随机变量的数字特征.ppt

第三章随机变量的数字特征,通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值。,3.1随机变量的数学期望；,3.2随机变量的方差；,3.3协方差和相关系数;,本章内容：,3.4矩与协方差矩阵.,数字特征,4.1随机变量的数学期望,1.离散型随机变量的数学期望,引例有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出,问题：已知随机变量的概率分布,如何计算其平均值？,解“射击水平”一般用平均击中环数来反映。所以，只要对他们的平均击中环数进行比较即可。,分析：若甲射击N次,设击中8环,9环和10环的次数分别为次，则甲在N次射击中，平均每次击中的环数为由于概率是频率的稳定中心，以表示甲的平均击中环数,则,故认为甲射手的水平较高,由于,可以看出：平均值是以分布概率为权重的加权平均。,定义设离散型随机变量X的概率分布为,P{X=xk}=pk，k=1,2,3…,若级数,，则称级数和,为随机变量X的数学期望（或均值），,记作E（X）,随机变量X的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受X的可能取值的排列次序的影响，因此要求,否则，称随机变量的数学期望不存在．,解易知,例1设随机变量X的分布列为,求,若将此例视为甲、乙两队“比赛”，甲队赢的概率为0.6，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得3分，每输一次扣1分，则E(X)=1.4是指甲队平均每次可得分．,例2按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为,某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望．,解设乘客的候车时间为X,若该乘客8:20到车站,而8点到9点的一趟车已于8:10开走,第二趟车9:10开,则他候车的时间为50min，,该乘客其余候车时间对应的概率可类似得到，于是候车时间X的分布列为,对应的概率为事件“第一趟车8:10开走，且第二趟9:10开”发生的概率,即,解候车时间X的分布列为,从而该乘客候车时间的数学期望为,例2按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为,某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望．,求随机变量X和Y的数学期望．,于是有,解由(X,Y)的联合分布律可得关于X、Y的边缘分布分别为,例3设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布表为,定理1设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为,则,证明关于X的边缘分布为,于是有,同理可得,定义设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分,说明：如果积分收敛，则称随机变量X的数学期望不存在。,收敛，则称积分值为X的数学期望（或均值）。记作E(X)，即,2.连续型随机变量的数学期望,试证X的数学期望不存在．,证因为,例4设随机变量X服从柯西分布其密度函数为,即不收敛，所以X的数学期望不存在．,求X的数学期望.,例5设在某一规定的时间内，一电气设备用于最大负荷的时间X（单位：min）是一个随机变量，概率密度函数为,解由已知可得,例6设二维连续型随机变量的概率密度函数为,解关于X、Y的边缘概率密度函数分别为,求E（X），E（Y）．,于是有,定理2设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y),则有,于是有,证关于X、Y的边缘概率密度函数分别为,3.随机变量函数的数学期望,定理3设X是随机变量，Y=g(X)是X的连续函数，则有,(1)若为离散型变量，其概率函数为,(2)如果X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),如果积分收敛,则有,(3)如果(X,Y)为离散型随机向量，其联合概率分布为P{X=xiY=yj}=piji,j=1,2,3,…,,如果则Z=g(X,Y)的数学期望为,(4)设二维随机向量（X，Y）为连续型随机变量，它的联合概率密度为f(x,y),若收敛,则Z=g(X,Y)的数学期望为：,,,,,所以,其中,求,例7设随机变量，,解,例8设二维随机变量(X,Y)的密度函数为,求,,解,求,求,解,例10设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X(单位：t)是随机变量，它服从[1200，3000]上的均匀分布．若售出这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?,,,解设每年准备该种商品yt,得到平均利润为,则利润为,,,解,利润为,得到平均利润为,当y=2400时，取到最大值，故每年准备此种商品2400t，可使平均利润达到最大．,例10设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X(单位：t)是随机变量，它服从[1200，3000]上的均匀分布．若售出这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?,证可将C看成离散型随机变量，分布律为P{X=C}=1，故由定义即得E(C)=C.,2.设C为常数，X为随机变量，则有E(CX)=CE(X)．,证设X的密度函数为，则有,3.设为任意两个随机变量，都有,1.设C为常数，则有E(C)=C．,4.数学期望的性质,3.设X,Y为任意两个随机变量，都有,证设二维随机变量(X,Y)的密度函数为,则,推广到任意有限多个随机变量之和的情形，有,4.数学期望的性质,4.设X,Y为相互独立的随机变量，则有,证因为X与Y相互独立，故其联合密度函数与边缘密度函数满足,推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形，有,所以,解设随机变量,例11一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客有10个车站可以下车．如到达一个车站没有旅客下车班车就不停．设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立，以X表示停车的次数，求E(X),i=1,2,…,10,由题意，任一旅客在第i个车站不下车的概率为表示第i站没有旅客下车，故20位旅客都不在第i站下车的概率为，在第i站有人下车的概率为，于是得的分布律如下：,例11一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客有10个车站可以下车．如到达一个车站没有旅客下车班车就不停．设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立，以X表示停车的次数，求E(X),解随机变量,=1－0.920,这表明班车平均停车约9次．,解,试验证，但X和Y是不独立的．,解,试验证，但X和Y是不独立的．,所以,X的边缘密度函数,,,同理可得Y的边缘密度函数为,显然有，故X和Y是不独立的．,1.离散型,2.连续型,3.Y=g(X),4.Y=g(X,Y),小结,