广州市高三年级调研测试理科数学及答案.doc

试卷类型：A
广州市2014届高三年级调研测试
数 学（理 科） 2014．1
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：
锥体体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高．

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知为虚数单位， 则复数的模等于
A． B． C． D．
2．设集合，，则等于
A． B． C． D．
3．已知向量，，，若，则实数的值为
A． B． C． D．
4．定义在上的函数满足则的值为
A． B．2 C． D．4

O
x
y
1

图1
5．函数（，，）的部分图象如图1所示，则函数对应的解析式为
A． B．
C． D．
6．执行如图2的程序框图，如果输入的的值是6，那么输出的的值是
A．15 B．105 C．120 D．720
是
否
开始

输出
图2

输入

结束

7．若点和点到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8．对于实数a和b，定义运算“*”：*设*且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．在等比数列中，若，则 ．
O
x
y
2
4
-2
图3
10．若，满足约束条件则的最大值为_______．
11．如图3，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域．在内随机取一点，则该点落在中的概率为 ．
12．已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 ．
13．有4名优秀学生，，，全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有 种．

图4
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）
如图4，为⊙的直径，，弦交于点．
若，，则的长为 ．
15．（坐标系与参数方程选讲选做题）
若点在曲线（为参数，）上，则的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在△中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2若，，求的值．

17．（本小题满分12分）
空气质量指数 (单位:)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：

日均浓度
0～35
35～75
75～115
115～150
150～250
＞250
空气质量类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染

从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的日均浓度指数数据茎叶图如图5所示．
3 2 0 4
5 5
6 4
7 6 9 7
8 8 0 7
9 1 8 0 9

图5
（1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；
（2）在甲城市这15个监测数据中任取个，设为空气质量类别为优或良
的天数，求的分布列及数学期望．

18．（本小题满分14分）
图6
A
B
C
D
E
F
在如图6的几何体中，平面为正方形，平面为等腰梯形，∥，，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

19．（本小题满分14分）
已知数列{an}满足，，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，
成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，，；如果不存在，请说明理由．

20．（本小题满分14分）
设函数，.
（1）若曲线与在它们的交点处有相同的切线，求实数，的值；
（2）当时，若函数在区间内恰有两个零点，求实数的取值范围；
（3）当，时，求函数在区间上的最小值．

21．（本小题满分14分）
如图7，已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为．
过椭圆的右焦点作直线，使，又与交于点，设与椭圆的两个交点由上至下
O
x
y
B
A
F
P
l1
l
l2
依次为，．
（1）若与的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，
求椭圆的方程；
图7
（2）求的最大值．

广州市2014届高三年级调研测试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
A
D
A
B
C
A

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．
题号
9
10
11
12
13
14
15
答案
3
4

36
1

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
解：（1）在△中，．………………………………………………………………1分
所以 …………………………………………………………………………2分
．………………………………………………………………………3分
所以 ……………………………………………………………………………5分
．………………………………………………………………………………………7分
（2）因为，，，
由余弦定理，………………………………………………………………9分
得．……………………………………………………………………………………11分
解得．……………………………………………………………………………………………12分

17．（本小题满分12分）
解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数
为5天．…………………………………………………………………………………………………1分
所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．…………2分
（2）的取值为0，1，2，………………………………………………………………………………3分
因为，………………………………………………………………………5分
，……………………………………………………………………………7分
．…………………………………………………………………………9分
所以的分布列为：

1
……………………10分

所以数学期望．…………………………………………………12分

18．（本小题满分14分）
（1）证明1：因为，，
在△中，由余弦定理可得．……………………………………………………2分
所以．
所以．………………………………………………………………………………………3分
因为，，、平面，
所以平面．………………………………………………………………………………4分
证明2：因为，设，则．
在△中由正弦定理，得．…………………………………………1分
因为，所以．
整理得，所以．…………………………………………………………………2分
所以．………………………………………………………………………………………3分
因为，，、平面，
所以平面．………………………………………………………………………………4分

（2）解法1：由（1）知，平面，平面，
所以．
因为平面为正方形，所以．
因为，所以平面．……………………………………………………6分
取的中点，连结，，
因为是等腰梯形，且，，
所以．所以△是等边三角形，且．…………………………7分
M
N
A
B

C
D
E
F
取的中点，连结，，则．………8分
因为平面，，所以．
因为，所以平面． ……………9分
所以为直线与平面所成角． ……………10分
因为平面，所以．…………………11分
因为，，…………………………………………12分
在△中，．……………………………………………………13分
所以直线与平面所成角的正弦值为．………………………………………………14分
解法2：由（1）知，平面，平面，
所以．
因为平面为正方形，所以．
因为，所以平面．……………………………………………………6分
x
A
B
C
D
E
F
y
z
所以，，两两互相垂直，
建立如图的空间直角坐标系．………………………7分
因为是等腰梯形，且，
所以．
不妨设，则，，，
，，
所以，，．………………………………………9分
设平面的法向量为，则有即
取，得是平面的一个法向量．………………………………………11分
设直线与平面所成的角为，
则．……………………………13分
所以直线与平面所成角的正弦值为．………………………………………………14分

19．（本小题满分14分）
解：（1）因为，所以．…………………………………………………1分
所以．…………………………………………………………………………3分
因为，则．…………………………………………………………………………4分
所以数列是首项为，公比为的等比数列．…………………………………………5分
（2）由（1）知，，所以．……………………………………7分
假设存在互不相等的正整数，，满足条件，
则有……………………………………………………………………9分
由与，
得．……………………………………………………10分
即．……………………………………………………………11分
因为，所以．……………………………………………………………12分
因为，当且仅当时等号成立，
这与，，互不相等矛盾．……………………………………………………………………13分
所以不存在互不相等的正整数，，满足条件．……………………………………………14分
20．（本小题满分14分）
解：（1）因为，，
所以，.…………………………………………………………………1分
因为曲线与在它们的交点处有相同切线,
所以,且。
即,且, ………………………………………………………………2分
解得.……………………………………………………………………………………3分
（2）当时，，
所以．…………………………………………………4分
令，解得．
当变化时，的变化情况如下表：

0

0

↗
极大值

↘
极小值
↗
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．………………5分
故在区间内单调递增，在区间内单调递减．………………………………6分
从而函数在区间内恰有两个零点，当且仅当 ………………………7分
即解得．
所以实数的取值范围是．……………………………………………………………………8分
（3）当，时，．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
由于，，所以．……………………………………………9分
①当，即时，………………………………………………………………………10分
．……………………………………………………………………11分
②当时，
．……………………………………………………………………………12分
③当时，在区间上单调递增，
．……………………………………………………………………13分
综上可知，函数在区间上的最小值为
……………………………………………14分

21．（本小题满分14分）
解：（1）因为双曲线方程为，
所以双曲线的渐近线方程为．……………………………………………………………1分
因为两渐近线的夹角为且，所以．
所以．……………………………………………………………………………2分
O
x
y
B
A
F
P
l1
l
l2
所以．
因为，所以，
所以，．
所以椭圆的方程为．…………………………………………………………………4分
（2）因为，所以直线与的方程为，其中．………………………5分
因为直线的方程为，
联立直线与的方程解得点．………………………………………………………6分
设，则．………………………………………………………………………7分
因为点，设点，
则有．
解得，．………………………………………………………………8分
因为点在椭圆上，
所以．
即．
等式两边同除以得……………………………………10分
所以………………………………………………………11分
．……………………………………12分
所以当，即时，取得最大值．…………………………13分
故的最大值为．………………………………………………………………………14分