指数有界双连续n阶m次积分C群的指数公式.pdf

Journal of SouthwestMinzuUniversity(Natural Science Edition)Vol.50 No.2第50 卷第2 期Mar.2024月2024年3西南民族大自然科学版doi:10.11920/xnmdzk.2024.02.012指数有界双连续n阶m次积分C群的指数公式贺凯丽，赵华新，刘娟娟（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安7 16 0 0 0）摘要：利用经典算子半群理论中的研究方法，基于指数有界双连续n阶m次积分C群和预解式的定义，给出指数有界双连续n阶m次积分C群与其预解式间积分的表示关系，得到指数有界双连续n阶m次积分C群的指数公式，从而推广了n阶m次积分C半群的相关结果，丰富了算子半群理论的研究内容，关键词：双连续n阶m次积分C群；指数公式；指数有界；预解式中图分类号：0 152.7;0 17 7文献标志码：A文章编号：2 0 95-42 7 1（2 0 2 4)0 2-0 199-0 7Exponential formula of bi-continuous n-th order m-timesintegrated C-groups with exponential boundednessHE Kai-li,ZHAO Hua-xin,LIU Juan-juan(School of Mathematics and Computer Science,Yan an University,Yan an 716000,China)Abstract:Using the research method of classical operator semigroup theory,based on the definition of bi-continuous n-th orderm-times integrated C-groups with exponential boundedness and resolvent,this paper gave the representation relation of the bi-continuous n-th order m-times integrated C-groups with exponentially boundedness and its resolvent.Then the exponential for-mula of bi-continuous n-th order m-times integrated C-groups with exponentially boundedness was obtained.Thus the correlationresults of n-th order m-times integrated C-semigroups were generalized and the research content of the operator semigroup theorywas enriched.Keywords:bi-continuous n-th order m-times integrated C-group;exponential formula;exponential boundedness;resolvent算子半群理论在泛函分析和实际问题中有着广泛的应用，经过多年的持续发展，算子半群种类不断丰实，许多学者对此作了大量研究工作1-3。一方面，文献4中提出了双连续半群，王文娟等人在文献5-7 中提出双连续C半群，双连续n次积分C半群和双连续次积分C半群在此基础上，张明翠等人在文献8 中提出n阶次积分C半群，在文献9-12 中周阳等人将C半群推广到C群，给出指数有界双连续n阶次积分C群和指数有界双参数n阶次积分C群的定义和其次生成元。另一方面，文献13-16 分别讨论了广义C半群，C半群，双参数C半群，n阶m次积分C半群和双参数n阶m次积分C群的指数公式，对于指数有界双连续n阶m次积分C群的指数公式还尚未被研究本文在此理论基础上，将给出指数有界双连续n阶m次积分C群的定义和预解式,并得到指数有界双连续n阶m次积分C群的指数公式，从而进一步完善了双连续n阶m次积分C群的相关理论1预备知识收稿日期：2 0 2 3-0 7-14通信作者：赵华新（196 4-），男，教授，研究方向：泛函分析.E-mail：y d z h h x 8 15 12 6.c o m基金项目：国家自然科学基金项目（7 196 10 30）；延安大学研究生教改项目（YGYJG2019033）设T(t)eN,o200第50 卷西南民族大自然科学版）文中假设X为无限维的复Banach空间，B(X)是X上的有界线性算子全体所组成的代数，D(A)为线性算子A的定义域，X是X的共轭空间，是X上的局部凸拓扑并具有以下性质：(i)-拓扑比I-拓扑粗且是Hausdorff拓扑；(ii)空间(X,t)在-有界集上序列完备,即对每个I-l-有界的柯西列在(X,t)中收敛；(ii)空间(X,II)中的范数可以由空间(X,t)定义.即对于VxeX，有：Ix/=sup(x,):0(X,)lx0 1.记=(o(X,t):lx.y 1,不失一般性,假设 p(n),xe X,e P.T(l),t e R,n=0,JnT(-ST(s)ds,t E R,n 0.0 I(n+1)T=0当且仅当存在n0使JT(t)=0,tER.2基本概念和引理定义 1 6 设T(0)eB(X),若对每个范数有界序列(x)nen X,当-limx,=,有-limTx,=Tx,则算n-o0n-o0子TEB(X)称为双连续的.定义2 6 设T(t)B(X),若存在M0,R使|T()Me,Vt0成立,则算子族(T()B(X)称为指数有界的.定义3设CeB(X)为单射，m,nEN,(T()CB(X),若存在闭线性算子A,满足：C,m=0(i)T(O):CT(t)=T(t)C,VtER;0,m0(ii)存在闭线性算子A,使得：JmJT(t)e D(A),T(I)x-Cx=AJT(t)x,VxEX,teR;T(m+1)7Cx=JT()Ax,VxeD(A),teR;I(m+1)(i)(T(0)eR EB(X)-连续,即对VxEX映射:tT(1)x T-连续;(iv)(T(0)ieR B(X)等度双连续,即对任意1eR,若对每个范数有界序列(x)e X且-limx,=x,则n-80有T-limTx,=Tx一致成立;n-o0(v)存在M0,ER,使得IT(l)l Mel,Vte R.用可得：201贺凯丽指数有界双连续C群的指数公式次积第2 期称(T(0)ieR是指数有界双连续n阶m次积分C群,其中A为其次生成元.定义4若Rc(a,A)=a-(a-A)C为定义在Banach空间上的有界线性算子,则称a为指数有界双连续n阶m次积分C群的次生成元A的C正则点，Rc(a,A)是A的C预解式A的C正则点的全体称为A的C预解集,记做pc(A).mm引 理 1 6 m-1-le-mdv=1.m引理 2 6 设f():0,+o)X是一-连续函数,且sup(f(0)Me(M 0,0E R),k0,且k为整数,则有：mmt-limm-003主要结果定理1设m,nEN,CeB(X)为单射，A次生成指数有界双连续n阶m次积分C群(T()ieR，则当(a|amax(,0)c pc(A)c时,有:Re(a,A)x=T-J.e-4(l)dll.证明由于指数有界双连续n阶m次积分C群(T(0)ieR的次生成元为A，ma x(0,0),x EX,(T()e R是T-连续的，所以有：T-mTtea T(t)xd l.A同时作用于等式两端,对于VxED(A),由定义3T-AmeAJT(t)xd/ll=0mn+mTT(m+1)e0e/AJT(0)xdll-a-Cx.n+mT0即：t-(a-A)a Je(l)xd/=Cx对于VxED(A),得:Je-()(a-A)xd/=-(a-A)aJe a()xd=aCx.JO则：202第50 卷西南民族大自然科学版a(a-A)Cx=t-aJ.e-aT(l)xd,Vxe X.因此，根据定义4有：Re(a,A)x=t-aJ.e ()xdll,Vxe X.定理2设A次生成指数有界双连续n阶m次积分C群(T()ieR，存在M0，ER，使得T（m）,则有:Re(a,A)x=a(a-A)Cx=-*J.元Jo其中k=0,1,2,n.证明因为A为指数有界双连续n阶m次积分C群的次生成元，所以由定理1可得：Rc(a,A)x=t-ae(l)xdl.:下面对上式右端进行分部积分，当k=1时：-8Rc(a,A)x=t-a+800元-am-le()x+(一2m-1由指数有界性及双连续n阶m次积分C群的性质有：其中：lim-le(a-Rea)M Mx=0,180-am-le-T(l)=0.11=0即：-am-le-T(=0.0因此有：Rc(a,A)x=t-am-1eT()xdl:假设当k=r时，Rc(a,A)x=t-am-()()xd,成立.则当k=r+1时，Rc(a,A)x=t-am-元元出成立203贺凯丽指数有界双连续C群的指数公式积刀第2 期-am-r-le-allT(r)xx+t-e类似于k=1的情形,由指数有界性及双连续n阶m次积分C群的性质有：=010因此有：Rc(a,A)x=t-am(r+1)(1)xd,因此原命题对k=0,1,2,n成立.定理3（指数公式）设A为闭线性算子，A次生成指数有界双连续n阶m次积分C群(T()ieR，存在M0,ER,使得T(m)(),有：Re(a,A)=-J.e(m(ll/xdll.(1)将(1)式右端对允连续求k-1次导数，可得：dk-1e(m)(Isl)xd l=(-1)-(t-J.+80(2)TSd2k-10且有：Rc(u,A)-Re(a,A)=u-(u-A)C-a(a-A)C=(u-A)(a-)c(a-A)-(u-A)(a-A)ac(-A)=(-)(a-A)rrc(-)-c(-)=(-A)(a-)a-(-)C-A(C-c).Rc(u,A)-Re(a,A)=T-lim(-A)(a-)/r-(-)-(r-a-c)=t-lim一元从-元1T-lim(-A)(a-A)a/(-)C=u元1t-lim(a-A)C(-A)c(-)c-1t-lim,Re(a,A)Re(u,A)(a-)C-l=x-m(l)x 0mmt-limRRm-00t(k-1);(c-1mv(T(m)(lvl)x-T(m)(Il)x)d/vl).e+80e0m(k-1):(cm(vtl)xd/vl)-T(m)T()+80ex-(m()，AKm(k1xdv+80mmRm(k！(c-)R.AX:m即有：limR.(2,A(,ARc(u,A)0c-1TlimRc(a,A)Rc(u,A)C-1+Rc(a,A)cTlimlim1)R.(a,A)Rc)Rc(,A).Ct-limRRc(a,A)Rc(u,A)204第50 卷西南民族大自然科学版Re(a,A)c.再由：dRe(a,)=-Re(a,)c-1.d对Rc(a,A)关于a求k-1次导数,可得：a R(a,)(-1)(k-1)/R(a.)(c1).(3)由（2)式和(3)式可得：1Re(a,A)(k-1):(c-)令S=以，几=，代人上式可得：由引理1可得：再由引理2 可得：故：205贺凯丽数有界双车续群的指数公式第2 期k(1)=immRCx=t-limACx.dm-00m-00推论1设A为闭线性算子，A次生成指数有界双连续n阶m次积分C群(T()ieR，存在M0，R，使得T（m)00Jo且等式中的极限对t在任意有界区间上是一致的.证明由定理3 可得：kdm(l)=-immRcCx=t-lim一ACx.damm-80m-00m对上式两端同时取m次积分，可得：T(l)x=t-JRc(（Cx(dl)m)imT一-limRcCx(dl)m)m-00Kt-lim1-(ACx(dt)m)mo参考文献1PAZYA.Semigroups of linear operators and applications to partial differential equation M.New York:Spring Verlag,1983.2宋晓秋应用泛函分析M.江苏徐州：中国矿业大学出版社,2 0 13.3黄永忠：算子半群与应用M.湖北武汉：华中科技大学出版社,2 0 11.4 KUHNEMUND F.A Hille-Yosida theorem for Bi-continuous semigroups J.Semigroup Forum,2003,67(2):205-225.5 王文娟双连续C-半群D.安徽芜湖：安徽师范大学，2 0 0 5.6常胜伟。双连续n次积分C-半群D.陕西延安：延安大学,2 0 0 8.7卢娜双连续次积分C-半群D.陕西延安：延安大学,2 0 10.8 张明翠，宋晓秋，黄翠n阶次积分C半群J.常熟理工学院学报（自然科学），2 0 14,2 8（4）：3 3-3 7.9 周裕然，赵华新，周阳指数有界双连续n阶次积分C半群的生成定理J.河南科学，2 0 2 0,3 8（6）：8 6 1-8 6 4.10】周阳，赵华新，周裕然指数有界双连续n阶次积分C群的次生成元及其性质J.延安大学学报（自然科学版），2 0 2 0,3 9（4）：8 4-8 6.【11赵丹丹，赵华新双参数n阶次积分C半群的预解集J.河南科学，2 0 19,3 7（5：6 8 9-6 9 2.12周阳，赵华新，周裕然指数有界双参数n阶次积分C群的次生成元及其性质J.延安大学学报（自然科学版），2 0 2 0,3 9（3：9-12+15.13刘嫂，宋晓秋，廖大庆。广义C半群的指数公式与逼近J.徐州师范大学学报（自然科学版）,2 0 0 7（3）：3 2-3 4+3 9.14赵拓，赵华新，徐敏.C半群和双参数C半群的指数公式J.天津师范大学学报（自然科学版）,2 0 13,3 3（4）：13-15.15】刘乔乔，赵华新.n阶m次积分C半群的指数公式J.江西科学,2 0 2 1,3 9（3）：43 6 43 8+47 3.16白洋，赵华新，双参数n阶m次积分C群的指数公式J.数学的实践与认识，2 0 2 3,53（3）：2 2 9-2 3 5.（责任编辑：张阳，付强，和力新，肖丽；英文编辑：周序林，郑玉才）