离散变量和随机变量的最优化方法市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

第七章 离散变量和随机变量最优化方法 7.1 7.1 引言引言 7.2 7.2 离散变量优化设计基本概念离散变量优化设计基本概念 7.3 7.3 离散变量优化设计数学模型离散变量优化设计数学模型 7.4 7.4 离散变量优化设计最优解及收敛条件离散变量优化设计最优解及收敛条件 7.5 7.5 随机变量优化设计基本概念随机变量优化设计基本概念 7.6 7.6 随机变量优化设计数学模型随机变量优化设计数学模型 7.7 7.7 随机变量概率约束问题优化设计模型及最优解随机变量概率约束问题优化设计模型及最优解第1页7.1 7.1 引言引言一一.变量类型：变量类型：工程实际问题中不是单一连续变量，经常是各种类型变工程实际问题中不是单一连续变量，经常是各种类型变量混合。有：量混合。有：连续变量连续变量 确定型确定型 整型变量整型变量 离散变量离散变量 随机变量随机变量 不确定型不确定型 混合变量混合变量 所以需要对应优化方法。所以需要对应优化方法。第2页1 1、齿轮传动装置优化设计：齿数、模数、齿宽和变位系数为设计、齿轮传动装置优化设计：齿数、模数、齿宽和变位系数为设计 变量。齿数为整型变量，模数为离散变量，齿宽和变位系数为连变量。齿数为整型变量，模数为离散变量，齿宽和变位系数为连 续变量。续变量。2 2、桥式起重机主梁优化设计：板厚、桥式起重机主梁优化设计：板厚t t1 1,t,t2 2,t,t3 3、主梁高度、宽度为、主梁高度、宽度为 设计变量。板厚为离散变量，设计变量。板厚为离散变量，H H和和B B为连续变量。为连续变量。二二.工程实际设计需要：工程实际设计需要：第3页7.1 7.1 引言引言 三三.传统方法局限：传统方法局限：例例，求离散问题最优解，传统方法是先用连续变量优化设计方求离散问题最优解，传统方法是先用连续变量优化设计方法求连续变量最优解，然后圆整到离散值上。法求连续变量最优解，然后圆整到离散值上。弊病：可能得不到可行最优解，或所得解不是离散最优解。弊病：可能得不到可行最优解，或所得解不是离散最优解。x*X(1)X(2)X(3)x*x*是连续变量最优点；是连续变量最优点；x x(1)(1)是圆整后最近离散点，是圆整后最近离散点，但不可行；但不可行；x x(2)(2)是最近可行离散点，是最近可行离散点，但不是离散最优点；但不是离散最优点；x x(3)(3)是离散最优点。是离散最优点。x10 x2第4页7.2 7.2 离散变量优化设计基本概念离散变量优化设计基本概念一一.设计空间：设计空间：1 1、一维离散设计空间：、一维离散设计空间：在在 x xi i 坐标轴上有若干个相距一定间隔离坐标轴上有若干个相距一定间隔离散点，组成集合称为一维离散设计空间。散点，组成集合称为一维离散设计空间。2 2、P P 维离散设计空间：维离散设计空间：P P 个离散设计变量组成个离散设计变量组成 P P 维离散设计空间。每个离散变量可取有限维离散设计空间。每个离散变量可取有限个（个（l）数值，这些数值可用矩阵）数值，这些数值可用矩阵 Q Q 来表示。来表示。注：注：因为离散变量是有限个，所以离因为离散变量是有限个，所以离 散空间是有界。散空间是有界。某个离散变量取值不足某个离散变量取值不足 l l 个，个，其余值可用预先要求自然数补齐。其余值可用预先要求自然数补齐。qij-1 qij qij+1 Xi第5页7.2 7.2 离散变量优化设计基本概念离散变量优化设计基本概念3 3、N-P N-P 维连续设计空间：维连续设计空间：N N 个设计变量中有个设计变量中有 P P 个离散变量，另外有个个离散变量，另外有个N-P N-P 连续变量。连续变量。N-P N-P 维连续设计空间维连续设计空间:4 4、N N 维设计空间：维设计空间：其中：离散设计空间为：其中：离散设计空间为：连续设计空间为：连续设计空间为：若若 R Rp p 为空集时，为空集时，R Rn n 为全连续变量设计问题；为全连续变量设计问题；若若 R Rp-np-n 为空集时，为空集时，R Rn n 为全离散变量设计问题。为全离散变量设计问题。第6页7.2 7.2 离散变量优化设计基本概念离散变量优化设计基本概念二二.整型变量和连续变量离散化：整型变量和连续变量离散化：是均匀离散1 1、整型变量离散：、整型变量离散：整型变量可看作是离散间隔恒定为整型变量可看作是离散间隔恒定为 1 1 离散变量。是离散变量特离散变量。是离散变量特例。例。2 2、连续变量离散化：、连续变量离散化：有时为了提升优化设计计算效率，将连续变量转化为拟离散变量。有时为了提升优化设计计算效率，将连续变量转化为拟离散变量。方法：方法：第7页7.3 7.3 离散变量优化设计数学模型离散变量优化设计数学模型注注：设计空间有离散空间部分。：设计空间有离散空间部分。但约束面不离散，也不一定分布有离散点。但约束面不离散，也不一定分布有离散点。K-T K-T 条件不再适用。条件不再适用。D混合离散变量优化设计问题数学模型：混合离散变量优化设计问题数学模型：第8页7.4 7.4 离散变量优化设计最优解及收敛条件离散变量优化设计最优解及收敛条件一、离散单位邻域一、离散单位邻域 UN(x)UN(x)和坐标邻域和坐标邻域 UC(x)UC(x)：例例，二维离散空间中，二维离散空间中，离散单位邻域共离散单位邻域共 3 3n n 个点，个点，UN(x)=x,A,B,C,D,E,F,G,H UN(x)=x,A,B,C,D,E,F,G,H；离散坐标邻域共离散坐标邻域共 2n+1 2n+1 个点：个点：UC(x)=x,B,D,E,G UC(x)=x,B,D,E,G。x B GD EA F C Hii0 x1x2第9页7.4 7.4 离散变量优化设计最优解及收敛条件离散变量优化设计最优解及收敛条件二、离散最优解：二、离散最优解：三、收敛准则：三、收敛准则：设当前搜索到最好点为设当前搜索到最好点为 x x(k)(k)，需要判断其是否收敛。在，需要判断其是否收敛。在 x x(k)(k)单单位邻域中查位邻域中查 3 3n n 1 1 个点，若未查到比个点，若未查到比 x x(k)(k)目标函数值更小点，目标函数值更小点，则收敛，则收敛，x*=xx*=x(k)(k)。DDD第10页7.4 7.4 离散变量优化设计最优解及收敛条件离散变量优化设计最优解及收敛条件四、四、伪离散最优解和拟离散最优解：伪离散最优解和拟离散最优解：1 1、伪离散最优解：、伪离散最优解：在判断在判断x x(k)(k)是否收敛时，只在是否收敛时，只在 x x(k)(k)坐标邻域中查点，所得到最优点是坐标邻域中查点，所得到最优点是伪伪离散最优点离散最优点。2 2、拟离散最优解：、拟离散最优解：用以连续变量优化设计方法为基础用以连续变量优化设计方法为基础“拟拟离散法离散法”、“离散处罚函数法离散处罚函数法”等，先求等，先求得连续变量最优解（得连续变量最优解（A A点），再圆整到可行点），再圆整到可行域内最近离散点（域内最近离散点（C C点）点）,是是拟离散最优点拟离散最优点。B B点才是点才是离散最优点离散最优点。第11页7.5 7.5 离散变量优化设计方法离散变量优化设计方法1 1、凑整解法：、凑整解法：将离散变量全部视为连续变量，又连续变量优化方法求解，然后将离散变量全部视为连续变量，又连续变量优化方法求解，然后依据规范和标准调整为离散值。依据规范和标准调整为离散值。第12页7.5 7.5 离散变量优化设计方法离散变量优化设计方法2 2、网格法、网格法 将可行域内全部离散将可行域内全部离散 点全部过一遍，逐一进点全部过一遍，逐一进 行比较，找出最小点。行比较，找出最小点。3 3、离散复合形法、离散复合形法 （自学）（自学）第13页7.6 7.6 随机变量优化设计基本概念随机变量优化设计基本概念一、随机变量概率特征（略）：一、随机变量概率特征（略）：二、随机变量：二、随机变量：随机现象每一个表现，通称为随机现象每一个表现，通称为随机事件随机事件。随机事件可用数值表示，伴随观察重复，可取得一组不一样数值。随机事件可用数值表示，伴随观察重复，可取得一组不一样数值。对随机现象作观察，测量改变量称为对随机现象作观察，测量改变量称为随机变量随机变量。比如，加工了加工了30003000根直径为根直径为 轴。抽取测量了轴。抽取测量了300300根轴根轴直径，直径值分布情况如图，在公差范围内有直径，直径值分布情况如图，在公差范围内有297297根轴。根轴。加工直径为加工直径为 d d 轴，是一个随机事件；轴，是一个随机事件；直径直径 d d 为为 随机变量；随机变量；加工加工30003000根轴，是根轴，是事件总体事件总体；测量测量300300根轴直径，是根轴直径，是事件样本空间事件样本空间。合格合格 99%99%是是事件概率事件概率。第14页7.6 7.6 随机变量优化设计基本随机变量优化设计基本三、随机参数：三、随机参数：已知分布类型和分布参数（或特征参数），且相互独立随机变已知分布类型和分布参数（或特征参数），且相互独立随机变量。量。在优化过程中，随机参数分布类型及分布参数是不随设计点移在优化过程中，随机参数分布类型及分布参数是不随设计点移动而改变。动而改变。随机参数向量表示以下：随机参数向量表示以下：TTTT第15页7.6 7.6 随机变量优化设计基本概念随机变量优化设计基本概念四、四、随机设计变量：随机设计变量：在优化过程中，随机变量分布类型及分布参数（或特征参数）需要在优化过程中，随机变量分布类型及分布参数（或特征参数）需要经过调整改变来求得最优解，而且是相互独立随机变量，称为随机设计经过调整改变来求得最优解，而且是相互独立随机变量，称为随机设计变量。变量。随机设计变量向量表示方法以下：随机设计变量向量表示方法以下：五、分布类型及其参数确定：方法 一：由试验或观察，测量由试验或观察，测量得到随机变量相关数据，作出样本直得到随机变量相关数据，作出样本直方图，然后选择分布类型，进行假设方图，然后选择分布类型，进行假设检验和分布参数预计。检验和分布参数预计。T第16页7.6 7.6 随机变量优化设计基本概念随机变量优化设计基本概念 方法二：依据样品试验、同类事件数据或以往积累经验，先推断一个依据样品试验、同类事件数据或以往积累经验，先推断一个分布类型，再调整分布参数或特征值。分布类型，再调整分布参数或特征值。普通认为：加工误差服从正态分布；寿普通认为：加工误差服从正态分布；寿命服从指数分布或威布尔分布；合金钢强度命服从指数分布或威布尔分布；合金钢强度极限服从对数正态分布。极限服从对数正态分布。若已知离差系数若已知离差系数 c cx x ，则可依据，则可依据 直接在优化过程中迭代均值，经直接在优化过程中迭代均值，经过调整均值和离差系数求得最优解过调整均值和离差系数求得最优解。若若 x xi i 服从正态分布，普通容差服从正态分布，普通容差一样可直接在优化过程中迭代均值，经过一样可直接在优化过程中迭代均值，经过调整均值和容差求得最优解。调整均值和容差求得最优解。第17页7.7 7.7 随机变量优化设计数学模型随机变量优化设计数学模型一、随机设计特征：一、随机设计特征：当设计特征或技术指标表示为随机设计变量和随机参数函数时，当设计特征或技术指标表示为随机设计变量和随机参数函数时，称为称为随机设计特征随机设计特征。二、二、目标函数：目标函数：由随机设计特征定义优化准则函数。由随机设计特征定义优化准则函数。注：工程问题优化设计中，依据工程实际情况选择目标函数类型。注：工程问题优化设计中，依据工程实际情况选择目标函数类型。第18页7.7 7.7 随机变量优化设计数学模型随机变量优化设计数学模型三、约束函数：三、约束函数：四、随机型优化设计数学模型：四、随机型优化设计数学模型：说明说明：min.min.和和 s.t.s.t.只能从概率空间意义来了解；只能从概率空间意义来了解；采取不一样样本组，最优点采取不一样样本组，最优点 x*()x*()是不一样；是不一样；模型类型有很各种，最有实际意义是概率约束型。模型类型有很各种，最有实际意义是概率约束型。TTT第19页7.7 7.7 随机变量概率约束问题优化随机变量概率约束问题优化设计模型及最优解设计模型及最优解一、概率约束问题优化设计模型：一、概率约束问题优化设计模型：T第20页7.7 7.7 随机变量概率约束问题优化设计随机变量概率约束问题优化设计模型及最优解模型及最优解二、概率约束模型最优解：二、概率约束模型最优解：在概率空间（在概率空间（，T T，P P）内，存在一个用均值表示设计点）内，存在一个用均值表示设计点 x*x*，x*=x*=x x*X D*X Da a，使不等式，使不等式 E f(x*,)E f E f(x*,)E f(x,)(x,)对于某个邻域对于某个邻域 N N(x)(x)内全部内全部 x x 都成立，则称都成立，则称 x*x*为概率为概率约束问题最优点，约束问题最优点，E f(x*,)E f(x*,)为最优均值。为最优均值。三、概率约束模型几何解释三、概率约束模型几何解释1、概率约束几何解释：概率约束几何解释：p g p gu u(x,)0(x,)0 u u=0 =0 是概率约束超曲面。是概率约束超曲面。p g p gu u(x,)0 0.5=(x,)0 0.5=0 0 相当于相当于E gE gu u(x,)=0(x,)=0，即，即 g gu u (x,)0(x,)0 连续变量空间中约束超连续变量空间中约束超曲面。曲面。第21页7.7 7.7 随机变量概率约束问题优化设计随机变量概率约束问题优化设计模型及最优解模型及最优解2、随机设计变量模体：随机设计变量模体：概率约束可行域：概率约束可行域：D3、概率约束模型最概率约束模型最优解几何解释：优解几何解释：第22页