多维随机变量及其分布.ppt

多维随机变量及其分布,引例:1.炮弹落点的位置必须用两个坐标X和Y来描述；2.遗传学家在研究儿子的身高X与父亲身高Y、母亲身高Z之间的关系时，需要同时考虑三个随机变量X、Y和Z。特点:试验结果需要用两个或两个以上的随机变量才能描述。,定义设E：Ω={ω}，X1，X2，…，Xn是定义在Ω上的n个随机变量，称随机变量组（X1，X2，…，Xn）为定义在Ω上的n维随机变量或n维随机向量。,2.4.1二维随机变量（X，Y）的概率分布；2.4.2二维离散型随机变量（X，Y）及其分布；2.4.3二维连续型随机向量（X，Y）及其分布；2.4.1二维随机变量（X，Y）的概率分布,定义设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y,称二元函数F（x,y）=P{X≤x,Y≤y}为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或随机变量X和Y的联合分布函数。,3.1二维随机变量的联合分布,,1.几何意义F(x,y)表示随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点，且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。2.概率计算对于任意的x1＜x2，y1＜y2，有P{x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2}＝F（x2,y2）-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1),,3.二维分布函数F(x,y)的基本性质,0≤F（x,y）≤1；(2)F(x,y)关于变量x和y均单调非减，且右连续；(3)对于任意固定的y，F(-∞,y)=0;对于任意固定的x，F(x,-∞)=0;F(-∞,-∞)=0，F(+∞,+∞)=1对于任意的x1＜x2,y1＜y2恒有:P{x1＜X≤x2,y1＜Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0,2.4.2二维离散型随机变量(X,Y)及其分布,定义如果二维随机变量(X,Y)可能的取值为有限或可列个实数对，则称(X,Y)为二维离散型随机变量．,1.(X,Y)的概率分布列若二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取值为(xi,yj),i,j=1,2,…，则称概率函数pij=P{X=xi,Y=yj},(i,j=1,2,…)，为(X,Y)的概率分布或X与Y的联合概率分布，也称为(X,Y)的分布(列)或X与Y的联合分布(列)．,2.(X,Y)的概率分布律pij的性质：（1）pij≥0；i,j=1,2,…;（2）,3.(X,Y)的分布表或X与Y的联合分布表,4.(X,Y)的分布函数,其中和式是对一切满足xi≤x,yj≤y的i,j来求和的。,例1将两封信随意地投入3个空邮筒，设X、Y分别表示第1、第2个邮筒中信的数量，求X与Y的联合概率分布，并求出第3个邮筒里至少投入一封信的概率.,解X、Y各自可能的取值均为0、1、2，由题设知，取（1，2）、（2，1）、（2，2）均不可能.取其他值的概率可由古典概率计算.,(X,Y)的概率分布表为：,P{第三个邮筒里至少有一封信},=P{第一、第二个邮筒里最多只有一封信}=P{X+Y≤1},事件{X+Y≤1}包含三个基本事件事件,所以P{X+Y≤1}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}=5/9,即第三个邮筒里至少有一封信的概率为5/9,2.4.3二维连续型随机变量(X,Y)及其分布,定义设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，如果存在非负可积的二元函数f(x,y)，使得对于任意实数x,y有,则称（X,Y）为二维连续型随机变量，称函数f(x,y)为二维随机变量（X,Y）的概率密度函数或随机变量X和Y的联合密度函数。,1.概率密度函数f(x,y)的性质,（1）f（x,y）≥0,（4）点(X,Y)落在xoy的平面区域D内的概率为:,（3）若f(x,y)在（x,y）处连续则有f(x,y)=,例2设连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为,求(1)常数k;(2)(X,Y)的分布函数F(x,y);(3)P{X>1,Y<1},解(1)因为,所以,(2)F(x,y)=,（3）,例3设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为,D为xoy平面内由x轴,y轴和不等式x+y<1所确定的区域.,解如图所示,若二维随机向量（X，Y）的（联合）概率密度为,其中1,2,1,2,均为常数，且1＞0,2＞0,||＜1，则称(X,Y)服从参数为1,2,1,2,的二维正态分布.记为：,(X,Y)~N(1,12;2,22;),2.二维正态分布,例如(X,Y)~N(1,16;3,25;0)，其密度函数为,二维正态分布密度函数的图像为钟型曲面,