考虑相关不确定性的环网静态...稳定极限二阶锥优化迭代算法_陈昌.pdf

第 47 卷 第 4 期 电 网 技 术 Vol.47 No.4 2023 年 4 月 Power System Technology Apr.2023 文章编号：1000-3673（2023）04-1682-10 中图分类号：TM 721 文献标志码：A 学科代码：47040 考虑相关不确定性的环网静态电压稳定极限二阶锥优化迭代算法陈昌1，姜彤1，万凯遥2（1新能源电力国家重点实验室(华北电力大学)，北京市 昌平区 102206；2中国电力科学研究院有限公司，北京市 海淀区 100192）Conic Optimization Iterative Algorithm for Static Voltage Stability Limit of Ring Network Under Related Uncertainties CHEN Chang1,JIANG Tong1,WAN Kaiyao2(1.State Key Laboratory of Alternative Electrical Power System With Renewable Energy Sources (North China Electric Power University),Changping District,Beijing 102206,China;2.China Electric Power Research Institute,Haidian District,Beijing 100192,China)ABSTRACT:Static Voltage Stability Limit(SVSL)is an important index in the voltage stability analysis.However,the uncertainty of the new energy output may cause the fluctuation of the SVSL.Based on the Second Order Cone Programming(SOCP),an iterative algorithm is proposed to track the fluctuation interval of the SVSL or the PV curve of the ring network.Firstly,an Extended Second-order Cone Optimal Power Flow(ESC-OPF)model is proposed,showing that the SVSL of the ring network can be calculated by a series of SOCPs.Then,based on the ESC-OPF model,a Parallelepiped Model(PM)is used to describe the relevant uncertainties,and two two-layer optimization models(max-min and min-min models)are established to calculate the upper and lower limits of the SVSL.Base on the second-order cone optimization and the linear optimization,the two two-layer models are solved by the alternating optimization of the primal variables and the dual variables.Finally,the proposed method is tested on several IEEE standard systems.The results show that the proposed method has better robustness and versatility while maintaining a high accuracy as compared with other interval methods.KEY WORDS:static voltage stability;conic optimization;convex relaxation;uncertainty;relevance 摘要：静态电压稳定极限(static voltage stability limit，SVSL)是电压稳定分析中的一个重要指标。然而，新能源出力的不确定性将导致 SVSL 的波动。基于二阶锥优化(second order cone programming，SOCP)，该文提出一种迭代算法，可用于跟踪环网 SVSL 或 PV 曲线的波动区间。首先提出扩展二阶锥最优潮流模型，表明能够通过一系列 SOCP 计算环网SVSL。然后，基于扩展二阶锥最优潮流模型，采用平行多面体非概率凸模型描述相关不确定性，建立 max-min 和min-min 两个双层优化模型计算 SVSL 波动区间上、下限。提出通过二阶锥优化、线性优化交替优化原变量和对偶变量的方法求解该模型。最后，在多个 IEEE 标准系统上对所提算法进行了测试。结果表明，与其他区间方法相比，所提算法在具备通用性的同时，也具备更好的鲁棒性和准确性。关键词：静态电压稳定；锥优化；凸松弛；不确定性；相关性 DOI：10.13335/j.1000-3673.pst.2022.1965 0 引言 长期电压稳定性可以通过静态电压稳定分析来评估。连续潮流(continuation power flow，CPF)1-2静态电压稳定分析最常用的工具之一。PV曲线是平衡流形在负荷参数与电压幅值的二维平面上的投影。根据 PV 曲线的临界点，可以确定静态电压稳定极限(static voltage stability limit，SVSL)，即平衡点消失的位置。SVSL 是电力系统可靠运行的重要信息，一旦负荷超过 SVSL，系统就会发生电压崩溃。也有研究提出了其他方法来计算 SVSL，如崩溃点法3-4和最优潮流法(optimal power flow，OPF)5-8。然而，这些方法适用于一组确定性的负荷和发电量，当系统中存在由间歇性发电源(如风能和太阳能)、测量误差、预测误差、舍入、截断误差等引起的不确定性时，无法准确估计 SVSL。由于这些不确定性，电力系统的稳定容量可能会发生很大变化，影响系统的安全性9。为了计算不确定性条件下的 SVSL，相关学者提出第 47 卷 第 4 期 电 网 技 术 1683 了几种相应的分析方法，可分为概率估计和区间估计两类。概率统计模型通常用于概率评估，包括蒙特卡洛(Monte Carlo，MC)模拟和相关改进方法10-13，如点估计方法14、半不变方法15、最大熵估计16和随机响应面方法17-18等。虽然概率评估方法能够获取准确的 SVSL 概率分布，但是在实际应用中仍存在着一些问题。首先，该方法往往需要假设不确定变量的概率分布函数。然而，不确定变量的实际概率分布与该概率分布函数可能有所区别。其次，概率模型的准确建立需要大量的样本数据。然而，实际应用中，输入样本数据往往不足。例如，准确确定一个地区的风速平均值，至少需要 5 年的风速量测数据19。因此相关学者针对不确定性问题提出了非概率凸模型20-23。这类凸模型假设不确定变量落在一个凸集里，因此不需要精确的概率分布，只需少量样本即可识别不确定参数的边界。区间估计方法就是在非概率凸模型的基础上建立的。相对于概率估计方法，区间估计方法只需输入不确定性的边界信息，所需统计信息较少，易于建模。目前，计算 SVSL 的主流区间方法主要为仿射算法(affine arithmetic，AA)9,24-30。文献27考虑了新能源发电机的间歇性和不确定性，提出将 CPF 与 AA 相结合来计算 PV 曲线波动区间，取得了不错的成果。然而，AA 存在产生额外噪声项的缺点，并忽略了噪声之间的二次关系，造成了区间估计的保守性。因此，文献9对 AA 进行了改进，以减少区间扩张效应30。除了区间扩张效应外，AA 还存在一些其他问题。首先，AA 基于传统的盒式非概率凸模型，忽略了不确定变量之间的相关性。其次，随着不确定变量数量、系统大小和不确定区间大小的增加，该方法的精度有所降低27。另外，CPF 步长的选择同样会影响 AA的精度。优化法作为另外一种计算 SVSL 的方法，同样被应用于计算 SVSL 区间31-32。文献31首先提出了一种基于区间优化理论的 SVSL 区间计算方法(interval optimization method，IOM)。在文献31中，提出了 2 个双层 OPF 模型来计算 SVSL 区间，包括max-min 和 min-min 模型。通过对偶理论，将max-min 模型转化为单层模型，并用非线性规划(non-linear programming，NP)求解。由于 IOM 将SVSL 的计算问题直接视为一个优化问题，因此它在理论上比 AA 具有更高的精度。此外，IOM 可以直接定位 SVSL，而无需像 AA 那样计算 PV 曲线上的其他点。然而，IOM 采用 NP 求解，可能会导致收敛至其他局部最优解，甚至不收敛的情况发 生。基 于 二 阶 锥 规 划(second order cone programming，SOCP)，文献32提出了一种考虑负荷不确定性的 SVSL 区间计算方法。该方法在具备较高的计算精度的同时也保证了较强的鲁棒性。但它只适用于辐射状配电网，并且同样忽略了不确定性之间的相关性。综上所述，现存区间估计方法难以同时满足准确性、鲁棒性和通用性的要求，且大多数研究仍采用早期的盒式非概率凸模型，忽略了变量之间的相关性。因此，本文提出了一种基于 SOCP迭代计算的静态电压稳定分析方法，旨在能够稳定地获得准确、符合实际的 SVSL 或 PV 曲线波动区间。1 计算 SVSL 的扩展二阶锥最优潮流模型 1.1 计算 SVSL 的 OPF 标准形式 考虑一个具有 n 个节点和 m 个支路的电力系统，支路模型如图 1 所示。()()i ki kU()()j kj kUjkkGBjffkkPQjkbjkbjttkkPQ 图 1 支路模型 Fig.1 Model of branch 图 1 中：(),()i kj k 分别表示支路 k 的首末端节点编号；ssU表示节点 s 的电压相量；kb表示线路 k 对地电纳；jkkGB表示支路 k 的导纳；ff,kkP Q表示支路 k 首端流出的有功、无功；tt,kkP Q表示支路 k 流向末端的有功、无功。对于第 k 条支路(k=1,m)，支路首端流向末端的潮流计算公式如(1)所示。f2()()()()()()()()()f2()()()()()()()()()t2()()()()()()()()()t2()cossincossincossinkki kki kj ki k j kki kj ki k j kkki kki kj ki k j kki kj ki k j kkkj kki kj ki k j kki kj ki k j kkkj kPG UG UUB UUQB UB UUG UUPG UG UUB UUQB U ()()()()()()()()cossinki kj ki k j kki kj ki k j kB UUG UU(1)1684 陈昌等：考虑相关不确定性的环网静态电压稳定极限二阶锥优化迭代算法 Vol.47 No.4 节点注入有功 Ps和无功功率 Qs与支路传输功率之间的关系如式(2)所示。ft()()ft2()(),1,.,skkksksskkssksksPPPsnQQQbU(2)式中sb为节点 s 对地电纳。通过引入负荷参数，节点注入功率与发电机功率和负荷有关，如式(3)所示。GLLGLL,1,.,ssssssssPPPPsnQQQQ (3)式中：GsP、GsQ分别为节点 s 的发电机有功、无功出力；LsP、LsQ分别为节点 s 的有功、无功负荷；LsP、LsQ分别为有功、无功负荷增长方向。此外，根据节点类型(即 PQ、PV 和平衡节点)，有功、无功满足约束(4)(6)。LL0LL0PQGG,0,0ssssssPPQQsSPQ (4)LL0LL0PVGG00,ssssssssPPQQsSPPVV (5)LL0LL0Slackbus00,ssssssssPPQQsSVV (6)SVSL 是上述扩展潮流方程中负荷系数的最大值33。因此，SVSL 的计算可以看作是一个非线性优化问题。基于 OPF 的 SVSL 计算模型由式(7)表示。G,GGminGGmaxPVGminGmaxPVmax(,)0s.t.,ssssssGQQQsSUUUsS U P Q Q U P Q Q(7)式中 G()表示潮流等式约束即式(1)(6)，不等式约束分别表示发电机功率和电压上下限约束。1.2 扩展二阶锥最优潮流模型及其求解方法 OPF 模型高度非凸，是 NP 难的。凸松弛技术33可以将式(7)松弛为凸规划，以获得目标函数值的上界。定义：()()()()()()()()2()()cossin,1,.,12ki kj ki k j kki kj ki k j ki ki kRUUIUUkmuU(8)可以将非线性等式约束(1)转换为线性等式约束(9)。f()f()t()t()221,.,22ki kkkkkkki kkkkkkkj kkkkkkkj kkkkkkG uG RB IPB uB RG IQkmG uG RB IPB uB RG IQ(9)非线性等式约束(2)可以转化为线性等式约束(10)。ft()()ft()()1,.,2skkksksskkssksksPPPsnQQQb u(10)式中()s、()s分别表示以节点 s 为首端、末端的支路集合。线性等式约束(6)可以转化为式(11)。LL0LL0002,ssssssssPPQQuV,SlackbussS (11)然而，只有添加 2 个约束(12)和(13)33-34，上述线性模型才等同于传统 OPF 模型。22()()21,.,kki kj kRIuukm，(12)1()()tan1,.,ki kj kkIkmR，(13)式(12)为因变量替换而添加的附加约束，式(13)为相角差约束。由于式(12)(13)都是非凸约束，因此需要对其进行凸松弛和线性化。对于由式(12)表示的二次等式约束，可以通过二阶锥松弛35获得二阶锥约束，如式(14)所示。()()()()|,|,1,.,kki kj ki kj kR I uuuukm(14)该松弛扩展了可行区域，松弛后的最优解可能不在可行区域内。通过在平衡点处对式(13)的右端项进行一阶泰勒展开，可以获得式(15)所示的线性化形式。()()(0)(0)(0)1(0)(0)2(0)2(0)2(0)2tan+i kj kkkkkkkkkkkIIRRIRRIRI(15)根据式(2)和式(8)，式(7)中的不等式约束可以分别转换为式(16)和式(17)。GminLLGmaxPV,sssssQQQQQsS (16)Gmin2Gmax2PV11,22sssVuVsS (17)此外，对于 R 有非负约束，如式(18)所示。01,.,kRkm，(18)根据上述等式约束(即式(3)(5)、(9)(12)、(15)和不等式约束(即式(14)和(16)(18)，用于SVSL 计算的扩展二阶锥最优潮流模型可简化为第 47 卷 第 4 期 电 网 技 术 1685 式(19)表示。max()()s.t.KxM x xB xAxC(19)式中：T(,)xR I u P Q为状态变量；K 是 x的可行域，为可计算锥36，如下所示。0122()().0,02,1,.,mkkki kj kKKKKkKRIuukm(20)矩阵 A、B、C 和 M 的计算表达式如附录 A 所示，其中 A 和 C 是常数矩阵。由于式(15)的系数由(0)kI和(0)kR确定，矩阵 M 和 B 的值与 x 有关。然而，当 M 和 B 是定矩阵时，式(19)是一个 SOCP，可以在多项式时间内用原对偶内点法求解。因此，可以采用如下迭代方式计算 SVSL。程序 1：1）将迭代计数 q 设置为 0，对()()=1,=0qqRI进行初始化。2）将()(),qqRI代入式 A(13)A(15)，得到()(),qqMB。3）将()(),qqMB代入式(19)求解 SOCP，并用(+1)(+1),qqRI表示式(19)的解。4）若(+1)()|qqRR和(+1)()|qqII均小于106，则终止迭代并输出结果，否则将迭代计数器q+1 并转至步骤 2）。2 相关不确定性下 SVSL 计算的二阶锥优化迭代算法 2.1 非概率凸模型 PM 本节考虑了 2 种不确定性，包括负荷变化和负荷增长方向。假设负荷的变化和负荷增长方向的变化属于不确定性域，如式(21)所示。LLLL()yPQPQ (21)平行多面体模型 PM 主要用于涉及非概率凸模型的分析。相对来说，在考虑相关不确定性的同时，PM 更简洁和精确19，因此本文将 PM 用于描述不确定域。PM 通过建立平行多面体来包络变量空间的给定样本，并且一般认为体积最小的平行多面体是最佳的。平行多面体的形状、位置和大小反映了不确定变量之间的相关性和变化范围。图 2 展示了 PM在三维不确定空间中用一个平行六面体来包络样本点。采用 PM 描述负荷变化和负荷增长的不确定性的数学模型如式(22)所示。1X2X3X3lX2lX1lX1lXO132312样本点 图 2 三维平行多面体模型 Fig.2 Three-dimensional parallelepiped models LbbLLddLPNFQPNFQ(22)式中bN，bF，dN，dF为平行多面体参数，构造平行多面体的方法参考文献20。不等式分别表示负荷的不确定性和负荷增长的不确定性。2.2 min-min 和 max-min 模型 在不确定域下，负荷裕度是一个区间，可以通过以下两个基于扩展二阶锥最优潮流模型的双层优化模型求解。minmin(,)(,)s.t.KyxM x y xB x yAxC (23)maxmin(,)(,)s.t.KxyM x y xB x yAxC (24)根据附录 A 中的计算，矩阵 M 和 B 的值也与不确定变量 y 的值有关。2.2.1 min-min 模型及求解 由于式(23)由 2 个最小化组成，因此可以通过将双层规划直接转化为一个单层规划来求解。结合式(22)，可以将式(23)转换为式(25)。,bbddmin(,)(,)s.t.00KxyM x y xB x yAxCNFyNF (25)假设矩阵 M 和 B 是定矩阵，则式(25)是一个SOCP。因此，同样可以采用迭代的方式，通过一系列锥优化对式(25)进行求解。计算 SVSL 区间上界的迭代程序步骤如下所示。程序 2：1）将迭代计数 q 设置为 0，并对所有1686 陈昌等：考虑相关不确定性的环网静态电压稳定极限二阶锥优化迭代算法 Vol.47 No.4()()=1,=0qqRI进行初始化，将 y(q)设置为初始值。2）将 y(q)代入附录 A(7)、A(8)和 A(13)A(15)得到()(),qqMB。3）将()(),qqMB代入式(25)求解 SOCP，记式(25)的解为 y(q+1)。4）若(+1)()|qqRR和(+1)()|qqII均小于106且(+1)()|qq103，则终止迭代并输出结果，否则将迭代计数器 q+1 并转至步骤 2）。2.2.2 max-min 模型及求解 首先，将 M 中的 x 设置为固定值 x0，那么在max-min 模型的内层规划中，M 和 B 不会随 x 变化。记内层规划的对偶变量为 z1，z2，如下所示。T0012min(,)(,):s.t.:Kxb xM xy xB xyzAxCz(26)式中 b 为 2m+4n+1 维列向量，其中第一个元素为 1，其余元素为 0。由于 y 在内层规划中是不变的，因此式(26)是一个 SOCP。因此，当目标函数有界时，式(26)与其对偶规划之间的对偶间隙为零。式(26)的对偶规划如式(27)所示。*12TT012,TT0122max(,)(,)s.t.0Kz zSB xyzC zM xyzA zSbz (27)式中 K*表示 K 的对偶锥36。式(24)外层规划的目标是最大化，这与内层对偶规划(27)的目标一致。因此，双层规划可以简化为单层规划：*TT012TT0122bbddmax(,)(,)0s.t.00K12y,z,z,SB xyzC zM xyzA zSbzNFyNF(28)式(28)是一个高度非凸、非线性优化问题。然而，根据式(28)的特点，可以通过如下 SOCP 迭代方法求解式(28)。如果 y 是固定的，则式(28)退化为式(27)，即式(26)的对偶规划。使用原始对偶内点方法求解式(26)，可以获得全局最优解 x 和对偶变量 z1，z2。然而，由于最优解是在 y 固定时获得的，因此有必要找到 y 的最优值以进一步提高式(27)的最优值。根据附录中的矩阵计算，y 对子矩阵 M21和子向量 B2的值有影响。子矩阵 M21对式(27)的约束有影响。包含 M21的约束如下所示。TTTT11 1121 1231 1311 21TT21 2231 231+1 M zM zM zA zA zA zS (29)由于 S1是所属挂限锥的对偶锥，并与其他变量解耦，因此式(29)可等价转化为式(30)。TTTT11 1121 1231 1311 21TT21 2231 231 M zM zM zA zA zA z (30)根据附录中 M21的表达式，其表达式如下：PVPQPQT21 121212()1=iiii ni SSi ScM zPzQ z(31)式中1c为常数项。根据式(30)，最小化T21 12M z的值可以扩展式(27)的可行域，并提高目标函数的最优值。因此，提出了线性规划(32)来寻找最优解T(,)PQ。(32)子向量 B2仅对式(27)的目标有影响。式(27)目标函数包含 B2的部分如下所示：PVPQPQT2121212()2=iiii ni SSi ScB zPzQ z(33)式中2c为常数项，使用线性规划(34)来寻找最优值T(,)P Q，以最大化式(27)的目标函数。PVPQPQ1212(),bbmaxs.t.iiii ni SSi SP QPzQ zPNFQ(34)综上所述，考虑到 x 对 M 和 B 的影响，提出了一种计算 SVSL 区间下界的迭代方法，如下所示。程序 3：1）将迭代计数 q 设置为 0，并对()()=1,=0qqRI进行初始化，将 y(q)设置为初始值。2）将 y(q)代入 A(7)、A(8)和 A(13)A(15)计算得到()(),qqMB。3）将()(),qqMB代入式(26)求解 SOCP，并用(+1)(+1),qqRI，(1)q和(1)1qz，(1)2qz表示式(26)的解。4）若(+1)()|qqRR和(+1)()|qqII均小于106且(+1)()|qq103，则终止迭代并输出结果，否则将迭代计数器 q+1 并转至步骤 5）。5）将(1)1qz代入式(32)和式(34)求解两个线性规划，记式(32)和式(34)的解为(+1)qy，将迭代计数器q+1，然后转至步骤 2）。PVPQPQ1212(),ddmins.t.iiii ni SSi SPQPzQ zPNFQ第 47 卷 第 4 期 电 网 技 术 1687 2.3 PV 曲线波动区域 虽然min-min和max-min模型可以获得SVSL的上下界，但不能计算 PV 曲线的波动区域。这些 PV 曲线提供了有关电压分布的信息，对于电力系统安全运行具有重要意义。因此，基于这两个模型，本节提出了一种跟踪 PV 曲线波动区域的方法。假设需要绘制节点 r 的 PV 曲线。通过向式(7)添加约束(35)，节点 r 的电压被限制为固定值rV，如下所示。T2/2rrUe u (35)式中re是列向量，其中第 r 个元素为 1，其他元素为 0。通过求解具有上述约束的式(7)，可以获得当节点 r 的电压限制为固定值 Ur时的 SVSL。经过在2.2.1、2.2.2 节点类似变换后，可以获得当节点 r 的电压固定时 SVSL 波动区间的上下限。即当电压一定时，可以得到 PV 曲线的负荷参数的区间。给定不同的 Ur，可以得到一系列的波动区间。然后可以绘制 PV 曲线的波动区间。绘制 PV 曲线波动范围的步骤如下。程序 4：1）选择节点 r，设置最大电压maxrU和最小电压minrU以及电压步长；设maxrrUU，s=1。2）向式(7)添加约束(35)，建立 min-min 模型和max-min 模型。3）分别求解 min-min 模型(23)和 max-min 模型(24)。记负荷参数的上限、下限分别maxs和mins。4）令rrrUUU。若minrrUU，令 s=s+1并转至步骤 2），否则转至步骤 5）。5）根据minmax,1,2,.sss和rU绘制 PV 曲线的波动范围。2.4 不确定性下的电压稳定性分析过程 基于本文提出的程序 14，图 3 描述了静态电压稳定分析流程，在能够在考虑辐射网或环网相关不确定性的情况下，准确计算 SVSL 的波动区间或PV 曲线的波动区域。扩展二阶锥最优潮流模型中使用二阶锥松弛扩展了可行域。由于 min-min 和 max-min 模型均基于扩展二阶锥最优潮流模型，因此二阶锥松弛的精确性也会影响这 2 个模型的准确性。因此，需要在将所提算法应用于计算 SVSL 或 PV 曲线的波动区域之前，依据 CPF 的结果验证扩展二阶锥最优潮流模型的准确性。开始读入数据CPF程序 1精确松弛?结束绘制PV曲线不确定域输出SVSL区间输出PV曲线波动区域结束结束是否是程序4程序2程序3否 图 3 静态电压稳定分析流程 Fig.3 Static voltage stability analysis process 3 案例分析 所提方法在多个 IEEE 标准电力系统上进行了测试。所有程序均在 MATLAB 2016a 中编写，并在8 GB RAM 的 i5-11400、2.6GHz PC 上进行了测试。SOCP 和 NP 使用 Yalmip 编写，分别使用 MOSEK和 IPOPT 求解器进行求解。3.1 改进的 IEEE 30 节点系统 在本节中，考虑了新能源相关输出波动对SVSL 的影响。通过改进的 IEEE 30 节点系统验证了第 2 节中提出的二阶锥优化迭代算法的有效性。IEEE 30 节点系统是一个包含 6 台发电机和30 个节点的环形网络，其中节点 2、13、22 和 23是 PV 节点，节点 1 是平衡节点。设 2 个风电场(wind farm，WF)接入节点 22 和 23，如图 4 所示。12345672891182730292526242319151413121617182221G1G2G3G6WF1WF2 图 4 带有 2 个风电场的改进 IEEE 30 节点系统 Fig.4 Modified IEEE 30-bus system with two wind farms 1688 陈昌等：考虑相关不确定性的环网静态电压稳定极限二阶锥优化迭代算法 Vol.47 No.4 假设 WF1 和 WF2 在地理上很接近，2 个风电场的输出之间存在正相关。输出的概率分布服从二维正态分布10。WF1 和 WF2 的输出方差分别为 2和 1MW。改变 WF1 和 WF2 之间的相关性以模拟3 个不同的场景，如表 1 所示。每种情况采用 MC方法生成 8000 个样本点。采用 CPF 计算每个样本点对应的 SVSL，根据所有 SVSL 值得到 SVSL 区间。表 1 展示了所提算法和 MC 的结果。第 2、34 列分别展示了不同场景下的 MP 相关角度、风电场的出力波动范围。所提方法和 MC 获得的 SVSL 区间如第 5 列和第 6列所示。从表 1 可以看出，所提算法和 MC 的结果非常接近，这表明似所提算法可以在考虑 2 个WF 输出之间的相关性的情况下获得准确的 SVSL区间。表 1 相关不确定下所提方法和 MC 计算 SVSL 区间结果 Table 1 SVSL interval by proposed method and MC with correlated uncertainties 场景 相关角/()风电场出力波动/MW SVSL 区间 WF1 WF2 所提算法 MC 1 88.18 15.8,27.4 15.1,23.0 2.375,2.467 2.386,2.455 2 62.63 14.2,28.5 15.3,22.6 2.372,2.473 2.385,2.457 3 33.43 14.2,29.8 16.4,22.5 2.366,2.469 2.387,2.455 对于场景 2，通过蒙特卡洛方法获得的样本和所提方法构建的二维平行多面体如图 5 所示。从图 5 可知，所提算法通过二维平行多面体包络存在正相关的风电场出力样本点，通过二维平行多面体的形状、大小、位置来反映变量之间的相关不确定性。14161820222426281516171819202122235000次数5000次数风电场WF1有功出力/MW风电场WF2有功出力/MW样本点平行多面体 图 5 平行多面体和 MC 样本点 Fig.5 Parallelogram and MC samples 表 2 展示了所提算法在案例 2 中的迭代次数和运行时间，以及 MC 在案例 2 中的运行时间。与MC 相比，所提算法明显提高了计算效率。图 6 展示了在 max-min 模型和 min-min 模型在迭代过程中的 R、I 的误差变化图，用于评估所提算法的收敛特性。从图 6 可以看出，在 3 或4 次迭代后，2 次相邻迭代中所有变量的差值小于106。表 2 所提算法和 MC 计算时间比较 Table 2 Calculation time by proposed method and MC 场景 所提算法 MC max-min 模型 min-min 模型 时间/s 时间/s 迭代次数 时间/s 迭代次数 1 6.34 3 6.89 4 239.96 2 5.69 3 5.70 4 240.49 3 6.17 3 7.50 3 237.66 12341010108106104102100迭代次数误差/puR(min-min模型)I(min-min模型)负荷参数(min-min模型)负荷参数(max-min模型)R(max-min模型)I(max-min模型)图 6 场景 2 中 R、I、随迭代次数的误差变化 Fig.6 Errors of R,I and versus the number of iterations for the Case 2 为了进一步验证所提算法的有效性，图 7 绘制了由所提算法获得的节点 16 的 PV 曲线，并与 AA、MC 进行了比较。由于 AA9未考虑不确定变量的相关性，因此 WF1 和 WF2 的输出设置为独立均匀分布，波动范围分别设置为2 和1MW。如图 7 所示，所提算法获得的边界更接近 MC的结果，精确性高于 AA。此外，从图 7 中可以看出，在负荷增长过程中，发电机无功功率超出极限，导致出现极限诱导动态分叉(limit-induced dynamic bifurcations，LIDB)6。SVSL 最终在鞍节点分岔点(saddle-node bifurcations point，SNB)6处获得。负荷参数16节点电压/pu1.41.61.822.22.42.60.650.750.850.95LIDBSNB2.362.402.442.48仿射算法所提算法0.680.690.70 图 7 节点 16 的 PV 曲线波动区间 Fig.7 Fluctuation region of PV curve of bus 16 第 47 卷 第 4 期 电 网 技 术 1689 3.2 9 个标准 IEEE 系统 为进一步测试算法的性能，在 9 个 IEEE 标准系统上对所提算法进行了测试，并与 AA、MC、IOM和 SOCP 进行了比较。在所有情况下，PQ 节点有功负荷的波动范围设置为 20%。5 种方法的结果如表 3 所示。表 3 SVSL 区间结果比较 Table 3 Comparison of SVSL interval result 案例 SVSL(CPF)方法 SVSL 区间 时间/s 14 节点 2.129 所提算法 1.924,2.325 8.45 MC 1.948,2.271 139.02 AA 1.890,2.372 4.31 IOM 1.890,2.325 5.98 SOCP ,22 节点 10.420 所提算法 10.303,10.546 9.30 MC 10.350,10.500 164.72 AA 10.277,10.569 2.41 IOM ,10.546 12.73 SOCP 10.303,10.546 4.02 30 节点 2.421 所提算法 2.283,2.557 10.65 MC 2.347,2.497 251.98 AA 2.256,2.586 2.73 IOM 1.787,2.558 13.38 SOCP ,33 节点 3.621 所提算法 3.491,3.752 8.23 MC 3.558,3.687 179.70 AA 3.466,3.779 3.84 IOM 3.491,3.752 13.65 SOCP 3.491,3.752 4.86 39 节点 1.238 所提算法 1.020,1.447 10.82 MC 1.172,1.354 320.48 AA 0.986,1.492 2.59 IOM ,1.446 70.02 SOCP ,57 节点 1.735 所提算法 1.476,1.932 11.15 MC 1.606,1.837 438.83 AA 1.463,2.065 7.90 IOM ,1.931 48.09 SOCP ,85 节点 2.548 所提算法 2.436,2.659 8.85 MC 2.516,2.584 423.01 AA 2.414,2.682 10.74 IOM 2.436,2.659 24.93 SOCP ,94 节点 2.274 所提算法 2.132,2.416 13.26 MC 2.221,2.331 423.71 AA 2.104,2.447 13.54 IOM ,2.416 29.80 SOCP ,141 节点 4.212 所提算法 4.087,4.370 30.32 MC 4.167,4.274 661.44 AA 4.054,4.394 33.46 IOM ,4.371 47.36 SOCP ,在所有案例中，IEEE 22、33、94 和 141 节点系统是辐射状网络，其他都是环形网络。从表 3 可以看出，由于 MC 倾向于低估 SVSL10,32区间，因此所提算法得到的 SVSL 区间均大于 MC 得到的SVSL 区间。在所有案例中，所提算法得到的 SVSL区间都小于 AA 获得的 SVSL 区间，表明所提算法计算结果更加精确，这与图 7 的结论一致。特别的，在 IEEE 39 节点系统中，AA 得到的 SVSL 下限小于 1，这表明了 AA 的区间扩张效应，因为理论上SVSL 下限应大于 1。在表 3 中，“”表示求解器已达到最大迭代次数或算法不适用。从表 3