湖南省十三校高三第二次联考数学理解析版.doc

湖南省2014届高三·十三校联考 第二次考试
理科数学试卷
长郡中学;衡阳八中;永州四中;岳阳县一中;湘潭县一中;湘西州民中
石门一中;澧县一中;郴州一中;益阳市一中;桃源县一中;株洲市二中 麓山国际

由 联合命题

总分:150分 时量:120分钟
考试时间:2014年4月12日15:00～17:00
得分:
【试卷综析】 本套试卷是湖南省13校第二次联考试题，试卷在题型、题量、分值、难度、知识点分布及覆盖面上都和高考试题比较接近。从整体上看，试卷难度适当，具有较好的区分度、效度和信度。试题注重考查了基础知识、基本技能和基本方法，突出了对学生数学能力的考查。例如第6题，第8题，9题都很好地考查了学生的数学能力。在学生熟悉的背景下进行命题，进行创新，这是高考的要求，也是中学教学的要求。在本套试卷中，有所体现，这是一大亮点。

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.
1.已知集合，,则( )本题已做修改

A. B. C. D.
【知识点】借助分式不等式和对数不等式考查集合的运算。
【答案解析】D 或，，所以
【思路点拨】解分式不等式时，要时刻注意，移项通分。利用数轴求集合的交集。
2.已知,则“”是“复数为虚数单位)为纯虚数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【知识点】本题考查了复数知识和充分必要条件的判断。
开始
是
输出k
否
k=1
S<100?
S=S+2S
k=k+1
结束

S=1
【答案解析】C 复数为虚数单位)为纯虚数的充要条件是，所以。
【思路点拨】复数为纯虚数，必须保证实部等于0，虚部不等于0. 解决充分必要问题需要先求出充要条件，然后再把充要条件的范围放大或缩小。
3.(2013·肇庆二模改编)若某程序框图如图所示,则该程序运行
后输出的值是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【知识点】程序框图问题。
【答案解析】A
【思路点拨】根据程序框图的循环结构，依次求出即可。
4.等差数列的前项和为,且,则过点和的直线的斜率是( )
A 1 B. 2 C. 4 D.
【知识点】 考查等差数列的基本知识，基本量的计算。
【答案解析】C 由 求出公差。。
【思路点拨】等差数列的通项公式是关于的一次函数形式，其图像是一些孤立的点，它的斜率就是等差数列的公差。
5.若函数的图象如图,则函数的图象大致为( )

O、
y
x、
1
O、
y
x、
1
A
O、
y
x、
-1
B
-2
2、
y
x、
1
D
O
O、
y
x、
-1
C

【知识点】本题考查了函数图象的变换。
【答案解析】A 函数 的图象与的图象关于轴对称，再把的图象向右平移一个单位即可。
正视图
侧视图
俯视图
4
3
3
5
【思路点拨】函数，先把的图象作关于轴对称的图象，然后再平移。
【典型总结】函数图象的平移，一定要注意把的系数提出。
6.(2013•嘉兴一模)如图,给定由10个点(任意相邻两
点距离为1)组成的正三角形点阵,在其中任意取三
个点,以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是( )
A. 12 B. 13
C. 15 D. 16
【知识点】计数问题
【答案解析】C 按顺序查即可
【思路点拨】依次查可得
7.若某棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该棱锥的体积等于( )
A. 10cm3 B. 20cm3
C. 30cm3 B. 40cm3
【知识点】计数问题
【答案解析】C 按顺序查即可
【思路点拨】依次查可得

8.已知双曲线,为实轴顶点,是右焦点,是虚轴端点,
若在线段上(不含端点)存在不同的两点,使得构成以为斜边的
直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【知识点】考查双曲线的性质和基本量的计算（离心率的求法）。
【答案解析】D ，由题意知，圆心O到直线的距离小于半径，即，解得。假设点与点重合，求得。故选D。
【思路点拨】根据题意，可以确定点在以为直径的圆上，再利用特殊点可求。
9.(2013•金山区一模改编)若实数a,b,c成等差数列,点在,点,则的最大值是( )
A. B. C. D.
【知识点】等差数列的性质；直线关于点、直线对称的直线方程。
【答案解析】A 2b=a+c，所以a-2b+c=0，可知直线恒过定点（1，-2）。又 在动直线上的射影为,所以，此时圆心（0，-1），。。
【思路点拨】此题考查了等差数列的性质，恒过定点的直线方程，圆周角定理，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，利用等差数列的性质得到2b=a+c，即a-2b+c=0是解本题的突破点．
10.已知点是的重心,且,则实数的值为( )
A. B. C. D.
【知识点】考查三角形的重心，三角基本关系式。
【答案解析】B 以G为坐标原点，以GA、GB分别为x,y轴建立平面直角坐标系。不妨设A(1，0), B(0，1)，依题意，G为的重心，则点C(1，1). 所以可得tanA=tanB=3,tanC=4/3. 可得的值为 。
【思路点拨】利用点是的重心, 且AG与BG垂直，用特值法，建立平面直角坐标系，再应用重心坐标公式求出tanA=tanB=3,tanC=4/3.

二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
（一）选做题(请考生在11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)
A
C
E
B
F
D
11.(2011•天津卷改编)如图,已知圆中两条弦与相交于点
是延长线上一点,且,若与圆相切,
且,则= .
【知识点】相交弦定理，切割线定理
【答案解析】 由得,又,得.
【思路点拨】应用相交弦定理，切割线定理解题，属容易题。
12.在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),在以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.则与的交点直角坐标为 .
【知识点】考查抛物线的参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，直线与抛物线的位置关系。
【答案解析】（1,2） 曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程是，二者联立，求出交点坐标。
【思路点拨】把参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，联立求解。
13.设,则的最小值为 .
【知识点】考查柯西不等式。
【答案解析】9

【思路点拨】根据已知条件凑成柯西不等式的形式。
（二）必做题（14 ～16题）
14.定积分的值为 .
【知识点】定积分运算
【答案解析】0 原式=
【思路点拨】记住基本初等函数的导数公式

15.(2013•昌平区一模)在中,是的中点,
(1) .
(2)是的中点,是(包括边界)内任意一点,则的取值范围是 .
【知识点】向量的数量积运算、线性规划
【答案解析】（1）2 （2） （1）以C为坐标原点，CA、CB分别为x，y轴建立直角坐标系，则A(4，0), B(0,2)，D(0,1)，;
(2) 根据题意知，点P所在的平面区域为，
，令，画出平面区域，可知。所以的取值范围是。
【思路点拨】根据题意建立直角坐标系，运用向量的坐标运算能使过程简单、易操作。
16.(2013•石景山区一模改编)给定有限单调递增数列,数列至少有两项)且xi≠0（1≤i≤n），此处已做修改
定义集合.若对任意点,
存在点使得为坐标原点),则称数列具有性质.
(1)给出下列四个命题,其中正确的是 .(填上所有正确命题的序号)
①数列-2,2具有性质;
②数列:-2,-1,1,3具有性质;
③若数列具有性质,则中一定存在两项,使得;
④若数列具有性质,且,则.
(2)若数列只有2014项且具有性质,则的所有项和 .
【知识点】等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性．本题考查新定义，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．
【答案解析】（1）①③④ （2）
（1）对于数列{xn}，若A1（-2，2），则A2（2，2）；若A1（-2，-2）则A2（2，-2）；均满足OA1⊥OA2，所以具有性质P．
对于数列{yn}，当A1（-2，3）若存在A2（x，y）满足OA1⊥OA2，即-2x+3y=0，即，数列{yn}中不存在这样的数x，y，因此不具有性质P．取A1（xi，xi），又数列{xn}具有性质P，所以存在点A2（xi，xj）使得OA1⊥OA2，即xixi+xixj=0，又xi≠0，所以xi+xj=0。数列{xn}中一定存在两项xi，xj使得xi+xj=0；又数列{xn}是单调递增数列且x2＞0，所以1为数列{xn}中的一项．
假设x2≠1，则存在k（2＜k＜n，k∈N*）有xk=1，所以0＜x2＜1．
此时取A1（x2，xn），数列{xn}具有性质P，所以存在点A2（xi，xs）使得OA1⊥OA2，所以x2xi+xnxs=0；只有x1，所以当x1=-1时x2=xnxs＞xs≥x2，矛盾；
当xs=-1时x2=≥1，矛盾．所以x2=1
（2）x2=1．若数列{xn}只有2014项且具有性质P，可得x4=4，x5=8，
猜想数列{xn}从第二项起是公比为2的等比数列．
所以S2013=-1+1+2+4+…+22012==22013-2  
【思路点拨】利用数列{an}具有性质P的概念，对数列{xn}：-2，2与数列{yn}：-2，-1，1，3分析判断即可；取A1（xi，xi），数列{xn}具有性质P，故存在点A2（xi，xj）使得OA1⊥OA2，利用向量的坐标运算整理即可证得xi+xj=0；数列{xn}中一定存在两项xi，xj使得xi+xj=0；数列{xn}是单调递增数列且x2＞0，1为数列{xn}中的一项，通过反证法可证得x2=1；若数列{xn}只有2014项且具有性质P，可得x4=4，x5=8，猜想数列{xn}从第二项起是公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式计算即可．

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知的三内角分别为,向量
,记函数.
(Ⅰ)若,求的面积;
(Ⅱ)若关于的方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围.
【知识点】向量的数量积运算、辅助角公式的应用，利用图形判断方程解的情况。
【答案解析】(Ⅰ)由
即,
又因为,所以代入上式得,

由,得,
又,所以,且………………………5分
也所以,即,从而为正三角形,
所以……………………………………………………………………8分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,令,
O
x
y
则方程有两个不同的实数解等价于在上有两上不同实根,作出草图如右,
可知当或时,直线与曲线
有两个交点,符合题意,故实数的取值范围为
.…………………………………………………………………12分
【思路点拨】熟练应用辅助角公式，正确画出函数的图象，利用数形结合解决问题。

18. (本小题满分12分)
甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选.
(Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望;
(Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.
【知识点】概率问题，分布列、数学期望、独立重复试验。
【答案解析】(Ⅰ)设乙答题所得分数为,则的可能取值为.…………………1分

-15
0
15
30

且
………5分
乙的得分的分布列如右表,且……………8分
(Ⅱ)由已知甲、乙至少答对2题才能入选, 记甲、乙入选的
事件分别为,则由(Ⅰ)知,,
又甲回答3题可以视为独立重复试验,故,
于是甲、乙至少有一人入选的概率………………12分
【思路点拨】（1）求出的可能取值，并求出其概率即可得到分布列。
（2）是独立重复试验问题。利用对立事件求解。

19. (本小题满分12分)
A
B
C
D
M
P
如图,在四棱锥中,平面,
,且,
点在上.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若二面角的大小为,求与平面
所成角的正弦值.
y
A
x
B
C
z
D
M
P
E
【知识点】空间线面的位置关系、二面角的大小。
【答案解析】(Ⅰ)如图,设为的中点,连结,
则,所以四边形为平行四边形,
故,又,
所以,故,
又因为平面,所以,
且,所以平面,故有…………………………………5分
(Ⅱ)如图,以为原点,分别以射线
为轴的正半轴,建立空间直角坐标系.
则,
设,易得,
设平面的一个法向量为,则,
令得,即.
又平面的一个法向量为,
由题知,解得,
即,而是平面的一个法向量,
设平面与平面所成的角为,则.
故直线与平面所成的角的正弦值为.…………………………………12分
【思路点拨】（1）熟练应用线面平行、垂直的判定定理和性质定理是解此类问题的关键。（2）建立平面直角坐标系，用空间向量求出各面的法向量求解。

B
O
x
C
(A)
y
D
M
N
P
20. (本小题满分13分)
如图,矩形是一个观光区的平面示意图,建立平面直角
坐标系,使顶点在坐标原点分别为轴、轴,
(百米),(百米)()观光区中间叶形阴影部分是
一个人工湖,它的左下方边缘曲线是函数的图象的
一段.为了便于游客观光,拟在观光区铺设一条穿越该观光区的直
路(宽度不计),要求其与人工湖左下方边缘曲线段相切(切点
记为),并把该观光区分为两部分,且直线左下部分建设为花圃.
记点到的距离为表示花圃的面积.
(Ⅰ)求花圃面积的表达式;
(Ⅱ)求的最小值.
【知识点】分段函数、利用导数研究函数的切线方程、判断单调性、求最值。
【答案解析】(Ⅰ)由题意可设,又因,所以过点的切线方程为
B
O
x
C
(A)
y
D
E
F
M
N
P
,即,
切线与轴交于点,与轴交于点,
①当,即时,切线左下方区域为直角三角形.
所以;
F
O
x
C
(A)
y
D
E
B
M
N
P
②当,即时,切线左下方区域为直角梯形.
所以;
F
O
x
C
(A)
y
E
D
B

M
N
③当,即时,切线左下方区域为直角梯形.
所以;
综上有,…………………………………………………………7分
(Ⅱ)①当时,,当时,;
②当时,,
所以在上递减,所以,
下面比较与的大小,由于,
所以可知即求.………………………………………………………………13分
【思路点拨】解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明．
F1
O
x
M
F2
y
B
P
N面
A

21.(本小题满分13分)
已知分另为椭圆的
上、下焦点,是抛物线的焦点,点是
与在第二象限的交点, 且
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)与圆相切的直线交椭于,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围.
【知识点】考查椭圆、抛物线的基本量运算，直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系其中还糅合着函数值域的求法。
【答案解析】(Ⅰ)由题知,所以,
又由抛物线定义可知,得,
于是易知,从而,
由椭圆定义知,得,故,
从而椭圆的方程为……………………………………………………………6分
(Ⅱ)设,则由知,
,且,……①
又直线与圆相切,所以有,
由,可得……②
又联立消去得
且恒成立,且,
所以,所以得…………8分
代入①式得,所以
又将②式代入得,,……………………………………10分
易知,所以,
所以的取值范围为…………………………13分
【思路点拨】（1）运用抛物线和椭圆的定义解题；（2）利用直线和圆相切得到k和t 的关系，在联立直线和椭圆方程，利用根与系数的关系得到P坐标，带入椭圆方程，再分离变量求函数的值域。

22.(本小题满分13分)
设和是函数的两个极值点,其中.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)若为自然对数的底数),求的最大值.
【知识点】利用导数研究函数的极值问题，考查运算求解能力、等价转化能力、函数与方程的思想，考查分析问题和解决问题的能力。
【答案解析】(Ⅰ)函数的定义域为,.
依题意,方程有两个不等的正根,
故有,解得,且,
所以,
，
又,所以的取值范围是.……………6分
(Ⅱ)由,

令,所以,
又因为,
所以,可化为
,因为,所以得,求在上最大值,
由,所以在上递减,
所以,故的最大值为.…………………13分
【思路点拨】（1）函数的极值点问题通常都转化为导数值为0来解决。（2）构造函数。把所求问题进行适当的转化，转化为大家熟悉的知识上来。