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基于教材开发的一道高考数学应用题江苏省灌南高级中学（）王宇 高中数学教材中的例（习）题往往是每年高考数学试卷的命题脚本、“母题库”，合理挖掘教材例（习）题，基于问题场景、知识结构与思想方法等，全面构建数学知识网络体系与数学思想方法体系，架构不同数学基础知识间的链接与应用，合理渗透并应用到高考命题中去 真题呈现（年高考数学新高考 卷 ）（多选题）噪声污染问题越来越受到重视 用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 ，其中常数（）是听觉下限阈值，是实际声压 下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离 声压级 燃油汽车 混合动力汽车 电动汽车 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为，则（）追根溯源探寻以上高考真题的根源与问题背景，其来自于高中数学教材习题的问题场景以及应用，并在此基础上，进一步加以综合与提升，借助“四基”的转化、深入、变形、拓展等，从而实现问题的综合与应用源题（人民教育出版社 年版 数学（必修第一册）第四章 指数函数与对数函数 第 页习题 第 题）声强级（单位：）由公式 （）给出，其中 为声强（单位：）（）一般正常人听觉能忍受的最高声强为 ，能听到的最低声强为 求人听觉的声强级范围；（）平时常人交谈时的声强约为 ，求其声强级解析：（）依题，当 时，代入可得 （）（）；当 时，代入可得 （）（）所以人听觉的声强级范围为 ，（）当 时，代入可得 （）（），所以平时常人交谈时的声强级为 真题破解解析：依题知 ，由 ，则有，即 ，则选项 正确；而由 ，则有 ，即槡 ，可得 槡 ，则选项 错误；又 ，则有 ，即 ，可得 ，则选项 正确；又 ，则有 ，即 ，可得 ，则选项 正确 故选 解后反思：根据题设条件，通过创新定义公式 声压级的对数关系式，结合相应的数据信息，确定燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车这三种不同类型的汽车的不同声源声压级的取值范围，进而通过声压级进行作差比较，并结合对数运算以及不等式的性质来分析与求解，逐个判断相关选项的真假情况，进而得以实际应用 拓展应用例 （届四川省德阳三中高三（上）第一次开学数学试卷）声压级 （）是一个表示声强大小的量，单位为 （分贝），其中 为特定的点声源的声功率级，是常量，是测试点与点声源的距离（单位：米），当测试点从距离点声源 米处移到 米处时，声压级约增加了（）（参考数中学数学研究 年第 期据：，）解析：当 时，当 时，所以所求的声压级约增加了（）（）（），故选 点评：解决此类涉及函数的实际应用问题，掌握对数运算公式是解决问题的关键 从问题中也可以看出，随着距离点声源的长度越大，对应的声压级会有一定数量的变小，也给现实生活与应用提供一定的理论支持例 （届北京市门头沟区高三练习（一）题）在声学中，音量被定义为 ，其中 是音量（单位为 ），是基准声压为 ，是实际声音压强 人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值 经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图 所示，其中 对应的听觉下限阈值为 ，对应的听觉下限阈值为 ，则下列结论正确的是（）图 音量同为 的声音，的低频比 的高频更容易被人们听到 听觉下限阈值随声音频率的增大而减小 的 听 觉 下 限 阈 值 的 实 际 声 压 为 的 听 觉 下 限 阈 值 的 实 际 声 压 为 的听觉下限阈值实际声压的 倍解析：对于选项 ，的低频对应图象的听觉下限阈值高于 ，的高频对应的听觉下限阈值低于 ，所以对比高频更容易被听到，故选项 错误；对于选项 ，从图象上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故选项 错误；对于选项 ，对应的听觉下限阈值为 ，令 ，此时 ，故选项 错误；对于选项 ，的听觉下限阈值为 ，令 ，此时，所以 的听觉下限阈值的实际声压为 的听觉下限阈值实际声压的 倍，故选项 正确 故选 点评：解决涉及函数中的实际应用以及数据分析问题，关键在于正确阅读理解并挖掘题目的内涵与实质，综合数据信息加以分析，结合函数、不等式等的应用来分析与应用 破解此类实际应用问题要注意结合实际，要把握其中的基本问题，同时要符合生活实际例 （届“超级全能生”高考数学联考试卷）在声学中，声压水平（单位：分贝）来度量声音的强弱，定义为 其中，是听觉下限阈值 ，是实际声压 假设第一次测得声音的强度是 分贝，第二次测得声音的强度是 分贝，则第二次与第一次的声压比值约为（参考数据：，槡 ，槡 ，槡 ）解析：设第一次声压为，第二次声压为，依题可知 ，以上两式对应相减，可得 （），则有 ，所以第二次与第一 次 的 声 压 比 值 约 为 ，故填 点评：合理借助声压水平的创新定义，结合问题场景以及对数运算等来综合应用，用于解决一些实际应用问题，为实际应用与决策判断提供合理的科学依据 教学启示高中数学教材的内容具有其它数学教学参考书等方面所不可替代的作用和教育教学功能，而以往的历年高考真题更是具有典型的成功经验与标杆作用，教师要合理引导学生深入领会高中数学教材中对应例（习）题与高考真题等典型问题中所展示出来的专家学者的命题意图，并加以研究和开发，合理追根溯源，不但可以丰富教学内容，还可就地取材，减少所谓的“补充内容”，减少资料书的使用，确实做到为学生减负，同时又能够增加学生动手动脑能力和提高学习兴趣，是一举多得的好事情 年第 期中学数学研究