矢势及其微分方程省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

本章内容：本章内容：电磁场基本理论应用到静磁场情况，即研究恒定电流激发电磁场基本理论应用到静磁场情况，即研究恒定电流激发磁场。磁场。在恒定电流情况下，电场也同时存在，电源及导线表面上都在恒定电流情况下，电场也同时存在，电源及导线表面上都带有一定电荷，但因为电场和磁场与时间无关，因而电场和带有一定电荷，但因为电场和磁场与时间无关，因而电场和磁场能够分开研究。依据麦克斯韦方程组，恒定电流激发磁磁场能够分开研究。依据麦克斯韦方程组，恒定电流激发磁场满足：场满足：与静电场标势相对应，静磁场矢势是一个主要概念。与静电场标势相对应，静磁场矢势是一个主要概念。第三章第三章 静磁场静磁场第1页一、矢势一、矢势1.矢势概念矢势概念恒定电流磁场基本方程是恒定电流磁场基本方程是上两式结合物质电磁性质方程是解磁场问题基础。上两式结合物质电磁性质方程是解磁场问题基础。磁场特点和电场不一样：磁场特点和电场不一样：u静静电电场场是是有有源源无无旋旋场场，电电场场线线从从正正电电荷荷出出发发而而止止于于负负电荷，静电场线永不闭合，能够引入标势来描述。电荷，静电场线永不闭合，能够引入标势来描述。u静静磁磁场场是是有有旋旋无无源源场场，磁磁感感应应线线总总是是闭闭合合曲曲线线。普普通通情况下不能用标势描述。情况下不能用标势描述。3.1 矢势及其微分方程矢势及其微分方程第2页但因为但因为,所以所以B能够表为另一矢量场旋度，即能够表为另一矢量场旋度，即A称为磁场矢势。称为磁场矢势。2.矢势矢势A物理意义物理意义为为了了看看出出矢矢势势A意意义义，我我们们考考查查上上式式积积分分形形式式。把把B对对任任一一个个以回路以回路L为边界曲面为边界曲面S积分，得积分，得这就是经过曲面这就是经过曲面S磁通量。磁通量。设设S1和和S2是两个有共同边界是两个有共同边界L曲面，则曲面，则这正是这正是B无源性表现。无源性表现。第3页因为是无源，在因为是无源，在S1和和S2所包围区域内没有磁感应线发出，也所包围区域内没有磁感应线发出，也没有磁感应线终止，没有磁感应线终止，B线连续地经过该区域，因而经过曲面线连续地经过该区域，因而经过曲面S1磁通量必须等于经过曲面磁通量必须等于经过曲面S2磁通量。这磁通量由矢势磁通量。这磁通量由矢势A对对S1或或S2边界环量表示。边界环量表示。所所以以，矢矢势势A物物理理意意义义是是它它沿沿任任一一闭闭合合回回路路环环量量代代表表经经过过以以该该回回路路为为界界任任一一曲曲面面磁磁通通量量。只只有有A环环量量才才有有物物理理意意义义，而而每点上值没有直接物理意义。每点上值没有直接物理意义。由由矢矢势势A能能够够确确定定磁磁场场B，不不过过由由磁磁场场B并并不不能能唯唯一一地地确确定定矢矢势势A。比如：有沿比如：有沿Z 轴方向均匀磁场轴方向均匀磁场:其中其中B0为常量。为常量。第4页由定义式由定义式:我们不难看出有解：我们不难看出有解：同时还能够看出有另一解：同时还能够看出有另一解：第5页3.确定确定A辅助条件辅助条件A这这种种任任意意性性是是因因为为只只有有A环环量量才才有有物物理理意意义义，而而每点上每点上A本身没有直接物理意义。本身没有直接物理意义。因为任意函数因为任意函数 ，其梯度旋度恒为零，故有，其梯度旋度恒为零，故有即即与与 A对应于同一个磁场对应于同一个磁场B。因因为为A这这种种任任意意性性，要要确确定定A，必必须须加加一一个个辅辅助助条条件。最惯用方法就是令件。最惯用方法就是令第6页证实：在全部能够描述磁场矢势中，必存在一个证实：在全部能够描述磁场矢势中，必存在一个矢势矢势A，满足，满足证：证：设有一个设有一个A，满足满足我们另取一个矢势我们另取一个矢势显然显然 A能够描述磁场，即能够描述磁场，即，但，但现在现在一个解，问题得证。一个解，问题得证。取取 为泊松方程为泊松方程当加上辅助条件当加上辅助条件 以后，以后，A就能够确定下来。就能够确定下来。对对A所加辅助条件称为规范条件。所加辅助条件称为规范条件。第7页二、矢势微分方程二、矢势微分方程1.A微分方程微分方程在均匀线性介质内。在均匀线性介质内。B=A=H，代入方程，代入方程得矢势得矢势A微分方程微分方程H=J 由矢量分析公式由矢量分析公式得得若取若取A满足规范条件满足规范条件 A=0，得矢势微分方程，得矢势微分方程A每个直角分量每个直角分量Ai满足泊松方程满足泊松方程第8页2.若若J已知，求已知，求A对比对比解解方程方程解应为：解应为：所以方程所以方程解为：解为：能能够够证证实实上上式式满满足足规规范范条条件件，所所以以，该该式式确确实实是是微微分分方方程程解解。式式中中x是是源源点点,x为为场场点点，r为为由由x到到x距距离离。若若讨讨论论真真空情形，令空情形，令=0即可。即可。第9页3.依据依据A求求B对于线电流情形，设对于线电流情形，设I为导线上电流强度，作代换为导线上电流强度，作代换JdVIdl，得，得这就是毕奥萨伐尔定律给出结果。这就是毕奥萨伐尔定律给出结果。第10页三、矢势边值关系三、矢势边值关系由由前前面面知知，当当全全空空间间电电流流分分布布J给给定定时时，能能够够计计算算磁磁场场。对对于于电电流流和和磁磁场场相相互互制制约约问问题题，则则必必须须解解矢矢势势微微分方程边值问题必定要用到矢势分方程边值问题必定要用到矢势边值关系。边值关系。在两介质分界面上磁场边值关系为在两介质分界面上磁场边值关系为将场量用矢势将场量用矢势A表示出来，即可得到矢势边值关系。表示出来，即可得到矢势边值关系。矢势边值关系为矢势边值关系为第11页四、静磁场能量四、静磁场能量1.磁场总能量磁场总能量静磁场总能量为静磁场总能量为因为因为所以所以若取规范若取规范A=0，能够证实，能够证实能够用较简单形式能够用较简单形式A1=A2代替。代替。第12页仅仅对对总总能能量量有有意意义义，不不能能把把(A J)/2看看作作能能量量密密度度，因因为为我我们们知知道道能能量量分分布布于于磁磁场场内内，而而不不但但仅仅存存在在于于电电流流分分布布区区域域内。内。和静电情形一样，公式：和静电情形一样，公式：在上式中，矢势在上式中，矢势A是电流分布是电流分布J本身激发。某电流分布本身激发。某电流分布J 在给在给定外磁场中相互作用能量又怎样呢？定外磁场中相互作用能量又怎样呢？2.电流与外磁场相互作用能电流与外磁场相互作用能假假如如我我们们要要计计算算某某电电流流分分布布J在在给给定定外外磁磁场场中中相相互互作作用用能能量量，以以Ae表表示示外外磁磁场场矢矢势势，Je表表示示产产生生该该外外磁磁场场电电流流分分布布，则则总总电流分布为电流分布为J+Je，总磁场矢势为，总磁场矢势为A+Ae，第13页所以，电流所以，电流J在外场中相互作用能为：在外场中相互作用能为：磁场总能量为磁场总能量为因为因为积分表示式中两项相等，所以电流积分表示式中两项相等，所以电流J在外场在外场Ae中相互作用能中相互作用能量为量为第14页ozdzRPI例例1 无穷长直导线载电流无穷长直导线载电流I，求磁场，求磁场矢势和磁感应强度。矢势和磁感应强度。解：解：设设P点到导线垂直距离为点到导线垂直距离为R,电电流元流元利用利用得得积分是发散。计算两矢势差值能够免去发散。积分是发散。计算两矢势差值能够免去发散。Idz到到P点距离为点距离为第15页若取若取R0点矢势为零，计算可得点矢势为零，计算可得取取A旋度得磁感应强度旋度得磁感应强度第16页解：解：线圈电流产生矢势为线圈电流产生矢势为例例2 半径为半径为a导线园环载电流导线园环载电流I，求矢势和磁感，求矢势和磁感应强度。应强度。用用球球坐坐标标(R,)，由由对对称称性性可可知知A只只有有 分分量量，A 只只依依赖赖于于R,而而与与 无无关关。所所以以我我们们能能够够选选定定在在xz面面上上一一点点P来计算，在该点上来计算，在该点上 A=Ay。取。取y分量。因为分量。因为第17页则则上式积分可用椭园积分表示。当上式积分可用椭园积分表示。当 时，能够较简单计算出近似结果。把根式对时，能够较简单计算出近似结果。把根式对展开。在积分表示式中展开式偶次项对展开。在积分表示式中展开式偶次项对积分为零，积分为零，所以只需保留奇次项。所以只需保留奇次项。若我们要计算若我们要计算B(R,)到二级近似。则到二级近似。则A 需要算到三级项。需要算到三级项。第18页,包含远场包含远场此式适用范围是此式适用范围是和近轴场和近轴场我们计算近轴场。这种情况下用柱坐标我们计算近轴场。这种情况下用柱坐标(,z)较为方便。较为方便。展开式实际上是对展开式实际上是对取至取至 3项，有项，有展开式。展开式。第19页取取A旋度，得旋度，得 上式对任意上式对任意z处近轴场成立。若求近原点处场处近轴场成立。若求近原点处场(,za)，可把，可把上式再对上式再对z/a展开，得展开，得 第20页