐次线性方程组的方程个数一致，未知量个数也一致时，只要系数行列式，就可以推导出方程存在解。是方程有解的充分必要条件。必要条件的证明比较简单，对于充分条件的证明，我们可以先对方程组进行消元变换，引出一条线性方程的基本引理，利用这一条引理来证明这一条件的中分离。同时，利用这一基本引理也可以完成该法则的证明。
引理：把线性方程组
(2-2-1)
对方程组采取消元变换，使其成为同解方程组。
(2-2-2)
经过多次消元变换后，得（2-2-3）
(2-2-3)
(1) 若,在第一个方程的左右两边同时乘以，把获得的新方程与第方程相加,可以通过方程组(2-2-1)得方程组(2-2-2);
(2) 若, 在第一个方程中存在系数,在进行（1）中的计算前，先将第个方程与第一个方程相加；
(3) 如果,结论同样成立。
用同样方法对 (2-2-1)中剩余的个方程进行同样变换，可以证明该引理成立。
克莱姆法则：若线性方程组(2-2-1)系数行列式,则该方程的解存在，且唯一。
,
其中将行列式中的第列元素用常数项来代替，所获得的行列式为。
证明：由引理可知，方程组 (2-2-1)与(2-2-3)的系数行列式相等，且方程具有相同的解，。 对方程由下而上进行消元变换，可获得与方程组 (2-2-1)通解的新方程组，
(2-2-3)
且 再根据行列式的性质, 可得
, ,
......,
.
于是
.
定理 系数行列式为齐次线性方程组
(2-2-4)
存在非零解的充要条件。
首先来证明必要性:利用反证法来对其必要性进行证明。假设。根据克莱姆法则，方程组(2-2-4)有解且解唯一确定，而由已知得齐次方程组(2-2-4)有零解,所以，方程组不存在非零解，这与开始的假设相矛盾。
接下来证明充分性: 已知，根据引理可得，方程组(2-2-4)与方程组
（2-2-5）
是有同解的, 并且。此时, 最少有一个。我们假设在常数项存在零，且第一个零为，将代入（2-2-5）可得
（2-2-6）
新方程组的系数行列式。由克莱姆法则可得，方程组（2-2-6）的解存在且唯一。方程组（2-2-4）的一组非零解为方程组（2-2-6）的解与的组合。
2.3 克莱姆法则的一个新证明
我们已经在论文的第一章中对克莱姆法则做了详细的介绍。下面介绍一个新的克莱姆法则证明方法。
假设一个方程组中方程个数为与未知量个数都为。

其中是系数，是常数项，是未知量。方程组的系数矩阵用表示，系数矩阵行列式的值用表示。用常数项列向量来替换系数矩阵的的第列，变换后的新方阵用表示。若，则线性方程组存在解向量，解向量的值唯一确定。

证明：已知，因此是可逆的，将进行初等变换，转换为单位矩阵，用表示
将线性方程组进行初等变换，把其对应的矩阵变为单位矩阵。由于，可知具有以下形式：

经过初等变换所得到的线性方程组的解相同，单位矩阵具有唯一解向量存。对于任意正整数，

成立，所以任意正整数，始终满足下列等式：
注意到

所以对于任意，满足，且为单位矩阵，所以由此得线性方程有唯一的解向量

第三章 克莱姆法则的推广
通过前两章介绍可以看出，克莱姆法则适用范围较窄，所求方程个数必须与未知数一致。当方程系数行列式为非0时，利用克莱姆法则能够获得该线性方程组的解。当方程个数与未知数个数不等、或行列式为0时，该法则便不再适用。除此之外，利用该法则求解方程的计算量也比较大。
针对其局限性，我们现在将克莱姆法则进行改进，推广到对于广义行列式也同样成立。
如果 ，则非齐次线性方程组：

有唯一解。
在上文中已经有详细的介绍，利用克莱姆法则便能求解，但如果现给定一个长方形线性方程组，则需要将克莱姆法则推广为广义克拉默法则。

首先将它写成矩阵的形式：
这里

公式中为一个的实矩阵，为一个的实矩阵。且
系数行列式
如果方程组的系数行列式，则该方程的解存在且唯一确定：

其中是用方程组的常数列来代替的第列元素，其余行列式不变，从而得到的阶行列式。

第四章 克莱姆法则的应用
4.1 克莱姆法则在解线性方程组中的应用
首先通过两个具体例子来介绍克莱姆法则在低阶线性方程组中的应用。
情形1：方程个数与未知量个数相同，即。
情形1.1：系数行列式不为零（)
例1 求解下列方程组：

解 ,方程组的解存在，利用克莱姆法则得
所以原方程组的解为
推论：

例2 求解下列方程组：

解 ,利用克拉默法则
,
所以原方程组的解为.
情形1.2 系数列式等于零（)
例3 求解下列方程组：

解 ，不能直接利用克莱姆法则，方程组解的个数利用增广矩阵的秩来判断，首先对方程组的增广矩阵进行初等行变换：

由于，故原方程组无解。
例4 求解下列方程组：

解
经初等行变换化为：
由于，故原方程有无穷多解。
情形2 方程个数与未知量个数不一致
这一类问题的求解需要利用克莱姆法则的推广，也可以直接使用方程组的增广矩阵来求解。
例5 求解下列方程组：

解：线性方程组中，系数矩阵为一个型矩阵，，因此该方程组的解存在，且唯一。对方程组做矩阵变换

整理得
解得：
如果方程组的解有无穷多组，克莱姆法则失效，在解题过程中改用增广矩阵的秩来判断方程组解的个数。
例6 求解下列方程组：

解
经初等行变换化为

由于,所以原方程组有无穷多解。
应用:利用解的个数来对方程组中的未知系数进行求解。
推论：

例7：

解

4.2 克莱姆法则的实际应用
克莱姆法则的使用需要被求解的方程组满足两个条件：方程组个数与未知量个数相同，方程组的系数行列式不为零。
矿料级配完全符合克莱姆法则的求解条件。所以我们可以在这一实际问题中应用克莱姆法则来进行矿料级配的设计。假设在实际应用中，需要四种矿料来进行掺配，则着四种矿料在掺配总量中所占的比例为方程组的四个未知数，选择四个决定性的筛孔，利用筛孔的参数得到四个方程，从而得到一个方程个数与未知量个数都为4的方程组。
在计算机中添加设定程序对方程组进行求解，可以极大的简化原料的试配过程。
本文以SMA-13 沥青举例，介绍利用克莱姆法则来实现这一混合料配料设计的过程。
首先对混合料所需配料展开筛分，通过查表获得了SMA-13 混合料的级配规范要求和用料比例，我们选定了几个关键性的筛孔的合成通过率来建立方程组，并利用克莱姆法则对方程组进行求解，从而获得完成混合料所需要的每种配料和填料的比例。
SMA-13混合料目标配合比设计的规范要求如表1所示，列出配料级配上下限范围。我们在设计中一般采用范围要求的中值。首先对关键性筛孔的通过率进行选择，在规定范围的上、中、下方分别进行选取几组数据，然后进行一系列的比较) 。
选择4个关键筛孔，依次为公称最大粒径：13．2 mm，控制细集料：2．36 mm，控制粗集料：4．75 mm以及控制粉尘含量：0．075 mm。对应的通过率分别为百分之九十八，百分之二十一，百分之二十八，百分之十一( 规范要求级配范围百分之八至百分之十二) ，如表2所示。

表 1 混合料目标配合比设计的规范要求

筛孔尺寸mm
0～5
5～10
10～15
矿粉
合成级配通过率/%
设计中值
设计
上限
设计
下限
31.5
100.0
100.0
100.0
100.0

100.0
100.0
100.0
26.5
100.0
100.0
100.0
100.0

100.0
100.0
100.0
19
100.0
100.0
100.0
100.0

100.0
100.0
100.0
16
100.0
100.0
100.0
100.0

100.0
100.0
100.0
13.2
100.0

100.0
94.3
100.0
98.0
95
100
90
9.5
100.0
94.5
32.0
100.0

62.5
75
50
4.75
92.7
5.1
1.7
100.0
28.0
27
34
20
2.36
56.3
2.7
1.7
100.0
21.0
20.5
26
15
1.18
40.2
2.6
1.7
100.0

19
24
14
0.6
27.1
2.6
1.7
100.0

16
20
12
0.3
18.2
2.6
1.7
98.9

13

16
10
0.15
14.8
2.4
1.7
95.9

12
15
9
0.075
10.2
2.0
0.9
86.5
11.0
10
12
8
用量比例

—
—
—
—

表 2 关键性筛孔与定影通过率
筛孔尺寸/mm
假定的合成级配通过率/%
13.2
98
4.75
28
2.36
21
0.075
11

4个关键性筛孔可以获得4个方程，符合了克莱姆法则的求解要求。利用筛孔在合成级配和筛分通过率，能获得一个未知量个数和方程个数相同的线性方程组，可以解得 的值，从而得出四种档料的矿料在混合料中的掺配用量比例。解算过程如下:
1)关键性筛孔筛分通过率如表 3所示。
表 3关键性筛孔筛分通过率

筛孔尺寸/mm
0～5
5～10
10～15
矿粉
13.2
100.0
100.0
94.3
100.0
4.75
92.7
5.1
1.7
100.0
2.36
56.3
2.7
1.7
100.0
0.075
10.2
2.0
0.9
86.5

将数据放至Excel 表格，通过函数［MDETERM( ) ］计算行列式的值，结果用P表示。
2) 用表2中假定合成通过率一列的值分别替换表2中0～5、10～15对应的通过率的值。比如，表4即为置换0～5 对应通过率的列值后所获得的新数据组。

表4：表2中通过率替换表 3 中 0～5 对应通过率后获得的数据

筛孔尺寸/mm
0～5
5～10
10～15
矿粉
13.2
100.0
100.0
94.3
100.0
4.75
92.7
5.1
1.7
100.0
2.36
56.3
2.7
1.7
100.0
0.075
11
2.0
0.9
86.5

按照表4的方式一次替换其他三档料的对应值，获得三组新数据。
对三组新数据分别利用函数［MDETERM( ) ］完成行列式值的求解，结果用表示，可得：。
对线性方程组进行求解，解的未知数的值，并对获得的数值进行一定的修约，得到方程组的解分别为18%,24%,50%,10%。
经过这一步所获得的还不是挡料矿料组成的真正百分比，在此例的求解中，四个未知数的和为102%，在某些情况下还可能得到负数。所以要对最终获得的数据采取一定的调整。对于得到负数的解的情况，需要对假设的关键性筛孔的通过率进行重新设定；对于四个解相加之和不等于1的情况，既可以调整通过率，也可以直接的值进行调整，使最终获得的相加之和等于1。我们将经过调整后所得到的作为档料的矿料组成百分率，通过级配合成来获得完整的合成级配，将数据输入到程序中，观看形成的级配曲线并观察能够符合SMA13混合料的设计，对其进一步优化。对例中所求的0～5，5～10，10～15，矿粉的矿料比例进行调整后为 17% ，24% ，49% ，10% 。
合成级配与曲线如表 5 和图 1所示。

表 5 合成级配结果

筛孔尺寸mm
0～5
5～10
10～15
矿粉
合成级配通过率/%
设计中值
设计
上限
设计
下限
31.5
100.0
100.0
100.0
100.0

100.0
100.0
100.0
26.5
100.0
100.0
100.0
100.0

100.0
100.0
100.0
19
100.0
100.0
100.0
100.0

100.0
100.0
100.0
16
100.0
100.0
100.0
100.0

100.0
100.0
100.0
13.2
100.0
100.0
94.3
100.0
98.0
95
100
90
9.5
100.0
94.5
32.0
100.0

62.5
75
50
4.75
92.7
5.1
1.7
100.0
28.0
27
34
20
2.36
56.3
2.7
1.7
100.0
21.0
20.5
26
15
1.18
40.2
2.6
1.7
100.0

19
24
14
0.6
27.1
2.6
1.7
100.0

16
20
12
0.3
18.2
2.6
1.7
98.9

13
16
10
0.15
14.8
2.4
1.7
95.9

12
15
9
0.075
10.2
2.0
0.9
86.5
11.0
10
12
8
用量比例
0.17
0.24
0.49
0.10
—
—
—
—

图1 级配曲线
对于车流量较大、承重要求较高的高速公路、一级公路以及城市主要交通道路一般采用接近下限的数据；对于中小型道路以及人行道等道路建设一般采用接近上线的数据。
合成级配曲线应当连续，并呈现出一个S型。允许存在一定毛刺，但是不能多。如果调整数据后所得到数据仍有两个以上超过规定范围，则需要进行重新试验。
表 6 马歇尔试验验证结果

石油比/%
空隙率/%
/%
/%

6.4
3.4
17.3
81
38.3
0～5
17
75～85

按照计算所得的用料比例与沥青进行混合，得到成型试件，对获得的试件进行试验，结果如表6所示。
验证结果表明，试件的每项指标都符合要求。

结束语
在黄永东老师的带领和帮助下《克莱姆法则及应用》得以完成，毕业设计的过程，同样是我不断学习的一个过程。加深了我对行列式、线性方程组、克莱姆法则的理解和应用。不积跬步何以至千里，正是因为有了黄老师的细心指导，并经过无数次的修改，才让我顺利的完成了本次论文。在此向北方民族大学，数信学院的全体老师表示由衷的谢意，感谢他们四年来的辛勤栽培。

参考文献
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