福建省云霄立人学校2023届数学高一上期末检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．在下列各图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是

A.（1）（2） B.（1）（3）
C.（2）（4） D.（2）（3）
2．已知函数在上存在零点，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
3．下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A B.
C. D.
4．在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（）
A. B.
C. D.
5．已知两条直线，，且，则满足条件的值为
A. B.
C.-2 D.2
6．圆的圆心到直线的距离是（ ）
A. B.
C.1 D.
7．已知集合A ={x|－1 ≤ x ≤2}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（）
A.{0，1} B.{－1，0，1}
C.{0，1，2} D.{－1，0，1，2}
8．已知，且α是第四象限角，那么的值是（ ）
A. B.－
C.± D.
9．已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数m的值是（）
A或2 B.2
C. D.1
10．要得到函数的图象，只需将函数的图象向（ ）平移（ ）个单位长度
A.左 B.右
C.左 D.右
11．已知函数，则　　
A.1 B.
C.2 D.0
12．下列四个命题:①三点确定一个平面;②一条直线和一个点确定一个平面;③若四点不共面,则每三点一定不共线;④三条平行直线确定三个平面.其中正确有
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．若函数（常数），对于任意两个不同的、，当、时，均有（为常数，）成立，如果满足条件的最小正整数为，则实数的取值范围是___________.
14．已知函数，若，，则的取值范围是________
15．已知，若方程有四个根且，则的取值范围是______.
16．某校高中三个年级共有学生2000人，其中高一年级有学生750人，高二年级有学生650人.为了了解学生参加整本书阅读活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么在高三年级的学生中应抽取的人数为___________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知函数f（x）=Asin（ωx+） （x∈R，A＞0，ω＞0，||＜）的部分图象如图所示，

（Ⅰ）试确定f（x）的解析式；
（Ⅱ）若=，求cos（-α）的值
18．如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.

19．已知
（1）化简；
（2）若=2，求的值.
20．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求的单调递增区间.
21．某工厂以的速度生产运输某种药剂（生产条件要求边生产边运输且），每小时可以获得的利润为元
（1）要使生产运输该药品获得的利润不低于4500元，求的取值范围；
（2）为何值时，每小时获得的利润最小？最小利润是多少？
22．设函数.
（1）若不等式的解集为，求实数a，b的值；
（2）若，且存在，使成立，求实数a的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、D
【解析】由线性相关的定义可知：（2）中两变量线性正相关，（3）中两变量线性负相关，故选：D
考点：变量线性相关问题
2、A
【解析】根据零点存在定理及函数单调性可知,,解不等式组即可求得的取值范围.
【详解】因为在上单调递增,
根据零点存在定理可得,
解得.
故选:A
【点睛】本题考查了函数单调性的判断,零点存在定理的应用,根据零点所在区间求参数的取值范围,属于基础题.
3、C
【解析】
根据常见函数的单调性和奇偶性，即可容易判断选择.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，奇函数，不符合题意；
对于B，，为偶函数，在上单调递减，不符合题意；
对于C，，既是偶函数，又在上单调递增，符合题意；
对于D，为奇函数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查常见函数单调性和奇偶性的判断，属简单题.
4、C
【解析】如图，取中点，

则平面，
故，因此与平面所成角即为，
设，则，，
即，
故，故选:C.
5、C
【解析】根据两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，可得 求得 a=﹣2，
故选C
6、A
【解析】根据圆的方程得出圆心坐标（1，0），直接依据点到直线的距离公式可以得出答案.
【详解】圆的圆心坐标为（1，0），
∴圆心到直线的距离为.
故选：A.
【点睛】本题考查点到直线距离公式，属于基础题型.
7、C
【解析】利用交集定义直接求解
【详解】∵集合A ={x|－1 ≤ x ≤2}，B={0，1，2，3}，
∴A∩B＝{0，1，2}
故选：C
8、B
【解析】
由诱导公式对已知式子和所求式子进行化简即可求解.
【详解】根据诱导公式：，所以，，故.
故选：B
【点睛】诱导公式的记忆方法：奇变偶不变，符号看象限.
9、C
【解析】由函数是幂函数可得，解得或2，再讨论单调性即可得出.
【详解】是幂函数，，解得或2，
当时，在上是减函数，符合题意，
当时，在上是增函数，不符合题意，
.
故选：C.
10、C
【解析】因为，由此可得结果.
【详解】因为，所以其图象可由向左平移个单位长度得到.
故选：C.
11、C
【解析】根据题意可得，由对数的运算，即可求解，得到答案
【详解】由题意，函数，

故选C
【点睛】本题主要考查了函数值的求法，函数性质等基础知识的应用，其中熟记对数的运算性质是解答的关键，着重考查了考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于基础题，
12、A
【解析】利用三个公理及其推论逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于①，三个不共线的点可以确定一个平面，所以①不正确；
对于②，一条直线和直线外一点可以确定一个平面，所以②不正确；
对于③，若三点共线了，四点一定共面，所以③正确；
对于④，当三条平行线共面时，只能确定一个平面，所以④不正确.
故选：A.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】分析可知对任意的、且恒成立，且对任意的、且有解，进而可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
详解】
，
因为，由可得，
由题意可得对任意的、且恒成立，
且对任意的、且有解，
即，即恒成立，
或有解，
因为、且，则，
若恒成立，则，解得；
若或有解，
则或，解得或；
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
14、
【解析】先利用已知条件，结合图象确定的取值范围，设，即得到是关于t的二次函数，再求二次函数的取值范围即可.
【详解】先作函数图象如下：

由图可知，若，，设，则，，
由知，；由知，；
故，，
故时，最小值为，时，最大值为，
故的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题解题关键是数形结合，通过图象判断的取值范围，才能分别找到与相等函数值t的关系，构建函数求值域来突破难点.
15、
【解析】作出函数的图象，结合图象得出，，得到，结合指数函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，
因为方程有四个根且，
由图象可知，，可得，
则，
设，所以，
因为，所以所以，
所以，即，
即的取值范围是.
故答案为：.

【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和指数函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.
16、
【解析】求出高三年级的学生人数，再根据分层抽样的方法计算即可.
【详解】高三年级有学生人，
用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本，
应抽取高三年级学生的人数为.
故答案为：

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、 (1) ;(2) .
【解析】（Ⅰ）由图象可知A=2,=－=, ∴T=2,ω==π
将点(, 2)代入y=2sin(πx), 得 sin()=1, 又|| <
所以 =.故所求解析式为f(x)=2sin(πx＋) (x∈R)
（Ⅱ）∵f() =, ∴2sin(＋) =, 即, sin(＋) =
∴cos(－a)=cos[π－2(＋)] =－cos2(＋)=2sin2(＋)－1 =
考点：由y= A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
点评：本题考查由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，突出考查特值法与排除法的综合应用，考查分析与计算的能力，属于中档题
18、 (1)同解析（2）异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.（3）点A到平面PCD的距离d＝
【解析】解法一：
（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO，

在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因AD＝2AB＝2BC＝2，
在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，
在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，
在Rt△PBO中，PB＝,

cos∠PBO=,
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.
(Ⅲ)

由（Ⅱ）得CD＝OB＝，
在Rt△POC中，PC＝，
所以PC＝CD＝DP，S△PCD=·2=.
又S△=
设点A到平面PCD的距离h，
由VP-ACD=VA-PCD，
得S△ACD·OP＝S△PCD·h，
即×1×1＝××h，
解得h＝.
解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.

则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），
D（0，1，0），P（0，0，1）.
所以＝（-1，1，0＝（t，-1，-1），
∞〈、〉=，
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，
（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x0,y0,x0），
由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），
则　　n·＝0，所以　　-x0+ x0=0,
n·＝0，　　　　-x0+ y0=0，　
即x0=y0=x0,　　　　
取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).
又=(1,1,0).
从而点A到平面PCD的距离d＝
19、（1）=（2）2
【解析】（1）利用诱导公式即可化简.
（2）利用同角三角函数的基本关系化简并将（1）中的数据代入即可.
【详解】解：（1）
.
（2）由（1）知，

【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式以及同角三角函数的基本关系“齐次式”的运算，需熟记公式，属于基础题.
20、（1）；
（2），.
【解析】(1)利用三角恒等变换公式化简f(x)，即可求正弦型函数最小正周期；
(2)根据正弦函数的单调递增区间即可求复合函数f(x)的单调递增区间.
【小问1详解】
，
∴，即函数的最小正周期为.
【小问2详解】
令，，
解得，，
即函数的单调递增区间为，.
21、（1）；
（2）当为时，每小时获得的利润最小，最小利润为1300元.
【解析】（1）由题设可得2x＋1＋≥15，结合求不等式的解集即可.
（2）应用基本不等式求y＝100(2x＋1＋)的最小值，并求出对应的值.
【小问1详解】
依题意得：3×100(2x＋1＋)≥4500，即2x＋1＋≥15，
由3＜x≤10，故＞0，可得x2－9x＋18≥0，即(x－3)(x－6)≥0，解得x≤3或x≥6，
∴x的取值范围为[6,10].
【小问2详解】
设每小时获得的利润为y.
y＝100(2x＋1＋)＝100[2(x－2)＋＋5] ≥100[2＋5]＝100(8＋5)＝1300，当2(x－2)＝时取等号，此时x＝4
于是当生产运输速度为4kg/h，每小时获得的利润最小，最小值为1300元
22、（1）；
（2）或.
【解析】（1）根据的解集为，利用根与系数的关系求解；
（2）根据，得到，再由存在，成立，分，，，利用判别式法求解.
【小问1详解】
解：因为的解集为，
所以，解得；
【小问2详解】
（2）因为，所以，
因为存在，成立，
即存在，成立，
当时，，成立；
当时，函数图象开口向下，成立；
当时，，即，
解得或，此时，或，
综上：实数a的取值范围或.