受迫量子谐振子若干问题的讨论-物理学--毕业论文.doc

受迫量子谐振子若干问题的讨论摘 要目前，受迫量子谐振子问题的研究已经成为一个热点，含时受迫谐振子系统是量子力学中能够精确求解其含时薛定谔方程的的少数几个量子系统之一。本文首先描述了经典的受迫谐振子，后对量子力学中的谐振子作了初步描述，然后依据含时非齐次波个留夫变换的公式体系详细讨论了受迫量子谐振子的薛定谔方程精确解并且用初等的方法探讨了谐振子的跃迁几率问题。关键词：受迫量子谐振子；薛定谔方程；波函数；跃迁几率20ABSTRACTAt present, the research of compelled Quantum harmonic oscillator have already become a hot spot, this is the question we can give a exact solution in Quantum questions .This article first describes the classical harmonic oscillator, latter make a preliminary description of quantum mechanics harmonic oscillator, then discussed the compelled quantum harmonic oscillator in detail and give the Schrdinger equation exact solution and study the transition probability of the harmonic oscillator.Key words: compelled Quantum harmonic; Schrdinger equation; transition probability; transition probability目 录引言11经典谐振子.21.1经典谐振子的描述 .21.2阻尼谐振子.31.3受迫谐振子.52受迫谐振子.62.1量子谐振子（一维）.62.2受迫量子谐振子薛定谔方程的精确解.92.3谐振子在含时均匀外场下跃迁概率的精确解.13参考文献.17致谢.18引 言 在物理学的学习过程中，我们经常遇到谐振子的有关问题。理学中谐振子是在物理学习中必须接触到的一种非常典型的物理模型，其处理方法和有关知识几乎涵盖了经典力学和量子力学中的典型知识。了解谐振子问题是物理学习者学习物理的基础，其内容包罗万象，对物理学的发展特别是近代量子力学的发展起了不可磨灭的作用，其在固体物理，统计力学以及一些相关学科中的应用广泛，学好谐振子有关知识是从事物理事业的基础，从而可见谐振子模型在整个物理学尤其是近代物理学的发展和成熟中的举足轻重的地位和难以估量的作用，现在谐振子问题是物理学中非常实用的知识，在近代物理学，特别是近百年来量子力学的发展中有着不可忽视的作用，其处理方法为以后研究物理，拓宽物理识，解决有关的物理问题提供一点参考。目前，由于含时受迫谐振子系统不但可以精确求解，而且在量子光场介观电路系统等有着重要的应用，含时受迫谐振子系统已经成为研究的一个热点，我们采用初级的方法对谐振子薛定谔方程进行了精确求解，并且解出谐振子在含时均匀外场下跃迁概率的精确解。1 经典谐振子1.1理想谐振子的经典描述 理想谐振子就是经典力学中做简谐振动的谐振子，其代表为弹簧振子，下面谈一下理想谐振子的有关知识。1.1.1弹簧振子的定义 将水平放置的弹簧一端固定，另一端与穿在水平杆上的小球相连，忽略小球与杆之间的摩擦力和空气阻力，把小球看作质点，弹簧的质量远小于小球的质量，可以忽略不记，则弹簧和小球所组成的系统就称作弹簧振子。1.1.2弹簧振子的动力学特征 将小球看作质点，弹簧自由伸长时质点的位置是平衡位置，依此为坐标原点建立坐标系0- x，x表示质点的位置坐标，也相当于质点的位移，也就是弹簧的伸长量，当x很小时，力fx与x之间成线形关系，即： fx=-kx (1-1) (k是弹簧劲度系数)。以m表示质量，根据牛顿第二定律知： m=-kx (1-2) 用m除以上式两端，并令上式可写作： m0 （1-3）式中的决定于弹簧的劲度系数和小球的质量这就是弹簧振子的动力学方程1.1.3理想谐振子的运动学方程 根据运动学公式可知，如果已知理想弹簧振子中质点的位置岁时间的变化规律，即运动学方程，就能充分描述质点的运动状况，下面我们就根据理想谐振子的动力学方程来求其运动学方程，并讨论其运动学特征。 根据常微分方程理论，微分方程m+x = 0的解可以写作； x=Acos(t +) (1-5) 其中是谐振子振动的强度，是谐振子在振动过程中偏离平衡位置的最大位移，称为振幅。是振动初相位，t + 是振动的相位。称为圆频率。由于是由振动系统本身的性质决定的，故称为固有圆频率。 从上面可以看出，理想谐振子的运动轨迹是正余弦曲线，随着时间的推移在不断的向推移。1.1.4理想谐振子的能量转化振子在运动过程中，发生动能和弹性势能之间的相互转化，设在转化过程中振子的位移为x，速度为v,则整个系统的总能量可以表示为： kx2 +mv2 =E总 （1-6） 当速度为零时，振子恰好运动到最大位移处，故有： KA2 = E总 （1-7） 由上两式可以知道： kx2 +mv2 =KA2 (1-8) 式（1-8）就称为理想谐振子的能量转化表达式，故知振子在运动过程中遵循机械能守恒定律。由上式可以分析振子在运动过程中的能量转化。1.2阻尼谐振子以上讨论均假设质点在振动过程中不受任何阻力，这只是理想的状态，在现实中谐振子都是受到阻力的，在运动过程中都是在做振幅逐渐减小的运动，这种受到阻力的谐振子就称为阻尼谐振子，它是谐振子的一种现实模型，下面我们就研究一下这种谐振子模型。设振动速度较小时，可认为摩擦力正比于质点的速率，为简单起见，设质点在一条直线上，在平衡位置附近做往复运动，我们选择质点平衡位置为原点。令坐标轴与质点的轨迹重合，则有： f x = - vx = - (1-9)其中为阻力系数，它与周围媒质的性质有关，负号表示阻力与质点速度的方向相反，则根据牛顿第二定律可知：m (1-10） 以m遍除各项可转化为如下方程式： （1-11） 令， 则即为振动系统的固有圆频率，即为阻尼因数，和振动系统以及媒质的性质有关，故方程可转化为： 2x = 0 (1-12)按照微分方程理论，对于一定的振动系统，可根据阻尼系数大小的不同，由运动学方程解出三种可能的运动状态：（）欠阻尼状态：当阻力很大时，以至，可由（1-12）式求出质点的运动学方程：x =Ae-cos(t +) = （1-13）A和为待定系数由初始条件决定，因子Ae-表示不断随时间而衰减的振幅，cos( +)则表示以为圆频率周期的变化，二因子相乘表示质点做运动范围不断减小的往复运动，故称这种状态为欠阻尼状态（）过阻尼状态 当阻力很大，以至根据微分方程理论可知（1-12）式的解为：x =C1e-(-) + C2e- （1-14） 其中C和C是由初始条件决定的常数。上式表明，随时间的推移，质点坐标单调的趋于零，质点运动不仅使非周期的，甚至是不往复的，则称这种运动状态为过阻尼状态。（）临界阻尼状态如阻力的影响介于前两者之前，且，则方程（1-12）式的解可表示： x =( C1 + C2t )e-t （1-15） C和C2由初始条件决定，此式仍不表示往复运动，由于阻力较前者为小，将质点移开平衡位置释放后，质点很快回到平衡位置并停下来，这种运动状态称为临界阻尼状态。为了区分这三种状态，可参照以下这三种状态的图象:xT0xt0xto（c）临界阻尼状态(b)过阻尼状态（a）欠阻尼状态1.3受迫谐振子 现在讨论在欠阻尼状态谐振子振动系统上加上周期性外力所发生的振动，我们称振动系统在连续的周期性外力作用下进行振动的谐振子称为受迫谐振子，下面简要的研究一下受迫谐振子的有关特性：1.3.1受迫谐振子振动的运动学方程设质点受到三种力：弹簧的弹力kx,阻尼力，周期性外力F(x)=F0cos,根据牛顿第二定律得其运动学方程为： m=kx+F0cost (1-16)为方便起见可令：，代入（1-16）式可化简为如下方程： 2t （1-17）这就是受迫谐振子的动力学方程的常见形式，其中称为参量。1.3.2受迫谐振子振动的运动学特征根据微分方程的理论，方程（1-17）的解为： tcos(t) （1-18） A和是由初始条件决定的积分常数，此解为两项之和，表明质点运动包含两个分运动，第一项为阻尼振动，随时间的推移而趋向于消失，它反应了受迫振动的暂态行为，第二项表示与驱动力频率相同时振幅为A0的周期振动。1.3.3受迫谐振子的位移共振对于一定的振动系统，在阻尼条件一定的条件下，最初振幅随驱动力频率的增大而增大，待达到最大值后，随驱动力频率的增大而减小，最后驱动力达到很高频率而质点几乎不动。当驱动力频率取一定值时，振幅获得最大值，振动系统受迫振动时，其振幅达到极大值的现象称为位移共振，这时驱动力的圆频率为，这一频率称为共振圆频率，位移共振有很高的利用价值。2 量子受迫谐振子2.1一维量子谐振子振动是运动的基础形态之一，而简谐振动是最简单，最基础的形式。体系在平衡位置附近的小振动，如分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等。然而在选择合适的坐标之后，对于一个复杂的振动往往可以分解成彼此独立的若干个一维简谐振动。在力学中简谐振动往往可作为复杂运动的近似，它是抽象的理想化物理模型。所以，对谐振子的研究无论在理论上，还是在应用上都具有广泛的意义。因此在量子力学中研究一维谐振子的量子状态便有普遍意义。在经典力学中，一维谐振子势能为，坐标与时间的关系为，式中为振幅，为初位相。由于微观粒子具有波粒二象性，所以量子力学中一维谐振子问题与经典力学不同。在量子力学中我们必须通过对定态薛定谔方程进行求解，得出体系能级和波函数。下面我们首先在坐标表象中利用级数解法对一维谐振子进行求解。取振子平衡位置为坐标原点，选原点为势能零点，一维谐振子势能为 （2-1)式中k是刻画简谐作用力强度的参数。可见理想谐振子势为一个无限深抛物线势阱。设振 质量为m,令 (2-2) 在坐标表象，一维谐振子的定态Schrdinger方程表为 （2-3）对束缚态必须满足如下边界条件： (2-4)令 (2.1.5) 将（2-4）代入（2-3）式得 （2-5）(或x)有限的点是微分方程（2-5）式的常点，而则为其非正则奇点。下面首先讨论方程（2-5）的解在时的渐近行为。当时，方程（2-5）近似表成： （2-6）其解为。但不满足束缚态边界条件（2-4），应舍弃，只取方程（2-6）解为： (2-7)令方程（2-6）的解为: (2-8)代入（2-6）可得满足的方程为： （2-9）此即Hermite方程， 为方程的常点，可在的领域内用幂级数展开来求解。计算表明，在一般情况下，其解为一无穷级数，而当时，无穷级数解的渐近行为是。将其代入式（2-6），所得出的并不能满足束缚态条件。因此，为保证束缚态边条件，必须要求中断为一个多项式。可以证明，只有方程（2-6）中的参数满足： ,n=0、1、2 （2-10）因此方程（2-6）的解为一个多项式，记为（Hermite多项式）。由（2-9）式和（2-5）式可知，谐振子的能量本征值为=0、1、2 (2-11)所以线性谐振子线性谐振子的能量只能取分离值，两相邻能级之差为，对应不同的n或不同的，方程（2-9）有不同的解，称为厄米多项式，即，故对应的波函数为： （2-12）正交归一化条件为 （2-13）其中对应于最低的三条能级上的谐振子的波函数如下： （2-14）讨论：（1）是与能量本征值对应的本征函数。由于谐振子势（2-1）式具有空间反射不变性，所以必有确定的宇称，可证明：（2-15）由上式可知，当n=偶数时 ， 具有偶宇称；n=奇数时， 具有奇宇称。（2）处于基态的谐振子在空间的几率分布为 （2-16）这是一个Guass型分布，在原点(x=0)处找到粒子几率最大。由于粒子能量不难证明，在时，为谐振子的特征长度。按照经典力学观点，基态谐振子只允许在（即）的区域中运动，而属于经典禁区，但按照量子力学中波函数的统计诠释，粒子有一定几率处于经典禁区。 （3）在经典力学中，在至之间区域内找到质点几率与质点在此区域内逗留的时间dt成比例，即（2-17）式中T为振动周期， 有 （2-18）即几率密度与质点速度成反比。对于经典线性谐振子，在点的速度为 (2-19)所以几率密度与成比例。计算表明，谐振子处前几个量子态时，几率密度与经典情况无相似之处，随量子数n增大，相似性随之增加。就平均而言，n愈大，量子结果与经典结果越接近，差别只在于作迅速振荡。 2.2受迫谐振子薛顶谔方程的精确解我们将在文献1提供的非齐次波戈留波夫变换的公式体系，以公式化的方法完成对受迫谐振子薛定谔方程的精确解的求解。2.2.1含时非齐次波戈留波夫变换和SU(1,1)h(4)量子系统单模齐次或非齐次波戈留波夫变换广泛地应用于量子光场压缩态的定义和量子力学系统的简化处理2.这里我们简要列出含时非齐次波戈留波夫变换和它与SU(1,1)h(4)量子系统结合的求解薛定谔方程的公式化方法.非齐次波戈留波夫变换可写成矩阵形式: (2-20) 式中是幺正算符, 和W是列矢量,M是一个22矩阵 (2-21)这里和是波色子的湮没和产生算符.u和v满足.W是对应于平移的一个复数,在薛定谔绘景中,除了和外, ,u,v和w是时间的函数,对方程(2-20)求时间导数并适当处理后,我们得到 (2-22)式中=,=,=构成SU(1,1)李代数,它们满足对易关系,;构成Heisenberg-Weyl李代数,满足对易关系，这样方程(2-22)构成两个子代数SU(1,1)和h(4)的直积和,记为SU(1,1)h(4),函数f(t),g(t),h(t)定义为: （2-23）如果我们把方程(2-22)的解写成Wei-Norman形式（）,即（2-24）容易证明与变换系数u(t),v(t)和w(t)的关系是:=-2lnu(t), ,=-w(t),b2(t)= （2-25）= 现在考虑具有SU(1,1)h(4)李代数结构的含时哈密顿 （2-26）式中Aj(t)是时间的函数,此哈密顿满足演化方程: （2-27）比较(2-26)的演化方程与微分方程(2-22),我们可以得到参变量的两个微分方程: （2-28）=1, =0; =0, = （2-29）=1, =0; =0, =其中 （2-30）以上推导中,我们已用到u(t)=u1(t)+iu2(t)和v(t)=v1(t)+iv2(t),x1,2(t)=u1(t)v1(t)和x3,4(t)=u2(t)v2(t).我们也得到 （2-31）这样从给定含时SU(1,1)h(4)哈密顿的参变函数Aj(t)(j=,0,1,2,3)我们就可按照方程(2-28)(2-31)求解非齐次波戈留波夫变换函数u(t),v(t)和w(t).再由方程(2-6)得到演化算符的展开系数bj(t).从而确定与此哈密顿系统对应的时间演化算符(2-24).假定初始态是一个相干态,则演化态具有形式: （2-32）这里是缔合拉盖尔多项式,Hm()是n阶厄米特多项式.2.2.2含时受迫谐振子的演化算符和波函数系统的哈密顿量为 （2-33）为了进行更精确的计算,我们设F(t)=Fsinwt,G(t)=Gcoswt,其中F和G是常数,引入Dirac算符和它的共轭算符则(2-32)式化为 （2-34）于是从方程(2-28)(2-31)我们解出 v(t)=0 (2-35)由(2-31),我们得到 (2-36)这样,含时受迫谐振子的演化算符可表达为 （2-37）演化波函数可进一步表达为 （2-38）2.2.3谐振子在含时均匀外场下跃迁概率的精确解谐振子在弱外场作用下的跃迁是微扰问题的典型例子.但是随着激光功率的加大,可以产生很强的电场和磁场.这样的激光束在与物质相互作用时,不能再用微扰论处理.该含时体系可以用不变量理论进行求解3.在此我们采用初等的方法求解谐振子在任意强度含时均匀外场作用下波函数的严格形式,并给出跃迁概率的精确解.体系的哈密顿是 (2-39)其中F(t)代表含时外场.我们采用尝试波函数的方式进行求解.为此,设薛定谔方程 (2-40)的解取如下形式: (2-41)其中Wn(x)是的本征函数.指标n=0,1,2,决定函数U(x,t)和q(t)的方程.将式(2-41)代入式(2-40),令实部和虚部分别相等,得到: (2-42)在推导的过程中利用了其中.从式(2-42)的第一式得,而由第二式有.要求二者一致给出 （2-43）这正是经典含时受迫振子的运动方程.利用式(2-43),从式(2-42)不难得到 （2-44）我们看到解式(2-41)是一形状不变的波包,波包中心的运动符合经典的运动方程式(2-43).假设初始时体系处于状态,我们想知道到t时刻体系跃迁到态的概率 （2-45）计算时一个方便的选择是引入谐振子的产生算符和湮没算符4 和,它们与坐标和动量算符的关系是 （2-46）进一步注意到: （2-47a） （2-47b）体系在t时刻的波函数可被重新写成: （2-48）参数,，将式（2-48）代入式（2-45），并利用，经过一些运算后得到的概率振幅 （2-49）当mk时，有 (2-50)当mk时，有 (2-51)形式上令l=m-k+n,(2-51)可以变成（2-50）；令n=k-m+l，式(2-50)可以变成(2-51)。我们来考虑一个特例k=0，将式(2-50)代入式(2-45)得 (2-52)此跃迁概率的极值在处满足关系 （2-53）表明，当经典谐振子的能量等于第m激发态与基态的能量差时，体系最有可能跃迁到该态。在这篇文章里我们首先论述了几种谐振子。然后详细讨论了受迫量子谐振子，并且经过运算，我们得出了受迫谐振子薛定谔方程的精确解以及谐振子在均匀外场作用下的跃迁概率。参 考 文 献1IU W S,LI X P.Time-dependent formulation of the Bogoliubov transformation and 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Phys lett,1989,A138(9):4654Peter R Holland.the quantum theory of MotionM,CAMBRIDGE 19935陆全康，赵惠芬。第2版数学物理方法M。高等教育出版社，2004.488-5286M.V.Berry,Proc.Roy.Soc. Lond.,A392(1984),47周世勋。量子力学教程M。北京高等教育出版社，1979。124-1278 苏汝铿.量子力学M.上海:复旦大学出版社,19979 倪光炯,陈苏卿.高等量子力学M.上海:复旦大学出版社,200010陈本黎,曾民勇.量子力学中的谐振子M.福州:福建科技出版社, 198911徐秀伟。含时谐振子的演化算符和波函数J。物理学报，1999，48（9）：160112党兰芬.含时谐振子系统的时间演化及压缩态J.物理学报, 1998, 47(7): 1071-107713梁麦林,李玉蓉.质量和频率随时间变化的谐振子的经典和量子精确解J.大学物理, 2003, 22(5):15-1614凌瑞良.含时阻尼谐振子的传播子与严格波函数J.物理学报, 2001, 50(8): 1421-1424致 谢在论文的写作过程中，得到系里有关老师的大力支持，特别是系里的指导教师宁学峰的鼎力帮助，他帮着我找资料，反复阅读论文原稿，把不正确的问题挑出了给予指正，并热情的讲解在论文中用到的知识，直到能熟练掌握为止，为此浪费了他许多宝贵的时间，在此表示衷心的歉意。可以说，没有老师的帮助和指导，我完不成这分答卷，并且在论文的编辑过程中，宁老师起了难以估量的作用。总之，由于老师的帮助，我顺利的完成了这份毕业论文，在论文完成之即，向宁老师表示衷心的祝福和诚挚的谢意。向物理系各位领导及提供大量帮助的老师和同学表示诚挚的谢意。