立体几何习题课分割法补形法求体积等举例市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

立立立立 体体体体 几几几几 何何何何习题课习题课第1页例例1、已知三棱锥两个侧面都是边长为、已知三棱锥两个侧面都是边长为 等边三角等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥体积。形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥体积。ABCSEF提醒：提醒：设三棱锥设三棱锥S-ABC，侧面，侧面SAC、SBC为为等边三角形，边长为等边三角形，边长为 ，SA SB。取。取SA中中点点E，AB中点中点F，连接，连接AE、BE、EF。可证得：。可证得：SC 平面平面ABE。利用：。利用：VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE得三棱锥体积。得三棱锥体积。注意：分割法求体积。注意：分割法求体积。（KEY：）第2页ABCSD例例1、已知三棱锥两个侧面都是边长为、已知三棱锥两个侧面都是边长为 等边三角形，等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥体积。另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥体积。法二：法二：取取ABAB中点中点D D，连接，连接SDSD，CDCD。易得。易得ABCABC为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，ACB=90ACB=90o o。则有。则有SDABSDAB，CDABCDAB。又。又SA=SB=SCSA=SB=SC，SS在底面射影为底在底面射影为底面外心，即点面外心，即点D D，SDSD平面平面ABCABC。由由V VS-ABCS-ABC=S=SABCABCSDSD得三棱锥体积。得三棱锥体积。（解法2）第3页例例2 2、在棱长为、在棱长为a a正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，求求D D1 1到截面到截面C C1 1BDBD距离。距离。ABCDA1B1C1D1提醒：提醒：利用利用 =求解。求解。注意：等体积法求点面距离。注意：等体积法求点面距离。KEY：第4页例例3 3、在各棱长均为、在各棱长均为1 1正三棱柱正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，（1 1）BCBCBCBC1 1 1 1与侧面与侧面 ABBABBABBABB1 1 1 1A A A A1 1 1 1所成角为所成角为_；（2 2）假如）假如M M M M为为CCCCCCCC1 1 1 1中点，则截面中点，则截面ABABABAB1 1 1 1M M M M与底面所成与底面所成 角大小为角大小为_。ABCA1B1C1DB1ABCA1C1MN注：注：（1 1）中利用面面垂直性质找线面成角。）中利用面面垂直性质找线面成角。（2 2）中射影面积公式应用：）中射影面积公式应用：S SAB1MAB1Mcos=Scos=SABCABC.45o第5页例例4 4、三棱锥、三棱锥V-ABCV-ABC中，中，VAVA 底面底面ABCABC，ABC=90ABC=90o o，VA=a VA=a，VB=bVB=b，AC=cACc（c c b b），），M M是是VCVC中点。中点。（1 1）求证：）求证：V V，A A，B B，C C四点在以四点在以M M为球心球面上；为球心球面上；（2 2）求）求VCVC与与ABAB所成角大小。所成角大小。AVBCMEFG第6页例例5、已知三棱锥、已知三棱锥P-ABC，PA=BC=5，PB=AC=，PC=AB=，求三棱锥体积。，求三棱锥体积。提醒：分别以三组对棱作为一长方体相对面对角线，将原三棱锥补成一个长方体，如图，提醒：分别以三组对棱作为一长方体相对面对角线，将原三棱锥补成一个长方体，如图，则则V P-ABC=V长方体长方体-4V 。设长方体长宽高分别为。设长方体长宽高分别为a、b、c，则有：，则有：所以三棱锥所以三棱锥P-ABC体积为体积为20（立方单位）。（立方单位）。PABCPABCPABC第7页例例6 6、三棱锥、三棱锥P-ABCP-ABC中，中，AP=ACAP=AC，PB=2PB=2，将此棱锥沿三，将此棱锥沿三条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形P P1 1P P2 2P P3 3A A。（1 1）求证：侧棱）求证：侧棱PB ACPB AC；（2 2）求侧面）求侧面PACPAC与底面与底面ABCABC所成角余弦值。所成角余弦值。ABCPDBP1P2P3ADCE 22mmmnn（甲）（乙）第8页BP1P2P3ADCE22mmmnnABCPD 解解:(1)（略）（略）(2)甲图中，作甲图中，作PDPDACAC于于D D，连接，连接BDBD，可得，可得 PDBPDB 即为面即为面PACPAC与面与面ABCABC所成二面角平面角。所成二面角平面角。乙图中，作乙图中，作AECPAECP3 3于于E E点，则点，则AE=PAE=P1 1P P2 2=4=4。PA=AC PA=AC，即，即P P3 3A=ACA=AC，EE为为CPCP3 3中点。中点。设设APAP1 1=AC=AP=AC=AP3 3=m=m，CE=EPCE=EP3 3=n=n，由，由CPCP2 2=CP=CP3 3得：得：m-n=2n m-n=2n m=3n m=3n 又在又在ACP3ACP3中有：中有：AECPAECP3 3=ACDP=ACDP3 3 ，而而AE=4 AE=4 ，由由 得：得：DPDP3 3=8/3=8/3，即，即PD=8/3PD=8/3。甲图甲图RtBPDRtBPD里，里，BD=10/3 BD=10/3，cos cos PDB=4/5,PDB=4/5,为所求。为所求。（甲）（乙）2第9页如图，有一轴截面为正三角形圆锥形容器，内部盛水高度如图，有一轴截面为正三角形圆锥形容器，内部盛水高度为为h h，放入一个小球后，水面恰好与球相切，求球半径。，放入一个小球后，水面恰好与球相切，求球半径。R2RhV1V2V2=V1+V球书本书本P81P81第第8 8题题第10页小结：小结：1、分割法求体积；、分割法求体积；2、利用射影面积法求二面角；、利用射影面积法求二面角；3、补形法求体积；、补形法求体积；4、几何体展开问题。、几何体展开问题。第11页