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对高三上学期数学六类解答题的解题预案的总结

维度1：三角、数列、概率、立体几何、解析几何、函数及其导数；
维度2：数学知识及其思想方法、数学能力；
维度3：解题预案
关键词 释义：
数学 即‘使用符号，把问题简洁化，及至模式化’
思想方法 指可以解决一类问题的、有限的、有序的程序步骤的算法，蕴含于基础知识的推导、理解记忆和应用的过程中。有适应于特定问题的方法，比如配方法、待定系数法、代入（加减）消元法、参数法、整体代换法、坐标法、向量法、三角代换法、分离变量法、排除法等；有贯穿高中数学各分支的普遍方法，比如函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等；有逻辑意义上的普遍方法，比如归纳、类比、三段论、完全归纳、递推关系、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等。
能力 包括空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、分析和解决问题的能力。
（1）空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形．
（2）抽象概括能力：能在对具体的实例抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断.
（3）推理论证能力：会根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学命题正确性.
（4）运算求解能力：会根据概念、公式、法则正确对数、式、方程、几何量等进行变形和运算；能分析条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计，并能近似计算．
（5）数据处理能力：会依据统计中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.
（6）分析和解决问题的能力：能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述；能选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，创造性地解决问题.
1.三角解答题，常考查正弦型函数的性质和解三角形。
11.解题预案：
111.写出函数定义域，字母常数的取值范围；
112.灵活应用三角函数的同角关系式、诱导公式、两角和\差\倍角公式，对所给函数解析式进行恒等变换，变换的目标是消元化简，比如向同一个角的三角函数转化，向同一种三角函数名转化等，对正余弦的齐次式转化为正弦型函数y=Asin(wx+φ)+b，对非齐次式转化为y=asin2x+bsinx+c的形式等.
113.令t=wx+φ或t=sinx，于是112中的函数显现为两个基本函数复合而成的函数，进而得到原函数的相应性质。
11a.在⊿ABC中，写出A、B、C∈(0,π)，A+B+C=π，画图并标示已知和待求条件；
11b.灵活选择正（余）弦定理的四种形式，十二个公式，布列方程（组），解得所求；
11c.关注 三角函数值与角的范围相配合，才能确定 角的值。
11x.由已知图像，求出解析式y=Asin(wx+φ)中的待定系数后，转到113。写出函数图像变换过程时，关注逐步变换时，用每个步骤的准确变换 保证整个变换过程的准确。
12.核心思想方法——运算求解能力
转化——把不熟悉的函数形式，转为熟悉的函数形式；把复杂函数转化为两个简单函数的复合；⊿ABC中，角的关系、三角函数值的关系以及边的关系，这三种关系之间的转化。
例如，201301西城15．（本小题满分13分）
在△中，已知．
（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求△的面积．

分析：考虑到 倍角公式，于是
因为，所以 ．
因为 ， 所以 ，从而 ，所以 ．
如果考虑到 两角和差的正弦公式，于是
依题意得 ，所以 ，即 ．
因为 ， 所以 ，所以 ．所以 .

同角关系式 ；
诱导公式 ‘奇变偶不变，符号看象限’；
两角和差公式 ，
倍角公式
2. 数列解答题，常考查‘写出数列的前几项；求数列的通项公式；求数列的前n项和；数列的单调性等性质’：
21. 解题预案
211.对你写出的第一个含n的表达式，写出n的取值范围；并随时关注写出的表达式中n的取值范围，遇有变化时，写出变化后的n的取值范围；
212.随时判断面对的数列是否是等差或等比数列，一旦是，求出首项a1和公差d(公比q),应用相应的定义、通项公式、前n项和公式、等差（比）中项等性质，布列相关的方程，解得首项a1和公差d(公比q),进而得到相应问题的解；
213.不能判定等差或等比数列时，对给出的递推公式、an与Sn关系式或新定义式进行恒等变形（消元）。变形的目标是 等差（比）数列的定义式，手段是 代数式的运算法则及公式等，注意事项是 首先给出n=1等初始值时的结果，然后对一般表达式(含n)进行变形，并写明n的取值范围的变化。变形转化成功，转到212继续；
214.如果213中转化失败，那么可以考虑能否应用等差（比）数列通项公式及前n项和公式的推导方法(叠加、叠乘、倒序求和、错位减求和、裂项相消求和、分组转化求和、数学归纳法）；依然不能解决问题时：关注n=1\2\3时的运算结果及其过程，探寻其中隐藏的一般规律，为了发现和证明这一规律，继续计算n=4、5、6......的情形是可以理解的。
22.核心思想方法——抽象概括能力、运算求解能力
方程的思想——在等差（比）数列中，n, an, Sn,a1,d(q)这五个量中恰有三个互相独立的量，故 布列三个独立的方程，可以求得这五个量；
科学的精神——从简单情况做起，观察并归纳、验证再论证，显现一般规律。
例如，201301东城（16）（本小题共13分）
已知为等比数列，其前项和为且.
（Ⅰ）求的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
解：（Ⅰ）当时，. ………………………1分
当时，. ………3分
因为是等比数列，所以，即.. ………5分
所以数列的通项公式为. ……………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.
则. ①
. ②
①-②得 ………9分

. ………12分
所以. …………………13分
等差数列的通项公式前n项和公式
等比数列的通项公式 前n项和公式
3.概率解答题 常考查统计数据中，随机变量的分布列、数学期望等
31.解题预案
311.把经常使用的词句用适当的字母表示。比如记***为事件A；
312.准确选用统计的概率定义、古典概型、几何概型、概率的加（乘）法公式、二项分布、超几何分布、数学期望、方差等知识，合理处理相关数据；
313.根据312中的数据及其意义，对实际问题做出所需的判断。
32.核心思想方法——数据处理能力、抽象概括能力
分析并解决简单的实际问题——从较大的阅读量中，找出有用的数量，并确认数量之间的关系；

统计的思想——用样本估计总体，随机事件的一般规律通过概率表现。
例如，201301海淀16.（本小题满分13分）
汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:
A型车
出租天数
1
2
3
4
5
6
7
车辆数
5
10
30
35
15
3
2
B型车
出租天数
1
2
3
4
5
6
7
车辆数
14
20
20
16
15
10
5

（I）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；
（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.
解：（I）这辆汽车是A型车的概率约为

这辆汽车是A型车的概率为0.6 ………………3分
（II）设“事件表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为天”，
　 　“事件表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为天”，其中
　　　则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
　 ………………5分
………………7分

　该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为。 9分
（Ⅲ）设为A型车出租的天数，则的分布列为

1
2
3
4
5
6
7

0.05
0.10
0.30
0.35
0.15
0.03
0.02

设为B型车出租的天数，则的分布列为

1

4
5
6
7

0.14
0.20
0.20
0.16
0.15
0.10
0.05

………………12分
一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 又 从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差小于B型车出租天数的方差,综合分析，选择A类型的出租车预期收益高，并且风险小，更加合理 . …13分

超几何分布：从m个红球和n个白球中，随机取出k个球，恰好有r个红球的概率是

二项分布：若P(A)=p，则在n次独立重复试验中，事件A恰好成功k次的概率是

4.立体几何解答题 常考查 平行、垂直的证明，角度的余弦值或正弦值的计算。
41.解题预案
411.首先找到（或证明）线面垂直关系，形成想像中的空间立体图形；
412.应用8个线面关系的判定及性质定理等，证明所需的结论。其中，对于同一平面内的两条直线的位置关系，应关注平面几何知识的应用。比如常用中位线定理、平行四边形的性质证明平行，可以用勾股定理逆定理证明垂直；
413.当412中出现不简单的情况时，找(证或作)出从一点出发的三条两两垂直的射线，建立空间直角坐标系。关注 作图必须在已知平面内，用平面几何知识完成。
414.利用平面几何知识，计算各独立点的各个坐标值，及它们所产生的其它点的坐标；
415.直线的方向用方向向量表示，平面的方向用该平面的法向量表示。其中方向向量即直线上两个不同点形成的向量，法向量即与该平面垂直的向量（设为，通过它与平面内两个不共线的已知向量垂直求解）
416.求出415中相应向量所成的角的余弦值，进而得到所求的直线与直线所成的角的余弦值、二面角的余弦值、或直线与平面所成的角的正弦值。
42.核心思想方法——空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力
空间想象——把握好‘线面垂直’是关键；
推理论证——使用好‘8个定理，即空间直线、平面的位置关系的性质及判定定理’，是课程标准的要求，也是高考的实际要求；
运算求解——立体几何中，确定各点坐标时，长度和角度的每一次计算，都应该在平面图形内完成。如果不能在在平面内完成计算，应用向量的性质及运算法则是有利的。
A
B
C
D
E
N
M

2013东城（17）（本小题共14分）
如图，在菱形中，，是的中点， ⊥平面，且在矩形中，，．
（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）求证： // 平面；
（Ⅲ）求二面角的大小.
F
A
B
C
D
E
N
M
y
x
z

解：（Ⅰ）连结，则.
由已知平面，得DN⊥AC，又，
所以平面. …………2分
又因为平面，
所以. ……………4分
（Ⅱ）与交于，连结.
由已知可得四边形是平行四边形，
所以是的中点.又因为是的中点，
所以. ……………7分
又平面，平面，
所以平面. …………9分
（Ⅲ）由于四边形是菱形，是的中点，可得.
如图建立空间直角坐标系，则，, ，
.，. ………10分
设平面的法向量为.
则 即 令，. ……12分
又平面的法向量，所以.
所以二面角的大小是60°. …………14分
八个定理

5.解析几何解答题 常考查直线与圆锥曲线的位置关系
51.解题预案
511.解答第一问，得到圆锥曲线的方程或性质；
512.画出草图，研究直线无斜率及斜率是0的特殊情况；
513.设出其它情况的直线方程。比如过y轴上定点B(0,b)的直线y=kx+b、过x轴上定点A(a,0)的直线x=my+a、过定点P(x1,y1)的直线y-y1=k(x-x1)等
514.对于圆，考虑圆心到直线的距离，然后通过弦心距、半径、半弦长形成的直角三角形求解；
对于椭圆，设直线与椭圆的交点坐标为(x1,y1)、(x2,y2),即直线与椭圆的方程组的解；将直线方程代入椭圆方程，消元得到一元二次方程。比如消y时，该一元二次方程是关于x的方程，解即x1,x2，计算判别式⊿，并确认⊿>0, x1+x2=***, x1x2=***。计算中尽早去分母是有利的；
对于抛物线，消抛物线方程中的一次项，可以减小计算量；
515. 分析问题中的几何性质，确定关于待定系数的其他方程，消元求解待定系数。比如，确定其中的垂直关系，并转化为向量点积等于零，轴对称可以转化为 对称点的连线段，与对称轴垂直且中点在对称轴上；
对于求最大值、取值范围、过定点的问题，消元后常保留一个待定系数，使得所求量表示为该待定系数的函数式，进而应用函数知识得到原问题的结论。
52.核心思想方法——提出、分析并解决问题的能力、运算求解能力
数形结合——数缺形，不直观；形少数，难入微；数形结合百般好，两相分离万事休。随着解题者对几何直观的认识深度不同，对相应代数计算量的预判能力不同，解题者对数形转换的节点选择也不同，而这种选择对问题解决的计算量大小的影响较大。
待定系数法——这种方法中运算的实质是解方程组，其中的未知数包括x1,x2,y1,y2,k,m等，方程包括直线方程，圆锥曲线方程、两个根系关系等。消元的方法选择，对问题解决的计算量大小的影响较大。514中介绍的消元顺序是一种最常见的有效方法。
例如：201301西城19．（本小题满分14分）
如图，已知抛物线的焦点为．过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别与抛物线交于点，．
（Ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值．
分析：原题意也就是已知如下方程组，证明为定值。

显然，‘解方程组得’的详细展开是必要的，某种意义上说这也正是解题的关键。实际上，解析几何问题的解决中，明晰思路距离解题起点可以很近，通过预判计算量大小，确定数形转化的节点、消元方法、计算顺序是解析几何问题解决的重难点。对原问题，另作分析如下：
设直线的方程为，将其代入，消去，
整理得 ．所以，同理可得，
又
故，为定值．
评注：弦长公式，，
.这属于解题中总结的规律，熟知它的可用背景、字母意义，准确适用，可以提高计算的效率；熟知它的推导过程，可以给出类似的‘创造性’的解法，比如对于设直线方程x=my+a,并消x的方式中,有类似的公式是，，
.练习：过点P(2,0)的直线与椭圆交于两个不同的点A、B，若|AB|=，求证该直线的斜率的绝对值是±.
6.函数及其导数解答题 常考查求曲线切线、函数的单调区间、函数在闭区间上的最大（小）值等。
61.解题预案
611.写出函数的定义域、字母系数的取值范围，解答第一问；
612.求导函数。依据导数公式表、导数的四则运算及f(ax+b)型复合函数的求导法则；
613.曲线在切点处的导函数值即相应切线的斜率，切点即在曲线也在切线上；
614.判定导函数的符号，进而确定原函数的单调性、极值点、极值、闭区间上的最大（小）值，值域等所需结论。比如，列表给出自变量的不同取值区间，相应的导函数的符号（正、负、零），及相应的原函数的单调性，进而写出所求结论。
615.当出现‘存在、任给、恒成立、都’等逻辑量词时，可以考虑转化为相应函数的最大（小）值问题；对于含字母系数的函数，应考虑以下两个函数哪个更容易解决：‘原来的含字母系数的函数’和‘分离变量后，不含字母系数的函数’；研究‘两个函数值的大小关系’等价于‘这两个函数的差与零的大小关系；......灵活运用所学知识解决相应问题。
62.核心思想方法——分析并解决问题的能力、运算求解能力、推理论证能力
例如，201301朝阳18.已知函数．
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．
分类讨论——导函数的符号讨论转化为二次函数型的符号讨论是常见的,其中的字母系数的讨论也是难点。比如上述问题中，的导函数的符号与h(x)=ax2-2x+a（x>0）的符号总是相同的。以下给出两种讨论h(x)的符号的方法和缘由。
考虑到 二次函数的图像及性质，讨论h(x)的符号如下：
S1.当a=0时，h(x)=-2x<0 ……………这时h(x)的二次项系数是0，不是二次函数；
S2.当⊿≤0时，即4-4a2≤0,a≤-1或a≥1 ……这时二次函数h(x)的符号是不变的；
(1). a≤-1时，h(x)≤0 ……二次函数h(x)的图像（抛物线）开口向下；
(2). a≥1时，hx)≥0 …………………………………抛物线开口向上；
S3.当⊿>0时，即4-4a2>0,-10，在(x1,x2)上h(x)<0
………………抛物线开口向上；
考虑到 不等式的性质，讨论h(x)的符号如下：
S1.当a≤0时，ax2≤0, -2x<0, h(x)=ax2-2x+a<0; ……………不等式的运算性质；
S2.当a≥1时，h(x)=ax2-2x+a≥x2-2x+1=(x-1)2≥0 ……………不等式的传递性质；
S3.当00，在(x1,x2)上h(x)<0.
这两种分类讨论的顺序共同的特点是：首先处理容易处理的部分，并由此提醒其后的分类标准。
分离变量——比如问题中的第Ⅲ问 即 若至少存在一个，使得h(x)=f(x)-g(x)=ax-2lnx>0成立，求实数的取值范围．分析如下：
考虑到取值范围，上述不等式等价于，再令，原题意等价于“当 时，”。就这样，经过对已知代数式的等价变形运算，原问题转化为不含字母系数的较简单函数的问题。
充要条件——对刚刚分析的问题，另作分析如下：考虑到‘至少存在一个’，于是h(1)=a>0是原题意的充分条件；再考虑到‘’，于是a≤0时，h(x)=ax-2lnx≤0恒成立，a≤0是原题意不成立的充分条件，也就是说a>0是原题意的必要条件。总之，a>0是原题意的充分必要条件，即为所求。上述分析表明，充分必要条件是逻辑上帮助理清问题思路的有效方法。