轴对称图形三友辅导八年级数学11月2日用10份.doc

《 轴对称图形》

一、细心选一选（每小题3分，共24分）
1．（3分）（2009•邵阳）下列图形是轴对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

3．（3分）有一个等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则这个等腰三角形的底边长为（　　）

A．
7
B．
3
C．
7或3
D．
5

4．（3分）△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E是BC上的点，∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（　　）

A．
2个
B．
3个
C．
4个
D．
6个

5．（3分）如图，已知∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB，垂足分别为A、B两点，则∠MAB等于（　　）

A．
50°
B．
40°
C．
30°
D．
20°

6．（3分）下列语句中正确的有（　　）句
①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；
②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；
③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；
④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧．

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

7．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）

A．
△ABC 的三条中线的交点
B．
△ABC 三边的中垂线的交点

C．
△ABC 三条角平分线的交点
D．
△ABC 三条高所在直线的交点

8．（3分）如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是（　　）

A．
4
B．
5
C．
6
D．
8

二、耐心填一填（每空题3分，共36分）
9．（6分）请写出4个是轴对称图形的汉字：　_________　．

10．（3分）若等腰三角形的一个外角为130°，则它的底角为　_________　度．

11．（3分）小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是　_________　．

12．（3分）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD=8cm，∠C=60°，则梯形ABCD的周长为　_________　．

13．（3分）已知，在△ABC中，AB=AC=32cm，DE垂直平分AB交AC于E．
（1）∠A=50°，则∠EBC=　_________　°；
（2）若BC=21cm，则△BCE的周长是　_________　．

14．（3分）（2006•芜湖）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么D点到直线AB的距离是　_________　cm．

15．（6分）如图，由Rt△CDE≌Rt△ACF，可得∠DCE+∠ACF=90°，从而∠ACB=90°．设小方格的边长为1，取AB的中点M，连接CM．则CM=　_________　，理由是：　_________　．

16．（3分）如图所示，已知O是∠APB内的一点，点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，MN与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN=5cm，则△OEF的周长　_________　cm．

17．（3分）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，三角形顶角度数　_________　．

18．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有　_________　个．

三、动手作一作：（每题有两小题，共10分）
19．（5分）（2006•金华）现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑．如图（1），（2）所示．
观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都是三个小正三角形．
请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．

20．（5分）如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．

四．精心解一解（本题有4小题，共30分）
21．（6分）（2012•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC=∠DCB．

22．（6分）如图梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BD⊥CD，求∠C的度数．

23．（8分）（2012•镇江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．

24．（10分）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．试回答：
（1）图中等腰三角形是　_________　．猜想：EF与BE、CF之间的关系是　_________　．理由：
（2）如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是　_________　．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．

五、附加题：
25．（2009•包头）如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

考点：
轴对称图形．2920630
分析：
根据轴对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

2．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

考点：
等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．2920630
专题：
几何图形问题；综合题．
分析：
利用等腰三角形的概念、性质以及角平分线的性质做题．
解答：
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD=CD，∠BED=∠DFC=90°
∴DE=DF
∴AD垂直平分EF
∴（4）错误；
又∵AD所在直线是△ABC的对称轴，
∴（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF．
故选C．
点评：
有两边相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）
等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）．

3．（3分）有一个等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则这个等腰三角形的底边长为（　　）

A．
7
B．
3
C．
7或3
D．
5

考点：
等腰三角形的性质；三角形三边关系．2920630
专题：
分类讨论．
分析：
根据等腰三角形的性质，可分2种情况对本题讨论解答：①当腰长为3时，②当底为3时；结合题意，把不符合题意的去掉即可．
解答：
解：设等腰三角形的腰长为l，底长为a，根据等腰三角形的性质得，S=2l+a；
①、当l=3时，可得，a=7；则3+3＜7，即2l＜a，不符合题意，舍去；
②、当a=3时，可得，l=5；则3+3＞5，符合题意；
所以这个等腰三角形的底边长为3．
故选B．
点评：
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边性质定理，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．

4．（3分）△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E是BC上的点，∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（　　）

A．
2个
B．
3个
C．
4个
D．
6个

考点：
等腰三角形的判定．2920630
分析：
由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．
解答：
解：AB=AC，∠ABC=36°，
∴∠BAC=108，
∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°．
∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6个．
故选D．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．

5．（3分）如图，已知∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB，垂足分别为A、B两点，则∠MAB等于（　　）

A．
50°
B．
40°
C．
30°
D．
20°

考点：
角平分线的性质；三角形内角和定理．2920630
分析：
由角平分线的性质可得MA=MB，再求解出∠MAB的大小，在△ABM中，则可求解∠MAB的值．
解答：
解：∵∠AOB=40°，且OM为其平分线，∴∠AOM=∠BOM=20°，
又MA⊥OA，MB⊥OB，∴MA=MB，∠AMO=∠BMO=70°，
∴∠AMB=140°，
∴∠MAB=（180°﹣∠AMB）=×（180°﹣140°）=20°，故选D．
点评：
本题考查了角平分线的性质；熟练掌握角平分线的性质，能够求解一些简单的计算问题．

6．（3分）下列语句中正确的有（　　）句
①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；
②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；
③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；

④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧．

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

考点：
轴对称的性质．2920630
分析：
认真阅读4个小问题提供的已知条件，根据轴对称的性质，对题中条件进行一一分析，得到正确选项．
解答：
解：①关于一条直线对称的两个图形一定能重合，正确；
②两个能重合的图形全等，但不一定关于某条直线对称，错误；
③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴，正确；
④两个轴对称图形的对应点不一定在对称轴的两侧，还可以在对称轴上，错误．
故选B．
点评：
本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，找着每个问题的正误的具体原因是正确解答本题的关键．

7．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）

A．
△ABC 的三条中线的交点
B．
△ABC 三边的中垂线的交点

C．
△ABC 三条角平分线的交点
D．
△ABC 三条高所在直线的交点

考点：
三角形的内切圆与内心．2920630
分析：
由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
解答：

解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选C．
点评：
此题主要考查了线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

8．（3分）如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是（　　）

A．
4
B．
5
C．
6
D．
8

考点：
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．2920630
专题：

压轴题．
分析：
根据∠COP=∠A+∠APO=∠POD+∠COD，可得∠APO=∠COD，进而可以证明△APO≌△COD，进而可以证明AP=CO，即可解题．
解答：
解：∵∠COP=∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，
∴∠APO=∠COD．
在△APO和△COD中，
，
∴△APO≌△COD（AAS），
∴AP=CO，
∵CO=AC﹣AO=6，
∴AP=6．
故选C．

点评：
本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△APO≌△COD是解题的关键．

二、耐心填一填（每空题3分，共36分）
9．（6分）请写出4个是轴对称图形的汉字：　如中、日、土、甲等　．

考点：
轴对称图形．2920630
分析：
根据轴对称图形的概念，以及汉字的特征求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
解答：
解：答案不唯一，如中、日、土、甲等．
点评：
解答此题的关键是掌握轴对称图形的概念，以及汉字的特征．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

10．（3分）若等腰三角形的一个外角为130°，则它的底角为　65°或50°　度．

考点：
等腰三角形的性质；三角形内角和定理．2920630
专题：
计算题；分类讨论．
分析：
根据已知可求得与这个外角相邻的内角，因为没有指明这个内角是顶角还是底角，所以分两情况进行分析，从而不难求得其底角的度数．
解答：
解：∵等腰三角形的一个外角为130°，
∴与这个外角相邻的角的度数为50°，
∴当50°角是顶角时，其底角为65°；
当50°角是底角时，底角为50°；
故答案为：65°或50°．
点评：
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．

11．（3分）小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是　10：51　．

考点：
镜面对称．2920630
专题：
几何图形问题．
分析：
关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际时间．
解答：
解：∵是从镜子中看，
∴对称轴为竖直方向的直线，
∵2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
∴这时的时刻应是10：51．
故答案为：10：51．
点评：
考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5．

12．（3分）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD=8cm，∠C=60°，则梯形ABCD的周长为　40cm　．

考点：
等腰梯形的性质．2920630
专题：
探究型．
分析：
作DE∥AB交BC与点E．则四边形ABED是平行四边形，△DEC是等边三角形，即可求得CD，BE的长度，从而求解．
解答：
解：作DE∥AB交BC与点E．
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=AD=CD=DE=BE=8cm，
∵∠C=60°，
∴△DEC是等边三角形．
∴EC=DC=AB=8cm．
∴梯形ABCD的周长=AD+AB+BC+CD=AB+AD+BE+EC+CD=8×5=40cm．
故答案为：40cm．

点评：
本题考查等腰梯形的性质，正确作出辅助线，把等腰梯形转化成平行四边形与等边三角形是解答此题的关键．

13．（3分）已知，在△ABC中，AB=AC=32cm，DE垂直平分AB交AC于E．
（1）∠A=50°，则∠EBC=　15　°；
（2）若BC=21cm，则△BCE的周长是　53cm　．

考点：
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．2920630
分析：
（1）由DE垂直平分AB交AC于E，可得AE=BE，然后由等腰三角形的性质，可求得∠ABE的度数，又由AB=AC，∠ABC的度数，继而求得答案；
（2）由AB=AC=32cm，BC=21cm，△BCE的周长=AC+BC，即可求得答案．
解答：
解：（1）∵DE垂直平分AB交AC于E，
∴AE=BE，
∵∠A=50°，
∴∠ABE=∠A=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C==65°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=65°﹣50°=15°；

（2）∵AB=AC=32cm，BC=21cm，
∴△BCE的周长是：BC+BE+EC=BC+_AE+EC=BC+AC=21+32=53（cm）．
故答案为：（1）15，（2）53cm．
点评：
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

14．（3分）（2006•芜湖）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD5cm，那么D点到直线AB的距离是　3　cm．

考点：
角平分线的性质．2920630
专题：
压轴题．
分析：
已知给出了角平分线，求的是D点到直线AB的距离，根据点到直线的距离，再根据角平分线的性质即可求得．
解答：
解：由∠C=90°，AD平分∠CAB
作DE⊥AB于E
所以D点到直线AB的距离是DE的长
由角平分线的性质可知DE=CD
又BC=8cm，BD=5cm
所以DE=CD=3cm．
所以D点到直线AB的距离是3cm．

点评：
本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D点到直线AB的距离是CD的长是解决的关键．

15．（6分如图，由Rt△CDE≌Rt△ACF，可得∠DCE+∠ACF=90°，从而∠ACB=90°．设小方格的边长为1，取AB的中点M，连接CM．则CM=　5　，理由是：　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半　．

考点：
直角三角形斜边上的中线．2920630
专题：
网格型．
分析：
先根据网格结构求出AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
解答：
解：由图可知，AB=10，
∵∠ACB=90°，M是AB的中点，
∴CM=AB=×10=5（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
故答案为：5，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

点评：
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，读懂题目信息并熟练掌握性质是解题的关键．

16．（3分）如图所示，已知O是∠APB内的一点，点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，MN与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN=5cm，则△OEF的周长　5　cm．

考点：
轴对称的性质．2920630
分析：
由O是∠APB内的一点，点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，根据轴对称的性质，可得OE=ME，OF=NF，继而可得△OEF的周长=MN，则可求得答案．
解答：
解：∵O是∠APB内的一点，点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，
∴OE=ME，OF=NF，
∵MN=5cm，
∴△OEF的周长为：OE+EF+OF=ME+EF+NF=MN=5（cm）．
故答案为：5．
点评：
此题考查了轴对称的性质．此题比较简单，注意掌握转化思想的应用．

17．（3分）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，三角形顶角度数　45°或135°　．

考点：
等腰三角形的性质．2920630
分析：
首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为45°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为135°．
解答：
解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD=45°，
∴∠A=45°，
即顶角的度数为45°．

②如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA=45°，
∴∠BAD=45°，
∴∠BAC=135°．
故答案为45°或135°．

点评：
本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．

18．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有　8　个．

考点：
等腰三角形的判定；勾股定理．2920630

专题：
网格型．
分析：
根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
解答：
解：如图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故答案为：8．

点评：
此题主要考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．

三、动手作一作：（每题有两小题，共10分）
19．（5分）（2006•金华）现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑．如图（1），（2）所示．
观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都是三个小正三角形．
请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．

考点：
利用轴对称设计图案．2920630
专题：
压轴题；开放型．
分析：
因为正三角形是轴对称图形，其对称轴是从顶点向底边所作垂线，故只要所涂得小正三角形关于大正三角形的中垂线对称即可．
解答：
解：如图．
点评：
解答此题要明确：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；对称轴：折痕所在的这条直线叫做对称轴．

20．（5分）如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．

考点：
作图—基本作图．2920630
分析：
（1）作出∠AOB的平分线，（2）作出CD的中垂线，（3）找到交点P即为所求．
解答：
解：

作CD的中垂线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所作的点P．
点评：
解答此题要明确两点：（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）中垂线上的点到两个端点的距离相等．

四．精心解一解（本题有4小题，共30分）
21．（6分）（2012•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC=∠DCB．

考点：
全等三角形的判定与性质．2920630
专题：
证明题；压轴题．
分析：
利用SAS证得△ACD≌△ABD，从而证得BD=CD，利用等边对等角证得结论即可．
解答：
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∴在△ACD和△ABD中
，
∴△ACD≌△ABD，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，特别是在应用SAS进行判定三角形全等时，主要A为两边的夹角．

22．（6分）如图梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BD⊥CD，求∠C的度数．

考点：
等腰梯形的性质．2920630
分析：
由AB=AD=CD，可知∠ABD=∠ADB，又AD∥BC，可推得BD为∠B的平分线，而由题可知梯形ABCD为等腰梯形，则∠B=∠C，那么在RT△BDC中，∠C+∠C=90°，可求得∠C=60°．
解答：
解：∵AB=AD=CD
∴∠ABD=∠ADB
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠DBC
∴BD为∠B的平分线
∵AD∥BC，AB=AD=CD
∴梯形ABCD为等腰梯形
∴∠B=∠C
∵BD⊥CD
∴∠C+∠C=90°
∴∠C=60°
点评：
先根据已知条件可知四边形为等腰梯形，然后根据等腰梯形的性质和已知条件求解．

23．（8分）（2012•镇江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．

考点：
全等三角形的判定与性质．2920630
专题：
证明题；压轴题．
分析：
（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；
（2）∠GDF=∠ADE，以及（1）得出的∠ADE=∠BFE，等量代换得到∠GDF=∠BFE，利用等角对等边得到GF=GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE=FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直．
解答：
（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，
∵E为AB的中点，∴AE=BE，
在△AED和△BFE中，
，
∴△AED≌△BFE（AAS）；

（2）解：EG与DF的位置关系是EG⊥DF，
理由为：连接EG，
∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，
∴∠GDF=∠BFE，
由（1）△AED≌△BFE得：DE=EF，即GE为DF上的中线，
∴GE垂直平分DF．

点评：
此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．

24．（10分）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．试回答：
（1）图中等腰三角形是　△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC　．猜想：EF与BE、CF之间的关系是　EF=BE+CF　．理由：
（2）如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是　△EOB、△FOC　．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．

考点：
等腰三角形的判定．2920630
专题：
探究型．
分析：
（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC．
（2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB△OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立．
（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE﹣FC．
解答：
解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF．

（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．（证明过程同（1））

（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE﹣FC．理由如下：
同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，
∴∠FOC=∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF=EO﹣FO=BE﹣FC．
点评：
此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．

五、附加题：
25．（2009•包头）如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

考点：
全等三角形的判定与性质；一元一次方程的应用．2920630
专题：
几何图形问题；压轴题．
分析：
（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；
（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长．
解答：
解：（1）①∵t=1秒，
∴BP=CQ=3×1=3厘米，
∵AB=10厘米，点D为AB的中点，
∴BD=5厘米．
又∵PC=BC﹣BP，BC=8厘米，
∴PC=8﹣3=5厘米，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，

∴△BPD≌△CQP．（SAS）
②∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，
∴点P，点Q运动的时间秒，
∴厘米/秒；

（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得x=3x+2×10，
解得．
∴点P共运动了×3=80厘米．
∵80=56+24=2×28+24，
∴点P、点Q在AB边上相遇，
∴经过秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．
点评：
此题主要是运用了路程=速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．

参与本试卷答题和审题的老师有：HLing；sjzx；yeyue；py168；自由人；zcx；fuaisu；CJX；Linaliu；mmll852；sd2011；sks；zxw；kuaile；hbxglhl；星期八；HJJ；算术；wangjc3；ZJX；lf2-9；MMCH；lanchong；蓝月梦；王岑；gbl210；ln_86（排名不分先后）
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2013年10月28日