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小波在信号检测中的应用毕业论文诚 信 书我谨在此保证：本人所写的毕业论文(设计)，凡引用他人的研究成果均已在参考文献或注释中列出。论文(设计)主体均由本人独立完成，没有抄袭、剽窃他人已经发表或未发表的研究成果行为。如出现以上违反知识产权的情况，本人愿意承担相应的责任。声明人(签名)：年 月 日摘 要小波分析作为最新的时-频分析工具，在信号分析、图像处理、特征提取、故障诊断等各领域得到了广泛的应用。小波变换具有表征信号局部特征的能力和多分辨率的特征,因此，很适于探测信号中的瞬态和奇异现象, 并可展示其成份。本文在综述小波变换的基本思想与具体性质和原理的基础上，重点介绍了小波在滚动轴承机械故障检测中的应用。滚动轴承机械故障信号分析中基函数的不同将导致对信号的观测角度和观测方法的不同，在小波基函数的选取方面 Fourier变换、短时Fourier变换和小波变换各自的基函数有着的本质区别。本文通过比较故障诊断中常用的各种小波基函数的性能和特点，研究不同的故障信号特征与各种小波基函数的内在联系。利用连续小波变换方法将滚动轴承振动信号的特征信息转化为能量谱与尺度的关系，进而建立尺度和能量相对应的特征向量，为滚动轴承的快速诊断提供了新方法。本文提出一种应用 Daubechies 小波包多层分解、重构提取滚动轴承各部件的故障特征频率和能量特征，通过小波包多层分解确定滚动轴承机械振动的奇异点的方法, 实现故障的精确诊断。关键词：小波分析、故障诊断、滚动轴承、多层分解AbstractWavelet analysis as the latest time - frequency analysis tool in signal analysis, image processing, feature extraction, fault diagnosis and other fields has been widely used. Characterization of the signal wavelet transform has the ability of local features and characteristics of multi-resolution, therefore, it is very suitable for detection of transient signals and singular phenomenon, even to display its components. General speaking the summary of this paper, the basic ideas of wavelet transform and the specific nature, the most important of this paper is focusing on the wavelet applications of fault detection in the rolling machine. In the mechanical failure of the rolling bearing signal analysis, the different basis functions lead to a difference of signal point of observing views and observing methods, which are the essential differences among wavelet transform Fourier transform, short-time Fourier transform. In this paper, by comparing the performances and characteristics of a variety of common used small-wavelet fonctions in fault diagnosis, I research on the internal relations between different characteristics of the fault signal and wavelet fonctions. Making using of continuous wavelet transform method, this paper changes the characteristics of rolling bearing vibration signal information into the relationship of energy spectrum and measure, coming to the establishment a feature vector corresponding to energy and scale, creats the new method for the rapid diagnosis of rolling bearings. In order to accurately diagnosis of fault type, this paper proposes the application of multi-decomposition of Daubechies wavelet packet, reconfiguration of the extraction of fault characteristic frequency and energy feature in components rolling bearing components, by analysing multi-decomposition of Daubechies wavelet packet, we can clearly see the failure point of mechanical vibration in rolling bearing.Key words：Wavelet analysis, fault diagnosis, rolling bearing, multi-decomposition目 录摘 要Abstract第1章 绪 论11.1 论文选题背景和意义11.2 论文研究现状11.2.1：小波分析现状11.2.2：机械故障诊断现状31.3 论文研究方法和内容6第2章 小波分析的理论基础72.1 傅立叶分析及其优缺点72.1.1傅立叶变换(Fourier Transform)72.1.2傅立叶变换的优点与缺点72.2小波分析92.3小波基性能研究112.4针对故障诊断处理的小波分类132.5小波变换对信号奇异性检测的基本原理132.5. 1奇异性的定义132.5. 2小波变换的卷积表达形式142.5. 3小波变换的极值点、过零点与信号奇异性的联系152.6 小波基的选择162.7 最佳小波基的选取172.8 Daubechies小波182.9 小波分解与尺度选择19第3章 滚动轴承的故障及诊断技术213.1滚动轴承的结构213.2滚动轴承失效的基本形式213.3滚动轴承故障的振动诊断223.4 滚动轴承的振动机理及故障特征频率233.4.1滚动轴承的振动机理233.4.2滚动轴承各元件单一缺陷的特征频率243.4.3由滚动轴承构造所引起的振动253.4.5滚动轴承的非线性引发的振动253.4.6滚动轴承损伤(缺陷而引起的振动26第4章 MATLAB对故障奇异信号进行分析274.1检测第一类间断点274.2检测第二类间断点284.3滚动轴承的保持架机械振动信号的故障分析304.4滚动轴承的外滚道机械振动信号的故障分析324.5滚动轴承的内滚道机械振动信号的故障分析33第5章 总结与展望37参考文献38至 谢39附 录40浙江理工大学本科毕业设计(论文)第1章 绪 论1.1 论文选题背景和意义 在信号处理的领域中，存在众多的频域分析方法，其基本思想都是通过研究信号的频谱特征来得到进行信号处理的基本信息，傅里叶分析方法是一种最古老也是发展最充分的方法，但是傅里叶分析方法的严重不足在于不能表达时域信息，应用很受局限，后来提出的短时傅里叶变换虽然可以表达时域信息，但是在空间中的分辨率是固定的，不够灵活，不能反映信号瞬变的特点。如果一个信号在某个时刻的一个小的邻中发生突变，那么整个频谱都将受到影响。因此，在非平稳信号分析和实时信号处理的许多应用中，只有傅里叶变换是不够的。而许多信号的急剧变化之处常常是分析信号特性的最关键之处。小波变换突破了传统傅里叶变换等信号处理方法的限制，在时域和频域上可同时对信号实现局部化处理，这更符合信号非平稳的变频带结构特征，因而在信号检测奇异性等方面具有广泛的应用价值。信号中不规则的突变部分和奇异点往往包含有比较重要的信息，它是信号的重要特征之一。在故障诊断中，例如，机械故障、电力系统故障、脑电图、心电图中的异常，以及地下目标的位置及形状等，都对应于测试信号的突变点，因而对突变点的检测在故障诊断中有着非常重要的意义。1.2论文研究现状 1.2.1小波分析现状小波变换(Wavelet Transform)具有时频局部化分析的优良性能，最适合于非平稳信号分析。小波变换是在 Fourier 变换的基础上发展起来的，它被数学家认为是半个世纪以来调和分析的结晶。1984年，法国地球物理学家J.Morlet首次提出了小波的概念。之后，A.Grossman对Morlet的伸缩、平移小波概念的可行性进行了研究，开创了小波分析的先河。1986年，Y.Meyer创造性构造出二进伸缩、平移小波基函数，掀起了小波研究热潮。不久，P.G. Le marie和G.Batttle又分别独立地给出了具有指数衰减地小波函数。1987年，S.G. Mallat巧妙地将多尺度思想引入小波分析，统一了前人所提出地各类正交小波构造方法，发明了Mallat塔形快速算法。该算法正交、高效，奠定了小波变换工程实用基础1。1988年，I.Daubechies构造了具有紧支集地正交小波基，系统地建立了小波分析理论体系。1989年到1991年，R.R. Coifman,M.V.Wickerhauser提出小波包(Wavelet Packet)概念及算法，推广了Mallat算法，提高了小波变换地频域分辨率，引入Shannon熵评价小波基选取地好坏，1993年DavidE .Newland提出了谐波小波，具有锁定相位的能力，且算法可以利用FFT实现。1994年，J.Geronimo和D.Hardin又提出了由多尺度函数构造多小波(Mutiwavelets)理论。多小波同时具有短支撑、正交性、对称性和高阶消失矩，能够提供完备地信号分解、重构以及良好的边界处理功能，己经在图像压缩等方面成功应用。1994年到1996年，Sweldens 和Daubechies又提出以上升型算法为核心的第二代小波变换理论，使所有的运算都在空间域内进行，既提高了运算效率，又节省了内存容量2。经过近20年的发展，小波变换己经广泛应用于信号及图像处理，语音分析、数值计算、模式识别、量子物理和故障诊断等领域。重庆大学己成功研制开发出小波变换信号分析仪，填补了国内空白。华中理工大学、东南大学、哈尔滨工业大学、西安交通大学等单位也在小波的理论分析和工程应用中开展了大量的研究，先后提出了小波包自回归、基因小波、谐波小波时频剖面、Morlet小波广义阑值消噪等方法，并成功诊断出设备的多种故障，如旋转机械的油膜涡动、动静碰摩、松动、蒸汽激励等故障，往复压缩机进、排气阀泄漏故障诊断，柴油机各缸工作异常、喷油器针阀磨损故障，齿轮裂纹、磨损故障，轴承内外圈故障3。然而，小波分析还在处于发展的初级阶段，离工程实用化和普及还有很大的差距，1995年8月0berwolfach举行的“小波圆桌会议”上，全球致力于小波研究的著名学者们对小波的现状和未来展开了热烈的讨论，指出了小波研究中的问题和不足，展望了小波的未来，这个会议对小波今后的发展具有里程碑式的作用，对此，WimSweldens在文献中给予详细的报道。与会学者一致认为，基函数的选择问题是小波变换征途上的第一难关。小波基函数的现状、正交性、紧支性、衰减性、对称性及光滑性的不同决定了小波特性的千差万别。在信号分解时，若采用了不适宜的基函数，则会由于特征信息被冲淡，反而给故障信号特征的检测和识别造成困难。因此，如何选择合适的小波基是小波变换能否在故障诊断中取得突破性进展的关键。很多学者已经致力于小波包变换最优基和最佳树形结构分解地研究。因为小波包变换的母小波只有一个，最佳树形结构分解实际上是在探索小波包变换最佳尺度，不是真正意义上地最优基小波变换。最优基小波变换应该是根据信号特征选择与其最匹配、最近式的基函数的信号分解。迄今为止，最优小波基仍然没有明确的选择标准，故障诊断中小波基的使用存在随意性。1.2.2机械故障诊断现状机械状态监测和故障诊断(Condition Monitoring&Fault Diagnosis,CM&FD)技术可以用我国中医学的理论简明扼要的概括为八个字，即“望闻问切，对症下药”。“望闻问切”是指状态监测，“对症”意味着提取故障征兆进行分析诊断，“下药”则是制定合理的维修策略。具体来说，状态监测是采用各种测量和监视方法，记录和显示设备运行状态，对异常状态作出报警，为设备的故障分析提供数据和信息。故障诊断则是根据状态监测所获得的信息，结合设备结构特性和参数，对可能要发生或已经发生的故障进行预报。分析和判断，确定故障的类别、部位、程度和原因，提出维修对策，使设备恢复到正常状态。一切机械设备，不管它的规模的大小和性能优劣，在运行过程中迟早会出现这样或那样的故障。尤其是现代科学技术高速发展的今天，机械设备正朝着大型化、高速化、连续化、集中化、自动化的方向发展，机械设备的组成和结构变得越来越复杂，设备的各子系统之间的联系也越来越密切，一旦设备的某个部分在运行过程中出现故障，就很可能中断生产，造成巨大的经济损失，甚至带来灾难性的后果。应用先进的CM&FD技术，不仅可以发现早期故障，避免恶性事故的发生，还可以从根本上解决设备定期维修中不足和过剩维修问题4。 从60年代末开始，国内外的许多学者和工程技术人员对机械故障诊断技术的理论和工程应用方面进行了深入系统的研究，到目前为止，随着信息论、系统论、控制论和计算机技术等前沿学科和先进技术的引入，主要有以下几个方面的研究：(1)传感器技术、测试方法及信号采集技术通过传感器获得的一次信号(原始信号)的可靠性和完备性是故障诊断结果正确与否的前提，所以，在不断提高传感器性能的同时，需要研制新型传感器来测量设备的各种物理参数。美国实业家Bently先生发明的非接触式电涡流传感器可获得转轴的振动信息，为转子动力学、滑动轴承的故障研究做出了卓越的贡献。振动加速度和速度传感器的性能也在不断的改善，特别是造低频传感器的出现，使水轮机、炼钢包回转台、建材转窑、搅拌滚筒的低速回转机械设备的低频振动测量成为可能。另外，用于测量温度、压力、流量、粉尘度、化学气体、声音、电流等物理量的传感器也不断被应用到工程实践。目前，传感器的发展正向复合化、智能化的趋势发展。随着微型机械和纳米技术的完善，有可能研制出“走入”机器内部来观测零件运转和损坏情况的微机器人传感器。如果这一理想得以实现，将会给机械设备CM&FD带来一场革命。随着大规模集成电路、计算机技术和网络技术的进步，使多机组、大规模的信号采集、储存和传输的以实现。为了获得机械设备全方位的运行信息，大部分监测系统都采用多传感器组合方式来实施设备信号采集和状态监测5。目前，一套监测诊断系统往往同时为多台设备服务，它获取信号包括振动量、位移量、运行工艺量(温度、压力、流量等)和状态变量等，系统的测点已经达到数百个以上。多测点、多传感器的采集方式在提供了丰富信号的同时，导致了信号的多样性和复杂性。为了从大量的设备信号中提取有效信息，多传感器信息融合(Information Fusion)和数据挖掘(Data Mining)技术得到了迅速的发胀，但它们的共同前提是必须具备有效的信号处理和特征提取方式。没有这个前提，信息融合和数据挖掘将不能发挥预期的作用。因此，如何对各种复杂信号进行处理、分类和综合，提取出故障特征是故障诊断中富有挑战性的研究课题6。(2)故障机理及故障征兆研究故障机理及故障征兆的研究是CMUD技术的基础。根据研究对象和故障的物理特点，建立相应数学模型一直是故障机理及故障征兆研究的有效手段。国内外学者利用转子学理论，己经对旋转机组的不平横、不对中、弯曲、油膜涡动、油膜振荡、松动、摩擦、磨损、裂纹、喘振等常见故障做了大量的研究，不仅探明了故障机理，而且为旋转机械的优化设计提供了依据。当然，故障诊断是一门实践性很强的科学，从设备的运行、检修中积累知识也是故障机理和征兆研究的重要途径。具有代表性的工作是1968年John Sohre在美国机械工程师学会ASME)石油机械工程会议上撰写了一篇名为“高速涡轮机运行故障的原因与校正”的文章，将典型故障划分为九类二十七种，归纳了四张涉及故障征兆及其可能原因的图表，这些图表一直被工程技术人员作为设备监测和故障诊断的重要依据。我国上海发电成套设备设计研究所和哈尔滨工业大学也在国家“七五”、“八五”期间收集了很多国内200MW, 300MW汽轮发电机组典型故障案例，建立了上千条汽轮发电组规则。在研究人员的不断努力下，旋转机械故障机理的研究己经成为故障诊断学科中迅速发展的分支7。但是，传统转子动力学的研究主要是基于线性转子模型进行的。事实上，转子系统是非线性的，导致其非线性的因素有:部件之间的摩擦、滑动轴承轴油膜力、材料本身物理性质、滚动轴承中的间隙和恢复力、裂纹、大变形和大位移等。基于线性系统原理的转子动力学理论与方法难以对实践中出现的丰富的非线性动力学现象做出准确的描述、阐释和预测。这样，建立基于非线性转子动力学的旋转机组故障机理及故障征兆理论己经迫在眉睫。 复杂机械系统故障诊断是CM&FD面临的难题。复杂机械设备以内燃机为代表，他的运动形式多样，激励源比较多，既有往复运动，又有旋转运动，同时还存在不平衡冲击，导致故障原因的故障与故障征兆的对应关系非常复杂。另外，齿轮、滚动轴承、电机等多种通用机械设备的故障形式和原因也得到深入的研究，如日本丰田利夫教授利用电流来分析电机的故障原因，取得了可喜的成就。我国华中理工大学对机械设备中的钢丝绳断丝监测诊断具有国际领先水平，在工程中取得广泛应用。近期，国内外对锅炉、压力容器、高空索道、电梯、工业提升机械、游乐设施等特种设备的安全监测给予了足够的重视，针对这些特种设备的故障机理研究正在逐渐展开。故障机理研究表明，机械监测诊断将面临大量的非平稳动态信号，这是因为:机械设备运行中，故障的发生或发展导致动态响应信号具有非平稳性;工矿企业中有大量大变工况、非平稳运行的机电设备，它们的运行状态具有非平稳性;机械设备运行中的驱动力、阻尼力、弹性力的非线性以及机械系统本身(材料、刚度等)的非线性，反映在动态信号上具有非平稳性。如何对动态信号的非平稳性进行有效额分析是监测诊断的关键性问题之一8。 通过故障征兆的研究，我们发现不同的机械故障往往具有不同的信号特征。如不平衡、不对中、涡动等故障，它们反应在振动信号中主要为正弦波的叠加:发生了松动、敲击、碰摩、气流激励等故障时，信号中往往会出现单边衰减的冲击响应波形或表现出奇异性;若同时存在两个频率接近的激励源则会出现“鱼腹状”调制波形等等。如果能将复杂的信号按照机械系统不同故障模式的相应时域信号特征进行分解，使分解的特征与系统状态具有一一对应关系，这样，就可以实现故障信号的分解和分类并行处理，从而为非平稳信号的特征提取和识别提供一种新的解决途径。(3)信号分析、处理方法和特征提取技术对信号进行有效的分析、处理来提取故障特征信息，是对机组运行状态进行合理估计和分类的关键。可以说机械故障诊断技术的每一项进展都与信号处理手段的发展密切相关。振动信号分析是故障诊断领域最活跃的一个分支。常用的分析技术包括:滤波和消噪技术、时域分析(波形分析、相关分析、统计分析等)、时序分析自回归谱)、基于Fourier变换的频域分析(幅值谱、功率谱、高精度内插谱、包络谱、倒谱等)和时频分析(短时Fourier变换，Wigner时频谱图)、瞬态分析(波特图、Nyquist图、瀑布图、阶次图)。自从这些传统的信号处理技术应用于机械信号分析以来，使机械故障学科得到迅速发展，并在生产实践中取得辉煌的成就9。1.3 论文研究方法和内容对小波理论从工程技术角度进行了系统的阐述，系统的比较各种常见小波基的特性，研究不同的故障信号特征与各种小波基函数的内在联系，并针对故障诊断的处理小波基适用范围进行了分类。同时对机械故障机理进行分析，研究各个零部件的典型故障，然后通过小波分析方法进行信号分析，提取特征参量。最后根据特征参量辨别故障点。第2章 小波分析的理论基础2.1 傅立叶分析及其优缺点2.1.1傅立叶变换(Fourier Transform)任意 一 个 周期为T的周期函数，若满足狄里赫利条件，则有下式成立: （2.1） （2.2）同样，任意一个非周期信号，若满足狄里赫利条件，则有下式成立 （2.3） （2.4）傅立叶变换的物理意义:把一个信号分解为一组复指数信号组合。对周期信号来说，复指数信号的幅度为ak并且在成谐波关系的一组离散点,k = 0，士1，士2,上出现。对非周期信号而言，这些复指数信号出现在连续频率上，其“幅度”为，非周期信号变换为通常称为的频谱。因为告诉我们这样一个信息，就是是由怎样的不同频率的正弦信号组成的10。2. 1.2傅立叶变换的优点与缺点优点:1)由于分析的基函数是一组正交函数，易于分解，即易于计算各分量的大小。2) 或的物理意义非常明显，是频率为的谐和振动分量，有很大的实用价值。3)两个信号及在时域中的卷积的傅立叶变换等于两者变换后频域的乘积，即这给在频域中描述振动特性带来很大计算上的方便。4) 对数字信号作离散傅立叶变换己经发展子决速算法FFT，可以在很短时间内作谱分析。因此有可能做到实时分析。缺点：为了得到一个频率分量必须知道t从所有时间的信息。实际上是频率分量的一个平均意义上的量。由整体波形所决定，也即傅立叶分析不能作局部分析。例如：设信号，则根据傅立叶变换的时移性质，有。虽然这个两个信号的幅值谱，但是时域波形是不一样的。 为了能着重分析某一时间段内信号的特点，曾提出了短时傅立叶变换。就是给被分析的时域信号加“时间窗”，即乘上一个限制时间段的函数再进行傅里叶变换，其变换如下，注意窗中的是可变的，即窗可以在时间轴上移动使逐步进入被分析状态，这样就可以提供在一局部时间内信号变化快慢程度的特性了。但是加窗傅立叶分析仍然有它的局限性。很显然，此时得到的频谱是的一种近式。有时两者相差很大(取决于信号的频带和窗的形状与大小)。而且由于窗的大小和形状是固定的，对变化着的不同时间段只能使用相同的窗，所以它不能适应信号频率高低的不同要求。例如：设信号，其傅里叶变换 ,其傅里叶变换显然 ，加窗后信号的频谱发生了变化，产生了一定误差。更为重要是，工程中关注的非稳态信号往往是时间较短，频带较宽，能量较小的信号，根据帕斯瓦尔定理(Parseval Theorem)，则有因此，非稳态信号的频谱往往被正常信号和噪声的频谱所淹没，因此，难以从频谱中提取出有用信息。针对这些矛盾，多年来人们试图寻找一种理想的正交函数系，用它们来作变换时既保留傅立叶变换的优点由能弥补傅立叶变换的不足，经过长期的努力和探索，终于找到理想的小波变换11。2.2小波分析 设是平方可积函记作，是被称为基本小波或母小波的函数。则 （2.6）称为的小波变换，式中a0是尺度因子(基于工程的需要，a0不考虑)，反映位移，其值可正可负，符号代表内积，上标*代表取共扼，是基于小波的位移与尺度伸缩。式2.6中不但t是连续变量，而且a和也是连续变量，因此称为连续小波变换，简记CWT.式2.6的内积往往被不严格的解释成卷积。这是因为内积：卷积：两式相比，区别仅在改成。即首尾对调，如果是关于t=o对称的函数，则计算结果无区别;如非对称，在计算方法上也没有本质区别。有些学者是直接按卷积来定义小波变换的。他们所采用的定义是(是基本小波): （2.7）不难证明式2.6, 2.7两个定义有密切联系。当和都是实函数时，如果=，则有小波变换在频域上定义式：由此可见:如果是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换便具有表特征分析信号频域上局部性质的能力。采用不同a值作处理时，各的中心频率和带宽都不一样，但品质因数即(中心频率)/(带宽)却不变。总之，从频域上看，用不同尺度作小波变换大致相当于用一组带通滤波器对信号进行处理。带通的目的既可能是分解，也可能是检测(此时它相当于一组匹配滤波器)12 。从不同的角度观测信号将会得到不同的信息。只有观测位置得当，才能看到信号的庐山真面目。Fourier变换、短时Fourier变换(Short Time Fourier Transform, STFT)和小波变换(WaveletTransform)的本质区别就是信号观测角度和观测方法的不同，这种不同无疑是以基函数的结构和特点为标志的。小波变 换 从基函数（母小波）的角度出发，吸取Fourier变换中的三角基与短时Fourier变换中的时移窗函数的特点，形成紧支撑、振荡、衰减的小波基函数拭t)( 母小波)。小波变换的含义是:把母小波叫作时移后，再在不同尺度a下与待分析信号作内积。由于小波基的伸缩和平移，决定了小波变换是多分辨的。小波变换既看到了森林(信号概貌)，又看到了树木(信号细节)，能精确地在时间一频率(时间一尺度)平面内刻画非平稳信号的特征，被誉为“数学显微镜”。小波变换是迄今为止最优秀的非平稳信号处理方法。小波基的形状、紧支性、衰减性、对称性、光滑性及正交性的不同决定了小波的千差万别。在信号分解时，若采用了不适宜的小波基函数，则会由于特征信号被冲淡，反而给故障信号特征的监测和识别造成困难。小波包变换最优基和最佳树形结构分解实际上是在探索小波包变换最佳尺度，不是真正意义上的最优基小波变换。如何选择合适的小波基是小波变换能否在故障诊断中取得突破性进展的关键。国内外学者的研究表明根据信号特征来选择基函数的信号分解方法是可行的，也是有效的。通过系统比较各种常见小波基的特性，研究不同的故障信号特征与各种小波基函数的内在联系。指出只有根据信号的特征选择相应的小波基进行分解和特征提取，才能有效识别故障信息，使小波变换达到工程实用化13。2.3小波基性能研究（1）紧支性、衰减性 若母小波在区间a, b外恒为0，则称州紧支在这个区间上，即具有紧支性。紧支性决定了小波的局部化能力，支撑区间越窄，时域局部化能力越强。如果母小波不具备紧支性，则希望它有快速衰减性，即当时，趋向于0。衰减性和紧支性一样，也反映了小波的时域局部化能力。（2）光滑性和正规性(Regularity) 若母小波在某一点或某一区间k阶导数连续，但k+1阶导数不连续，则称在在一点或这一区间k阶光滑。光滑阶数k越高，母小波的Fourier变换八叼在频域衰减越快。实际上，利用消失矩可以刻画的光滑性。消失矩定义为:若对所有的满足 (2.8) 则称具有M阶消失矩。式(2.8)也叫做小波的正规性条件。消失矩阶数M越大，越光滑，其频域局部化能力越强。具有高阶消失矩的小波适合于监测高阶导数不连续的信号，因此适合于提取信号的奇异性。但是，光滑性与紧支性或衰减性是矛盾的。也就是说，小波不可能同时在时域和频域都具有良好的局部化性能。因此，小波基的选择只能在紧支性、衰减性与光滑性、正规性之间平衡。（3）对称性和线性相位 令，若它的Fourier变换满足 (2.9)其中k为与时间有关的常数，则称具有线性相位。如果满足 (2.10)其中为常数相位，则称具有广义线性相位。可见，具有线性相位或广义线性相位的小波可以避免对信号进行分解或重构时的相位失真。由信号处理理论可知，一个FIR滤波器至少具有广义线性相位当且仅当它的冲击响应信号是对称或反对称的。因此，小波基的对称性也非常重要。 对称或反对称的小波基在监测信号奇异性时表现是不同的。对信号的过渡点(拐点)或信号边缘，反对称小波在该处呈现最大值而对称小波呈现过零值，对于信号的峰值监测刚好相反。（4）正交性 设, kZ是一组函数集合，若 (2.11) 则称具有正交性。设,分别是两组函数集合，若 则称和是正交的。根据正交性质的不同，可以把母小波分为正交小波、半正交小波、双正交小波和非正交小波。 小波的正交性是故障信号分析中最感兴趣的性质，它可以无冗余、无泄漏地将信号分解到各个独立的频带下，便于实现特征提取。但是，紧支正交小波不能实现完备的线性相位滤波。半正交小波比正交小波灵活，既能满足线性相位，可以实现正交分解，但分解序列不是有限序列，在使用是必须截断，因而也存在误差。双正交小波具有线性相位，可以实现信号完备的重构，在图像处理中应用比较普遍。非正交小波放弃了正交性，可以将信号分解至任意的连续尺度下，具有良好的时频局部化分析功能。如果选择具有对称性的非正交小波，不仅可以实现线性相位，甚至能做到无相移。 通过上述分析发现，小波的紧支性、衰减性、光滑性、对称性、线性相位和正交性的不同决定了小波的千差万别。在应用小波变换时，应该根据分析对象和目的选择具有相应性质的小波基14。2.4针对故障诊断处理的小波分类通过对小波基性质和故障诊断中常用小波的研究发现，各种小波基有各自的优点和缺点，要使小波变换达到真正的工程实用化，必须根据故障信号的特征选择合适的小波基。用不同的小波基去识别信号的不同故障信息，从而避免了随意采用某一种小波基函数并通过寻找该小波基函数的所谓最优基来同时提取所有信号特征的误区15。1.Fourier三角基提取平稳信号谐波特征频率，适合于旋转机械不平衡，不对称油膜涡动等故障的识别。 2.Malllat样条小波基和Daubechies小波基将信号正交地分解到各独立频带内，实现对非平稳信号地整体刻画，可用于信号分频带能量监测，是通用地非平稳信号分析工具。 3.谐波小波基对非平稳信号进行保相滤波，适合于从复杂信号中识别旋转机组不平衡，不对称油膜涡动等故障。可以刻画旋转机组提纯轴心轨迹。 4.Morlet小波基降噪，识别“鱼腹状”波形特征，适合于诊断齿轮箱齿面剥落、滚动轴承内外圈及滚动体缺陷及往复及机械多频率激励。5.Laplace小波基从复杂信号中提取冲击响应信号特征，适合于撞击、松动、动静碰摩等故障地诊断。可以识别设备振动固有频率及阻尼参数。6.Hermitian小波基识别信号地奇异性，适合于摩擦、裂纹等故障地诊断。 2.5小波变换对信号奇异性检测的基本原理2.5. 1奇异性的定义 数学上称无限次可导函数是光滑的或没有奇异性。若函数在某处有间断点或某阶导数不连续，则称该函数在此处有奇异性，该点就是奇异点。信号的奇异性是由奇异点处的李式指数(Lipschitz Exponenets, LE)来度量的，LE的定义是：若信号在附近满足： (2.11)式中h0是一个充分小的量，是过点的n次多项式，A为一个常数，则称在处的LE为，若将点扩展到一段开区间，当和都处在开区间时，式(2.11)仍能满足，则称在此区间为均匀Lipschitz 。 LE具有如下性质： 1)若次可微，但n阶导数不连续，因此n+l次不可微，则有 2)如果的LE=a,则介的LE必为，即每积分一次，LE增加1。同理，每微分一次，LE减少1。据此，可知某些特殊函数在奇异点的LE，如表2.1所示。 2.5.2小波变换的卷积表达形式 信号的小波变换实际上是一个滤波的过程，即在时域里利用小波函数对信号进行卷积运算，小波变换的卷积表达式为： (2.12)式中 (2.13)其中为 母小波。表2. 1 一些特殊函数在奇异点的Lipschitz指数函数图形奇异点特性LE说明斜坡函数在处一次可微，一阶导数不连续 1阶跃函数在处函数本身不连续，但取值有界 0阶跃函数是斜坡函数的导数，故函数 -1函数是阶跃函数的导数，故某些特殊函数在奇异点的LE根据式(2.12)，可以把小波变换看成信号通过冲击响应为的系统后输出，如图2.1所示16。 图2.1小波变换的卷积表达形式 2.5. 3小波变换的极值点、过零点与信号奇异性的联系 Mallat在文献中利用高斯函数 的一阶导数和二阶导数构造了两个小波来识别信号的奇异性，它们分别为： (2.14) (2.15) 和分别表示以州和为基函数对的小波变换。图2.2为这两个小波对准阶跃信号和准脉冲信号的变换结果。可见的极值点和的极值点对应准脉冲信号的极值点。由于极值点在计算时很好识别，所以对信号的过渡点比较敏感，则适合于识别信号的极值点。这个结论对母小波的伸缩、也同样适用。图2.2只是示意图，严格地讲，只有当尺度。在适合范围内时，小波变换才能避免交叠干扰，从而能清晰地反映信号地奇异点。因此，在处理时需要把多尺度结合起来综合观测。图2.2和的小波基对准阶跃信号和准脉冲信号连续小波17 2.6 小波基的选择在小波分析中，由于构造方法不同，形成了不同的小波，日前比较有名的有Daubechies小波、Meyer小波、Coifman小波等，这些小波函数及相应的尺度函数构成了不同的小波基。小波基的选择是进行小波变换的关键问题，小波基选择适当与否直接关系到计算的效率和小波分析结果的有效性从国内外研究现状看，在滚动轴承故障诊断中大多采用D正交小波，也有将B小