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现代控制论在动态经济学中的应用
王 翼

自动化学会前理事长宋健教授在《自动化》杂志的发刊词中写了这样一段话来描述控制理论应用的广泛性：

“凡是能用定量方法描述的自然现象和社会现象，只要可能由人进行控制的，都可以用控制论的方法进行研究，并能得到人们预想不到的结果”（见教材第2页，第17行）。

这一段话深刻地描绘了现代控制理论的广阔的应用前景，控制论诞生以来的事实证明了它有强大的生命力，它的发展不仅对自动化学科，对很多其他学科（包括经济和管理科学）的发展都作出了重要的贡献，甚至对促进人们的思维方式的变革也产生了重大的影响。反馈的思想、最优化的思想在很多领域被广泛地应用就是例证因此有人提出广大的自然科学和社会科学工作者，都必须具备一定的现代控制理论的基础，这对拓展思路、提高工作水平是大有裨益的。

经济学家认为经济变量是随时间变化的，经济系统是动态的，对经济系统的研究也应该是进行动态分析。对经济系统的动态分析包括稳定性分析、能控性、能观测性分析和动态最优化。

控制论诞生以后很快就有人研究控制论在经济系统中的应用，并在第一届IFAC大会上正式称这一领域为经济控制论。
对经济系统的动态分析的研究一直与控制论的发展紧密相连。事实上，在维纳（N.Wiener）的专著《控制论》问世之前，反馈、调节、稳定等概念已经在一些经济学的文献中出现，此后经典控制论中的PID调解器曾经于20世纪50年代中期被用于经济系统的镇定。说明经济学与控制论的发展紧密相连的另一个突出的例子是LQG问题中的分离定理（见教材第10章），它首先由经济学家提出，称为确定性等价原理，后来在控制论中得到证明。[经济学家H.A.Simon和H.Theil分别与1956、1957年独立提出，1960年由控制论专家证明] 。美国的经济学家和控制论专家在20世纪70年代通力合作研究控制论在经济系统中的应用对这个领域的发展做出了重大的贡献。
麦克康耐尔（McConnell）和布鲁伊（Brue）在《经济学》一书中定义：

经济学是为了在最大程度上满足人类的物质需要而有效地利用有限或稀缺资源的社会科学。并指出“经济学是建筑在每个人为了实现最大满足，或最大限度地实现其目标，而进行理性的决策。例如将自己有限的收入用于购买能使它们获得最大利益的物品或服务。”

对经济系统进行动态分析很自然地引出“动态最优化问题”，经济学家常称为“跨期最优化问题”，即最优控制问题。

经济学家samuelson曾说经济问题可以动态地处理已为人们熟知。他强调经济学的学生如果没有掌握一定的动态系统的理论，常常影响他对现代经济学的理解。

动态系统的理论应该包含微分方程和差分方程的求解，稳定性分析，能控性、能观测性分析和最优控制。 为了对经济学进行深入研究，掌握这些基本内容是非常重要的。

换一个角度来说，自动化专业的学生都有较好的动态系统的理论基础，因此我们有条件对这个领域感兴趣，有条件对这个领域的问题进行研究。这方面不乏成功的实力。

现仅就以下几方面向大家介绍现代控制论在动态经济学中的应用。

对宏观经济系统的动态分析可以追溯到萨缪尔森（Samuelson）1939年和希克斯（Hicks）1950年的著名的经济周期模型。随后就是20世纪50年代和60年代期间对经济增长问题的密集地研究。此后罗默(Romer)1986年关于经济增长的论文发表又发起对新的经济增长理论的研究高潮，至此长盛不衰。目前对经济系统的动态分析已经渗透到微观经济学和宏观经济学的很多领域,成为经济学研究的一类重要的方法。动态经济学也成为经济学的一个十分重要的领域。
近20年来，大批欧美的大学的经济类的研究生开设了动态经济学课，讲授对经济系统进行动态分析的理论和方法，与此相应的是出版了大量的动态经济学的教材。见参考文献[4]-[20]，仅参考文献中列出的2000年以后出版的教材就有13种。动态经济学的主要基础是微分方程、差分方程、线性代数、概率统计和现代控制理论。所涉及的这几个领域，自动化专业的学生都有较好的基础的，因此我们有条件对这个领域感兴趣，有条件对这个领域
的问题进行研究。现仅就以下几方面向大家介绍现代控制论在动态经济学中的应用。

1．稳定性、能控性与能观测性在动态经济学中的应用

能控性和能观测性与稳定性是控制系统的三个非常重要的性质，对于研究经济系统的分析与控制,这三个性质也是非常重要的。下面介绍经济系统的能控性和能观测性与稳定性。

（1） 经济系统的能控性

能控性是研究控制变量对系统的状态能否产生影响的问题。对经济系统来说，它的能控性是政策变量或决策变量对经济系统的内生状态能否产生影响的问题。

这里政策变量、决策变量就是经济系统的控制变量，例如政府支出，利率、货币发行量、消费策略都可以作为经济系统的控制变量。

1）典型经济系统的能控性分析

【例1】线性价格调整模型的能控性

考虑n种商品的价格调整模型

其中是商品的价格，和分别是商品的需求函数和供给函数，

是商品的过度需求，是描述反应速度的常数。

现假设需求函数和供给函数都是价格的线性函数。

其中和都是常数。引进向量、矩阵：
，，，，，
则n种商品的价格调整模型写成矩阵形式为

至此模型中还没有引进政策变量。

如果在需求函数中引入一个能影响需求量的策略变量u，即假设

比如目前的家电下乡的优惠政策就是一种能影响需求的策略变量。
记,则价格调整模型化为

或者

由参考文献[23]的推论5-1（教材《现代控制理论》61页第5题）只需讨论系统

的能控性。对应于该系统的能控性矩阵为

如果，则，因此的秩为n，这个系统完全能控。

【例2】寡头垄断模型的能控性

设有N个公司垄断某种产品的生产，设公司在周期内的产量为，初始产量已知，。公司以利润最大化的原则决定自己的产量，在解公司的利润最大化问题时，公司假设其他公司将保持前一周期的产量。这一假设称为Cournot预期。
公司的利润函数为

式中是商品的价格，是公司的成本函数。设

于是公司的利润最大化问题为：

这个利润最大化问题的一阶必要条件为

由上式可解出

它是利润最大化问题的解必须满足的差分方程组。
为分析政府对寡头垄断市场控制的可能性，设政府可以依靠一个决策变量影响市场,例如税收政策,出口补贴等，它可以使公司的单位产出的成本下降，这时公司的成本函数改为：

这时满足的差分方程组化为

记，则得到寡头垄断系统的状态方程组

其中

系统
的能控性矩阵为

于是

矩阵的秩为1，因此该系统不是完全能控的。
如果假设每个公司的成本可以引入一个策略变量，即对公司可以引进策略变量，使其成本函数为

则模型修改为：

其中,系统

的能控性矩阵为

U的秩为N，该系统完全能控。这表明如果能对每个公司引进一个策略变量影响它的成本函数，就可以对寡头垄断系统进行控制。

2）使系统能控的最小政策手段集合

设经济系统的数学模型为

并假设它是能控的，其中是政策手段向量，也就是说政策手段有个。如果政策手段减少到个，减少到个，甚至减少地1个，该经济系统还能控吗？因为在经济系统中使用政策手段是需要成本的，因此讨论这个问题是有现实意义的。
在以上系统中假设系统矩阵有个线性无关的特征向量，则

使得
于是微分方程组(3-2),经变换化为

即
记，于是上式可改写为

这个方程组中，每个方程只有一个状态变量，称为解耦形式。从这个解耦形式可以看出：该经济系统是能控的充分必要条件是矩阵没有一个行向量为0向量。由此出发，可以求使系统能控的最小政策手段集合。
首先考虑一个政策手段，为检验单用时经济系统是否能控，考虑

式中是矩阵B的第i列。这时方程化为

由以上分析可以得出结论：如果矩阵F的第i列没有0元素，那么该经济系统是可以由一个政策手段能控的。如果矩阵F的所有列都有0元素，那么该经济系统不能由一个政策手段能控。这时我们可以用类似的方法讨论能否用两个政策手段进行控制。

3）输出能控性和路径能控性

设经济系统的数学模型是

输出方程是

系统的输出可以理解为我们能够观测到的经济变量，方程方程是这些经济变量用状态变量表示的方程式。
定义设是初始输出向量，如果存在策略变量在有限时间将转移到任意事先给定的输出向量，则称是输出能控的。如果对任意都是输出能控的则称该经济系统是完全输出能控的。
关于输出能控性有如下定理：

定理 经济系统

输出能控的充分必要条件是矩阵

的秩为，是输出向量的维数。

例2的寡头垄断模型中，其实控制总产量就可以了。这相当于
，,
这时矩阵

的秩为1，等于输出向量的维数，因此经济系统是输出能控的。就是说，政府可以依靠一个决策变量,例如税收政策,出口补贴等，使公司的单位产出的成本下降，从而控制该产品的总产量。
与输出能控性相对应前面定义的能控性称为状态能控性。状态能控性和输出能控性都是将系统控制到一个点，称为点到点的能控性。从经济学的角度来看这是不够的。经济调控的目的不仅是把经济系统的状态控制到某一点，而且要求在一个时间区间内保持这一点，或者进一步使经济系统的状态按预定的路径运行，因为如果这不是均衡状态，将经济系统控制到这个状态后，经济系统还会离开这个状态。例如就业问题中，我们不仅要把就业水平控制到了一个理想的水平，而且要将它保持下去，这就提出了路径能控性的问题。路径能控性要求严格跟踪已给的轨线。
关于路径能控性有如下定理：

定理 经济系统

路径能控的充分必要条件是矩阵

的秩为，是输出向量的维数。

【例3】Phillips模型为

式中是产出对超额需求的调节速度，是政府支出对它的理想值的调节速度， 是边际消费倾向，。
引进新的变量，记，,化为等价的一阶微分方程组

式中

即
该经济系统的输出变量为，因此输出方程为

对于这个经济系统输出能控就是能否通过政府支出能不能控制产出的问题。
能控性矩阵

的秩为2（=n）,由定理，该经济系统是能控的。矩阵

秩为1(=)该经济系统是输出能控的。矩阵

秩为3,由定理，该经济系统是路径能控的。
结论：Phillips模型对任何非0的参数和任何都是状态能控，输出能控和路径能控的。即

通过对公共支出的操纵可以不仅可以达到要求的产出水平，而且可以在有限时间内保持这一要求的水平。而且因为该经济系统是路径能控的可以依靠对公共支出的操纵使产出沿任意要求的路径运动。

例如要求产出的路径为

正数是要求的增长率，求一个公共支出轨线，使得在它的作用下由Phillips模型决定的产出。这样我们的问题是求使得微分方程

的解为
显然具有

的形式，将和代入以上微分方程得到

取，则由上式解得

于是

4）有约束条件时经济系统的能控性

定义 设是经济系统初始状态，如果存在策略变量使得在有限时间将它转移，则称是在约束条件下能控的。

定理 如果经济系统

渐近稳定并且能控性矩阵

的秩为n，那么该经济系统是在约束条件下能控的。

Austria和Nigeria的小模型

这里分别是产出、利率和货币供给量。
Austria：
矩阵A的特征值为，
Nigeria：
矩阵A的特征值为，
结论：两个模型都是在约束条件下能控的。

（ 2）经济系统的能观测性

在实际经济系统中，状态向量不一定能测量，能直接测量的是经济系统的输出。
经济系统的能观测性是研究能否通过对经济系统的输出的观测确定经济系统的状态的问题，因此经济系统的能观测性将涉及经济系统的输出方程。下面给出经济系统的能观测性的定义：
【例4】相关市场的能观测性
已给出相关市场的模型为

设该市场的观测输出为平均价格

则能观测性矩阵为

V是一个n阶方阵，该系统完全能观测等价于方阵V非奇异。当为一个常数乘以时，V奇异，这时系统不完全能观测。
【例5】寡头垄断系统的能观测性
假设我们感兴趣的只是产品的总产出量，选取

这时能观测性矩阵为

V的秩为1，系统不完全能观测。即由总产量的测量不能确定每个公司的产量。
（3）经济系统的稳定性
经济学家希望所研究的经济系统是稳定的，因为对于这样的系统一旦偏离了它的均衡状态可以返回均衡状态。这相当于要求经济系统是渐近稳定的。有些经济系统是开环不稳定的，但是如果经济系统能控，可以通过反馈使闭环系统稳定，这是经济系统镇定的问题或称经济系统稳定化的问题。

在经济系统的最优控制问题中，很多均衡状态是鞍点。对于二维系统，设系统有两个实特征值，一正一负，正特征值对应的特征向量所在的过均衡点的直线称为不稳定臂，负特征值对应的特征向量所在的过均衡点的直线称为稳定臂。当初始状态选在稳定臂上时，系统将沿着稳定臂返回均衡状态。

1）二维线性动态经济系统的稳定性分析

很多动态经济系统是由两个常系数线性微分方程构成的方程组描述的，下面就二维的情况进一步讨论关于动态经济系统稳定性的某些问题。设二维经济系统的状态方程组为

其中

显然是它的均衡状态，如果矩阵A可逆则是该系统的唯一均衡状态。
设A有两个不同的特征值并假设是与它们对应的特征向量，则二维经济系统的状态方程组的通解为

下面仅对为实数的几种情况进行分析：
情况1为不同的负实数
当时，，。由解式知，当时，，即此时均衡状态是渐近稳定的。这时所有从初始状态出发的解都收敛到均衡状态，这个均衡状态称为稳定结点。结点的特征是所有的轨线都通过这一点。
情况2为不同的正实数
当时，，。由解式知当时，即此时均衡状态是不稳定的。这个均衡状态称为不稳定结点。
情况3为正实数，为负实数
前面关于稳定性的定义要求从均衡状态邻近的任意初始状态出发的的解都保持在均衡状态邻近。由于为正实数，此时均衡状态是不稳定的。

在二维经济系统的状态方程组中经常出现这种情况，这时经济学家并不简单地作出这个系统不稳定的结论，而是做进一步地分析。

下面就对这一情况做进一步的分析。
在通解

中，由初始条件

决定（两个方程，两个未知数的方程组）

当初始状态位于所在的直线上时，由于从所在的直线出发的解满足

而又位于所在的直线上，因此，即解式化为

这个解总保持在所在的直线上，又由于为正实数，所以当时，
因此称所在的直线为该动态经济系统的不稳定臂。

当初始状态位于所在的直线上时，由于从所在的直线出发的解满足

而又位于所在的直线上，因此，即解式化为

这个解总保持在所在的直线上并且由于为负实数，所以当时，因此称所在的直线为该动态经济系统的稳定臂。
对于从不在稳定臂和不稳定臂上的点(初始状态)出发的解由解式

给出，在这个解中正特征值占优。从上面出发的解的路径和从下面上面出发的解的路径将趋向于的方向，这时解将趋向于正无限大；从下面出发的解的路径和从上面下面出发的解的路径将趋向于相反的方向，这时解将趋向于负无限大。这种情况下经济系统的均衡点称为鞍点。图1给出了相图上各部位的点的走向，第一象限的粗箭头是，另一个粗箭头是。
按稳定性的定义，经济系统的均衡点为鞍点时，由于有一个正的特征值，因而这个均衡状态是不稳定的。但对这种只有初始状态在所在的直线上时，解才返回均衡状态的情况，常称这个均衡状态是条件稳定的。在研究这类经济系统时，如果两个变量中，一个变量的初始值已给，决策者能自由地选择另一个变量的初始值，就可以选择这个初始值，使得初始状态在稳定臂上，这时经济系统就可以回到均衡状态。

图1稳定臂不稳定臂和鞍点

经济学中确有一些常见的经济系统的均衡状态是鞍点。例如在最优经济增长模型和投资模型中常出现均衡状态是鞍点的情况。因此鞍点是动态经济系统的稳定性分析的一个重要概念。

以下通过实例做进一步说明。
【例6】已给动态经济系统的数学模型

是它的均衡状态。
下面分析该动态经济系统的稳定性。首先求该微分方程组的解。系统的特征方程为

特征值为，。
特征值相对应的特征向量是

的解

所在的直线为不稳定臂。
特征值相对应的特征向量是

的解

所在的直线为稳定臂。
该例的相平面分析见图3-3，解的路径由图中的箭头给出，图中第一象限的粗肩头代表向量，第四象限的粗肩头代表向量。
下面进一步分析二维线性动态经济系统渐近稳定的条件。设系统的状态方程为

它的特征方程为

特征值为

因此二维线性动态经济系统渐近稳定的充分必要条件为：

和
其中tr A表示矩阵A的迹，它的定义是矩阵A的对角线元素的和。于是得到二维线性动态经济系统的如下命题：

命题1二维定常线性动态经济系统（全局）渐近稳定的充分必要条件为：

由于上面的两个特征值又可以表示为

这表明当且仅当时，一个为正的实根，一个为负的实根，由此得到关于二维线性动态经济系统的均衡点是鞍点的如下结论：

命题2二维线性动态经济系统的均衡点是鞍点的充分必要条件是

注 多变量线性经济系统的鞍点 关于鞍点的分析可以推广到一般的维线性经济系统

如果系统矩阵有个具有负实部的特征值，有个具有正实部的特征值，则存在包含均衡状态的维稳定流形使得当初始状态位于该流形上时，系统的状态将收敛到均衡状态。当初始状态位于这个维稳定流形以外时系统发散。

2）二维系统的相平面分析及在经济系统的动态分析中的应用

对于二维经济系统，可以通过相平面分析经济系统的行为，方法是绘制相图。

相图是经济系统的状态随时间的演化及调节到均衡状态的过程的图形表现。相图定性地给出我们需要的有关动态经济系统的行为的所有信息

对于二维经济系统的动态分析是很有用的。相图分析是在相平面上进行的，因此适用于具有两个状态变量的经济系统。由于我们遇到的大量实例仅含有两个状态变量，而且常常有些函数并未具体给出，相图分析就更显得重要了。
二维经济系统有两个状态变量，它们随时间的演化由两个微分方程描述：

这个微分方程组写成向量形式为

这样的方程组称为独立的，因为它的右端独立于时间。数学中称为自治系统、定常系统、时不变系统等。

相平面分析在状态空间进行，即在-平面上进行。在-平面上横坐标表示，纵坐标表示。

为了通过绘制相图分析状态随时间的演化，需找出状态变量随时间上升或下降的区域

具体做法是：令，得到曲线
：

设想方程组是描述两种相关商品的市场，看第一种商品的市场当时，这个市场达到均衡。给出了第一种商品达到均衡时间的关系。

沿曲线，，曲线称为的平稳轨线，它将 平面分成两个区域，在一个区域中，因而随时间的增加而下降；在另一个区域中，因而随时间的增加而上升。

看第二种商品的市场，当时，这个市场达到均衡。给出了第二种商品达到均衡时间的关系。

在-平面上令，得到曲线
：
沿曲线，，曲线称为的平稳轨线，它将平面-分成两个区域，在一个区域中，因而随时间的增加而下降；在另一个区域中，因而随时间的增加而上升。

曲线和曲线的交点和同时成立，两个市场同时处于均衡状态，因而是经济系统的均衡状态记为。

判断的在哪边的区域内，哪边的区域内的方法

沿着计算导数

如果沿着导数
则表明在的右侧，随时间递增，在的左侧，随时间递减。

如果沿着导数
则表明在的右侧，随时间递减，在的左侧，，随时间递增。

类似地，判断的在哪边的区域内，哪边的区域内的方法是沿着计算导数

如果沿着导数
则表面在的上侧，随时间递增，在的下侧，随时间递减。如果沿着导数
则表明在的右侧，随时间递减，在的左侧，，随时间递增。

图2-7均衡轨线

图2-8相图

相图是在相平面-平面绘制的，步骤如下：

（1）令得到的平稳轨线；令得到的平稳轨线。与的交点为该经济系统的均衡状态。
（2）分析在的平稳轨线两侧变化的方向并用箭头（称为相箭头）标出；分析在的平稳轨线两侧变化的方向并用箭头标出。方法是计算，如果表明当增加时减小，因此在的平稳轨线的使增加的一侧，向减小的方向变动，相箭头应指向减小的方向。对于的情况可做类似的分析。
（3）将和放在一张图上将-平面分成4个区域，用箭头标出每个区域内和的走向。
（4）如果均衡状态是鞍点，画出稳定臂和不稳定臂，根据以上绘制的图形分析系统的相轨线。

帮助绘制相图的两个命题：
命题1：相轨迹的斜率

这表明当相轨迹穿过时斜率为0，是水平方向，当相轨迹穿过时斜率为，是垂直方向。

可以由初始问题解的惟一性导出另一个有用的结果。

命题2：自治微分方程组的轨线不能相交。

典型的相图实例：
【例2-15】 设连续时间两个相关市场的数学模型为
或
式中是第一种产品的价格，是第二种产品的价格。
令，得到直线
： 或
令，得到直线
： 或
与的交点是系统的均衡状态（两种相关商品的均衡价格）。
由原方程当时，即当时，上升；当时，下降，即当时，下降。同样当时，即当时，，上升，；当时，即当时，，下降。于是得到描述两个相关市场的行为的相图--图2-9。
如果已给经济系统的初始状态（相关市场的两种商品的初始价格），则可以应用图2-9定性地描绘出经济系统的相轨迹。例如当初始状态为时，按相图的相箭头所指的方向，再结合上面导出的“当相轨迹穿过时斜率为0，是水平方向，当相轨迹穿过时斜率为，是垂直方向”的结论，可以画出图2-9所示的相轨线。

图2-9 例2-15的相图

2．最优控制在动态经济学中的应用

在动态经济学中最大量的问题是跨期（隔时）最优化的问题。这一类的问题中，当前的决策影响到未来的决策，因此必须跨期进行研究。最优经济增长问题是最典型的例子，本期多消费是以牺牲未来的消费为代价的。因此最优经济增长问题是一个跨期最优化问题。很多动态经济学教程都是集中讨论跨期最优化问题。跨期最优化问题可以在连续时间的框架下进行讨论，也可以在离散时间的框架下进行讨论，本文将在连续时间的框架下进行讨论。
由于连续时间跨期最优化问题的求解或进行定性分析，最终都归结为微分方程（组）的求解或对微分方程（组）进行定性分析。因此，本文以连续时间跨期最优化问题的求解和定性分析为主线，将动态分析这中需要的微分方程（组）的有关结果纳入其中。

（1）跨期最优化（最优控制）问题的提法

设经济系统的数学模型为

其中是维状态向量,为m维控制向量或决策向量。
反映对经济系统进行控制的目的的目标函数为

是最优化实施的区间。跨期最优化问题是：求最优策略使得并使最大，其中是决策变量允许的集合。
因为目标函数依赖于函数，是函数的函数，常称为称为目标泛函。
这里经济系统的状态变量有个，决策变量有个，为了叙述简单我们仅以一个状态变量一个决策变量的情况介绍对经济系统进行动态分析的基本方法和步骤。考虑如下的

跨期最优化问题：

是给定的状态变量的初始值。

（2）跨期最优化的问题的解

由最大值原理，可以导出上面的跨期最优化问题的最优解满足的必要条件，为叙述必要条件，先引进Hamilton(哈密顿)函数：
（1）
最优解满足的必要条件为：
（2）
（3）
（4）
称为协状态变量，（4）称为协状态方程。由（3）、（4）构成的微分方程组称为正则方程组或正规方程组。
如果最优策略受到约束，问题是求，使得目标函数最大，在上面的必要条件中，条件（2）应以
（）
取代。
这个跨期最优化的问题中，状态变量的终值没有给定，称为终端自由的跨期最优化问题。当状态变量的终端值也给定时，需以条件代替条件。
终端是自由的跨期最优化问题，应用最大值原理求最优策略的具体步骤如下：
第1步：构造系统的哈密顿函数：

第2步：应用（2），由
（当没有约束时）
或应用（），由
（当约束时）
导出决策变量与状态变量和协状态变量的关系，记为。
第3步：写出以下正则（正规）方程组：

将代入正则方程组解出。
第4步：将代入得到最优策略

如果决策问题还要求满足边界条件，则以取代正则方程组中条件。
为了具体说明以上方法，我们应用最大值原理解一个基金会的最优策略问题。

【例7】基金会的最优策略问题
某基金会获得一笔基金20万元，准备存入银行在60年内奖励某些方面有特殊贡献的人。基金会准备在第60年留下3000元处理基金会的结束事务。假设每年取用的奖金在1.5万元至4万元之间，已知银行的利率为年利10%，设计一个使用奖金的最优策略，使基金会在60年内从银行取走作奖金的钱的总和最多。
设基金会在银行的存款数为，每年取用的钱数为，则该系统的状态方程为
，
问题为求使，并使基金会内从银行取走作奖金的钱的总和

最大。
这里是决策变量，它是定义在上的函数，是目标泛函，这是一个典型的跨期最优化问题。在经济学中常把这个问题简记为：

下面应用最大值原理解这个跨期最优化问题：
第1步：先写出哈密顿函数

第2步：由最大值原理，应使哈密顿函数最大，为此应取

第3步：由于第二步中只依赖于，该问题的协状态方程又不依赖于，因此我们可以直接解协状态方程：

它的解为
下面分析何时小于1，何时大于1。由以上的解式知：
如果，则在（0，60）区间内<1,因此在（0，60）区间内，这时状态方程的初始问题

的解为
对于这个解，显然。这表明如果每年都取4万元基金很快就会被用光。因此不可能是的情况，那么必为>1,因此开始时应取u=1.5,解初始问题

应用MATLAB函数
>> dsolve('Dx1=0.1*x1-1.5','x1(0)=20')
ans =
15+5*exp(1/10*t)
得到轨线

对于这个解，因此最优解必须在适当的时刻（记为）由切换到，即最优控制为：

下面求切换时间。它应为终值问题

的解，记为曲线，与轨线的相交的时间。
应用MATLAB函数
>> dsolve('Dx2=0.1*x2-4','x2(60)=0.3')
ans =
40-397/10*exp(1/10*t)/exp(6)
得到上面的终值问题解的轨线

下面求与的交点对应的时间，为此需解方程

可以用MATLAB函数解这个方程：
>> solve('15+5*exp(1/10*t)=40-397/10*exp(1/10*t)/exp(6)')
ans =
10*log(250/(50*exp(6)+397))+60
这个式子的值可以直接由MATLAB算出：
>> 10*log(250/(50*exp(6)+397))+60
ans =
15.8995
问题的解表明切换时间年，于是得到这个跨期最优化问题的最优策略

应用此策略基金会从银行取走的钱的总数为
万元
应用MATLAB的绘图功能绘出的该例求切换时间的示意图：

例7表明，在跨期最优化问题的求解过程中，实质的运算是求微分方程组的满足初始条件和终端条件的解，有时辅以适当的图形，这些工作都可以由MATLAB完成。这个例就是依据最大值原理给出的必要条件，应用MATLAB,采用人-机交互的方式完成的。应用Matlab完成了4件事：[1]求微分方程的初值问题的解，即求曲线；[2] 求微分方程的终值问题的解，即求曲线；[3]解代数方程组，求和的交点；[4]绘图。

哈密顿函数和协状态变量在经济系统的动态最优化问题中有明显的经济意义：

如果目标函数是总利润，状态变量是资本存量，则协状态变量为资本的影子价值（shadow value）、边际价值或影子价格

影子价值的含义是在t时刻资本存量增加一个单位所引起的利润的最大值的增量。

哈密顿函数的经济意义是瞬时利润函数，即是系统达到最优时在区间上的总的利润增量。因此最大值原理要求使利润最大的策略必使哈密顿函数达最大值，即

由于很多跨期最优化的问题的目标函数中带有贴现因子，我们考虑如下的跨期最优化的问题：

其中是贴现率。和是给定的状态变量的初始值和终端值。
由最大值原理，可以导出这个问题的最优解满足的必要条件，为叙述必要条件引进当值Hamilton(哈密顿)函数：
（5）
则最优解满足的必要条件为：
（6）
（7）
（8）
如果已知函数和的具体形式，我们可以用上面给出的四步解法求出最优策略。

但是在很多经济系统中，并没有给出函数和的具体形式，只是由它们的经济含义，可以得知它们具有某些性质。这时我们虽然不能象例1那样求出跨期最优化问题的解，但是我们仍然能够从函数和的这些性质出发得到跨期最优化问题的解的某些定性的结果。

（3）局部稳定性分析

对以上跨期最优化问题的定性分析是在关于函数和的某些假设下进行的，经济系统中常遇到的函数和经常满足这些假设条件。这些条件是：
函数和连续可微，并且满足以下条件

在现代控制论第6章的例(p.16,p.135)中讲了最优经济增长问题：
状态方程为

目标函数为效用的贴现值

消费应满足约束条件

最优经济增长问题是求使效用的贴现值最大。

是消费的效用函数，它具有边际效用递减的性质，即，在这里相当于条件，并且被积函数不依赖于状态变量，这相当于条件。是生产函数，它也具有边际产出递减的性质，即，因此状态方程的右端函数满足

很多经济系统的动态最优化问题满足以上假设。
下面我们看在关于函数和的上述假设下，如何对跨期最优化问题进行定性分析。
在跨期最优化问题中协状态变量的经济意义是影子价格。由具体问题可以判断它的符号。在效用最大化的问题中，当状态是资本存量时，协状态变量的经济意义是资本存量的影子价格。这时总是正的。在下面的讨论中我们假设。再由于假设了和，得到

这是跨期最优化问题的充分条件，这个条件满足时由必要条件（5）-（8）导出的解必是跨期最优化问题的解。

对于跨期最优化问题进行定性分析主要依赖于-平面上的相图或-平面上的相图。为了画出-平面上的相图，首先需要在正则方程组（7）、（8）中消去，得到关于、的方程组或者关于、的方程组。由于它们都是源自必要条件（5）-（8因此进行分析时，不论从哪个方程组出发都会得到相同的结果。
由假设和，条件（6）化为
（）
由于，因此对方程（6）可以应用隐函数定理，得到，代入正则方程组（7）、（8）中消去，即得到关于、的方程组。
由假设和，方程（8）可以改写为

于是得到正则方程组
（9）
（10）

下面的问题是：假设正则方程组存在稳态解，分析稳态解的稳定性。
求正则方程组的稳态解，是在（9）中令，在（10）中令得到代数方程组
（11）
（12）
代数方程组（11）、（12）的解就是系统的稳态解，记为、。分析方程组（9）、（10）的稳态解的稳定性的方法是在稳态解邻近线性化，然后分析得到的线性系统的稳定性。线性化以后得到的线性方程组的系数矩阵是代数方程组（11）、（12）的雅可比矩阵：
（13）
可以利用以下定理进行稳定性分析：

局部稳定性定理假设二维经济系统的数学模型是非线性微分方程组

如果对该方程组在均衡状态附近线性化得到的线性微分方程组，均衡状态是渐近稳定的，则原非线性系统的均衡状态是（局部）渐近稳定的。

局部鞍点定理 假设二维经济系统的数学模型是非线性微分方程组

设函数连续可微，那么在某均衡点的邻近可以做Taylor展开，得到线性化的微分方程组

式中

如果，则存在解收敛到均衡状态，与过点平行于对应于负特征值的特征向量的直线相切。

对于这里的动态最优化问题均衡铁机条件是局部鞍点的条件是：

Olech（奥利奇）定理 已给二维经济系统

如果对所有，，，或者，则原非线性系统的均衡状态是（全局）渐近稳定的。这里
，

对于这里的动态最优化问题均衡铁机条件是局部鞍点的条件是：

进一步假设，则的（1，1）元素为负，（2，2）元素为正。由得出（2，1）元素为正，式（）关于求导数，得到
由于已知它的分母为负，因此必与同号，由此得出的（1，2）元素为正。由以上分析得到

由于的特征值、满足

因此、一个为正，一个为负，这表面稳态解是鞍点。要对系统进行进一步的分析，需要绘制正则方程组（9）、（10）的相图。

（4）绘制相图

对跨期最优化问题的解的进一步的定性分析需要绘制相图。绘制相图需按以下五步进行：
第1步 在-平面上绘制由决定的曲线，即由=0决定的曲线，它的方程为
（1